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Das sedenionen bilden in der abstrakte Algebra ein 16-dimensionalAlgebra über die reale Nummern. Das Sammlung des sedenionen wird angezeigt durch . Derzeit sind zwei Arten von Sedenionen bekannt:
- Sedenions erhalten von der Cayley-Dickson-Konstruktion bewirbt sich
- Kegeldenions ("16-dimensionale M-Algebra") zu") Charles Musen, Teil seines Hyperzahlenkonzepts.
Cayley-Dickson-Sedenions
Genau wie (Cayley-Dickson)-Oktonionen, ist der Multiplikation von Cayley-Dickson sedenions noch kommutativ Noch assoziativ.Aber im Gegensatz zu den Oktonionen haben die Sedenions nicht die Alternative Eigentum. Sie haben das Eigentum vonMachtassoziativität.
Jeder Sedenion ist ein echter lineare Kombination des Einheitsionen 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14 und e15.Zusammen bilden diese Einheitsdenionen die Grundlage der Vektorraum der Sedenionen.
Die Sedenionen haben ein Multiplikativ neutrales Element1 und multiplikative Inverse, sind aber nicht Divisionalgebra. Das liegt daran, dass sie Nullteiler haben; Dies bedeutet, dass die beiden von Null verschiedenen Zahlen multipliziert werden können, um ein Ergebnis von Null zu erhalten: Ein triviales Beispiel ist (e3e10)*(e6 - e15). Alle hyperkomplexen Zahlensysteme, die auf der Cayley-Dickson-Konstruktion für Sedenionen basieren, enthalten Nullteiler.
Das Multiplikationstabelle dafür Einheitsionen sieht aus wie das:
| × | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 | e8 | e9 | e10 | e11 | e12 | e13 | e14 | e15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 | e8 | e9 | e10 | e11 | e12 | e13 | e14 | e15 |
| e1 | e1 | -1 | e3 | -e2 | e5 | -e4 | -e7 | e6 | e9 | -e8 | -e11 | e10 | -e13 | e12 | e15 | -e14 |
| e2 | e2 | -e3 | -1 | e1 | e6 | e7 | -e4 | -e5 | e10 | e11 | -e8 | -e9 | -e14 | -e15 | e12 | e13 |
| e3 | e3 | e2 | -e1 | -1 | e7 | -e6 | e5 | -e4 | e11 | -e10 | e9 | -e8 | -e15 | e14 | -e13 | e12 |
| e4 | e4 | -e5 | -e6 | -e7 | -1 | e1 | e2 | e3 | e12 | e13 | e14 | e15 | -e8 | -e9 | -e10 | -e11 |
| e5 | e5 | e4 | -e7 | e6 | -e1 | -1 | -e3 | e2 | e13 | -e12 | e15 | -e14 | e9 | -e8 | e11 | -e10 |
| e6 | e6 | e7 | e4 | -e5 | -e2 | e3 | -1 | -e1 | e14 | -e15 | -e12 | e13 | e10 | -e11 | -e8 | e9 |
| e7 | e7 | -e6 | e5 | e4 | -e3 | -e2 | e1 | -1 | e15 | e14 | -e13 | -e12 | e11 | e10 | -e9 | -e8 |
| e8 | e8 | -e9 | -e10 | -e11 | -e12 | -e13 | -e14 | -e15 | -1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
| e9 | e9 | e8 | -e11 | e10 | -e13 | e12 | e15 | -e14 | -e1 | -1 | -e3 | e2 | -e5 | e4 | e7 | -e6 |
| e10 | e10 | e11 | e8 | -e9 | -e14 | -e15 | e12 | e13 | -e2 | e3 | -1 | -e1 | -e6 | -e7 | e4 | e5 |
| e11 | e11 | -e10 | e9 | e8 | -e15 | e14 | -e13 | e12 | -e3 | -e2 | e1 | -1 | -e7 | e6 | -e5 | e4 |
| e12 | e12 | e13 | e14 | e15 | e8 | -e9 | -e10 | -e11 | -e4 | e5 | e6 | e7 | -1 | -e1 | -e2 | -e3 |
| e13 | e13 | -e12 | e15 | -e14 | e9 | e8 | e11 | -e10 | -e5 | -e4 | e7 | -e6 | e1 | -1 | e3 | -e2 |
| e14 | e14 | -e15 | -e12 | e13 | e10 | -e11 | e8 | e9 | -e6 | -e7 | -e4 | e5 | e2 | -e3 | -1 | e1 |
| e15 | e15 | e14 | -e13 | -e12 | e11 | e10 | -e9 | e8 | -e7 | e6 | -e5 | -e4 | e3 | e2 | -e1 | -1 |
Weitere Dokumentation
- Imaeda, K., Imaeda, M.: Sitzungen: Algebra und Analyse (Sedenions: Algebra and Analysis), Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)
- Kinyon, M. K., Phillips, J. D., Vojtěchovský, P.: C-Schleifen: Erweiterungen und Konstruktionen (C-Loops: Extensions and Constructions), Journal of Algebra and its Applications 6 (2007), Nr. 1, 1-20. [1]
Kegelsedenions / "16-dimensionale M-Algebra"
Im Gegensatz zu den Cayley-Dickson-Sedenions, die aus den Nummer 1 und 15 Möhren von dem Nummer 1, Kegelsedenionen bestehen aus 8 Quadratwurzeln von plus eins und minus eins. Sie teilen Nicht-Kommutativität und Nicht-Assoziativität mit den Berechnungsregeln für Cayley-Dickson-Sedenions ("zirkulares Sedenion"). Kegeldenionen sind jedoch modular, Alternative und flexibel. Mit Ausnahme seiner nilpotente, Nullteiler, und Null selbst sind die Rechenregeln bezüglich Potenz und Logarithmus geschlossenbearbeitet. Kegel-Denionen sind nicht machtassoziativ.
Für detaillierte Informationen und isomorphpartielle AlgebraFotos: Museon Hyperzahl.