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EIN Algebra ist eine Erweiterung des Konzepts Vektorraum von dem Lineare Algebra. In einer Algebra neben dem Zusatz und der Skalarmultiplikation, auch die Multiplikation der Elemente (Vektoren) untereinander ist möglich.

Definition

Ein Vektorraum ${Anzeigestil A}$ über einen Körper (Niederländisch) oder Feld (Belgisch)${Anzeigestil K}$ heißt a Algebra einen Sohn ${Anzeigestil A}$ eine Multiplikation ${displaystyle ,cdot ,:A imes A oder A}$ definiert ist, dass a bilinear Betreiber, d.h. für alle ${displaystyle u,v,win A}$ gilt:

${displaystyle (v w) cdot u = vcdot u wcdot u}$

${displaystyle ucdot (v w) = ucdot v ucdot w}$

${Anzeigestil k(vcdot w)=(kv)cdot w=vcdot (kw)}$ für alle ${displaystyle kin K}$.

Äquivalent, ${Anzeigestil A}$ ist eine Algebra, wenn ${Anzeigestil A}$ mit der Multiplikation ${displaystyle ,cdot ,}$ ein nicht unbedingt assoziatives Ring ist, für die außerdem die Skalarmultiplikation und ${displaystyle cdot }$ kompatibel sind, was bedeutet, dass die letzte der drei oben genannten Anforderungen erfüllt ist.

Eine Algebra über den Körper ${Anzeigestil K}$, heißt auch a ${Anzeigestil K}$-Algebra erwähnt.

In einigen Sonderfällen erhält der bilineare Operator einen anderen Namen als Multiplikation.

Beispiele

Das ${Anzeigestil n imes n}$-Matrizen bilden eine Algebra mit der Multiplikation von Matrizen.

Wenn die Matrixelemente aus dem Körper ${Anzeigestil K}$ komm, diese Matrizen bilden a ${Anzeigestil K}$-Algebra.

Das RealVektorraum${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ mit dem Kreuzprodukt ist eine Algebra:

${displaystyle (a,b,c) imes (x,y,z)=left({ egin{vmatrix}b&c/y&z/end{vmatrix}},{ egin{vmatrix}c&a/z&x/end{vmatrix}}, { start{vmatrix}a&b/x&y/end{vmatrix}}ight)}$

Auch die Kollektion Polynome in einem Variable ist eine Algebra für die gewöhnliche Addition und Multiplikation von Polynomen. Das gleiche gilt für Polynome in mehr, in ${displaystyle n}$ Variablen. Als die Koeffizienten Element des Körpers ${Anzeigestil K}$ sein, bilden ${Anzeigestil K[x]}$ beziehungsweise ${displaystyle K[x_{1},ldots ,x_{n}]}$ ein ${Anzeigestil K}$-Algebra. ${Anzeigestil K[x]}$ ist die Menge der Polynome in der Variablen ${Anzeigestil x}$ mit Koeffizienten im Körper ${Anzeigestil K}$.

Assoziative Algebra

Die obige Definition erfordert nicht, dass die Multiplikation ${displaystyle ,cdot ,}$assoziativ oder kommutativ ist. EIN assoziative Algebra die zusätzliche Bedingung erfüllt, dass die Multiplikation assoziativ ist, d. h. dass für alle ${displaystyle u,v,win A}$ gilt:

${displaystyle (ucdot v)cdot w=ucdot (vcdot w)}$

Der allgemeine Fall wird daher auch als nicht-assoziative Algebra bezeichnet, obwohl „nicht unbedingt assoziativ“ zutreffender wäre.

Beispiele

Die Matrixmultiplikation ist assoziativ.

Das Vektorprodukt in ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ ist nicht assoziativ. Hinweis ${displaystyle {e_{1},e_{2},e_{3}}}$ für die kanonische Orthonormalbasis, dann

${displaystyle (e_{1} imes e_{2}) imes e_{2}=-e_{1}}$

${displaystyle e_{1}imes (e_{2}imes e_{2})=0}$

Die Multiplikation von Polynomen ist assoziativ und kommutativ.

Das Tensoralgebra${Anzeigestil T(V)}$ eines beliebigen Vektorraums ${Anzeigestil V}$ ist eine assoziative Algebra. Er wird auch der freie Algebra Über ${Anzeigestil V}$ erwähnt.

Ringe

sehen Algebra (Ringtheorie) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Einige Quellen schwächen die Anforderung "Vektorraum über einem Körper" auf "Modul über einen Kommutativer Ring mit Einheit". Dies erschwert die Definition nicht, aber die nicht immer Existenz von a Base erschwert das Studium etwas.

Spezielle Arten von Algebren

Mehrere Fachgebiete der Mathematik unterscheiden spezielle Typen von (meist assoziativen) Algebren:

• Lügenalgebra, ein Objekt, das im auftaucht Differentialgeometrie
• Tensoralgebra, ein Raum mit verschiedenen Ordnungen von Tensorprodukte Vereinen
• externe Algebra, der antisymmetrische Teil der Tensoralgebra, ein wichtiges Objekt bei der Untersuchung von Differentialformen auf glatt Sorten
• Banach-Algebra, ein Banach-Raum mit einer "Zusammensetzung" von Vektoren
• Von Neumann Algebra, die stetigen linearen Transformationen von a Hilbert-Raum
• Algebra der Mengen und damit verbunden boolsche Algebra, ein Model für bestimmte Arten Logik auf der Grundlage von Kollektionen
• Sigma-Algebra, eine besondere Art der Mengenalgebra, die die Grundlage der Maßtheorie und der Wahrscheinlichkeit