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In dem abstrakte Algebra ist ein Divisionalgebra ein Algebra über einen Körper in dem, einfach gesagt, Einteilung ist möglich, außer natürlich bei 0.

Definition

eine Algebra ${displaystyle Deq {0}}$ über einen Körper/Feld wird ein Divisionalgebra aufgerufen, wenn für alle zwei Elemente ${displaystyle a,bin D,aeq 0}$ das Gleichungen${displaystyle acdot x=b}$ und ${displaystyle ycdot a=b}$ eindeutige Lösungen ${Anzeigestil x,yin D}$ haben.

Ein Element ${displaystyle aeq 0}$ verteilt werden kann.

EIN assoziative Algebra über einen Körper ist a Division galgebradann und nur dann, wenn es ist ein Multiplikativ Identitätselement${displaystyle eq 0}$ hat und jeder ${displaystyle a,bin D,aeq 0}$ hat eine multiplikative Inverse.

Assoziative Divisionsalgebren

Die bekanntesten Beispiele für assoziative Divisionsalgebren sind die endlichdimensionalen reellen Divisionsalgebren, also Algebren über dem Körper ${displaystyle mathbb {R} }$ des reale Nummern Das endlich-dimensional sei wie ein Vektorraum über die reellen Zahlen. Das Satz von Frobenius sagt das an Isomorphismus nachdem nur drei solcher Algebren existieren: die reellen Zahlen selbst (Dimension 1), de komplexe Zahlen (Maß 2) und die Quaternionen (Maß 4).

Das Wedderburns kleiner Satzburn sagt, dass jede endliche Divisionsalgebra a endliches Feld/Feld ist.^[1]

Über einen algebraisch geschlossener Körper${Anzeigestil K}$ (zum Beispiel die komplexe Zahlen${displaystyle mathbb {C} }$) gibt es keine endlichdimensionalen assoziativen Divisionsalgebren, außer natürlich ${Anzeigestil K}$ selbst.

Assoziative Divisionsalgebren haben kein Nullteiler. EIN endlich-dimensionaleinheitlich Die assoziative Algebra (über einem beliebigen Körper) ist genau dann eine Divisionsalgebra, wenn diese Divisionsalgebren keine Nullteiler haben.

wenn ${Anzeigestil A}$ eine assoziative unitäre Algebra über die Körper${Anzeigestil F}$ und ${Anzeigestil S}$ ein einfaches Modul Über ${Anzeigestil A}$ ist, dann ist die Endomorphismusring von ${Anzeigestil S}$ eine Divisionalgebra über ${Anzeigestil F}$; jede assoziative Divisionalgebra über ${Anzeigestil F}$ geschieht auf diese Weise.

Es Center einer assoziativen Divisionalgebra ${Anzeigestil D}$ über den Körper ${Anzeigestil K}$ ist ein Körper, der ${Anzeigestil K}$ enthält. Die Dimension einer solchen Algebra um ihren Mittelpunkt ist a perfekt quadriert (zumindest wenn dieses Zentrum endlich ist): es ist gleich dem Quadrat der Dimension eines maximalen Teilkörpers von ${Anzeigestil D}$ über das Zentrum. Einen Körper gegeben ${Anzeigestil F}$, können die (Isomorphismusklassen) der assoziativen Divisionsalgebren sein, deren Zentrum ${Anzeigestil F}$ und die endlichdimensional über . sind ${Anzeigestil F}$, in einem Gruppe umgewandelt werden, die Brauer-Gruppe vom Körper ${Anzeigestil F}$.

Eine Möglichkeit, endlichdimensionale assoziative Divisionsalgebren über beliebige Körper zu konstruieren, ist gegeben durch Quaternionenalgebras (siehe auch Quaternionen).

Für endlichdimensionale assoziative Divisionsalgebren sind die wichtigsten Fälle die Fälle, in denen Platz ein angemessenTopologie hast. Betrachten Sie zum Beispiel die normierte Divisionalgebra's und Banach-Algebras.

Siehe auch

• Normalisierte Divisionalgebra
• Teilen
• Teilungsring