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In dem Mathematik, genauer gesagt die diskrete Mathematik, ist ein Differenzgleichung, auch bezeichnet als wiederkehrende Beziehung oder auch rekursives Rezept, ein Beziehung, mit dem die Elemente von a Warteschlangerekursiv definiert sein, d.h. jedes Element der Folge ist a Funktion der vorstehenden Elemente. Wenn wir die Zeile mit angeben ${Anzeigestil x}$, wird zum Element mit Index ${displaystyle n}$ gegeben von:

${displaystyle x_{n}=f_{n}(x_{n-1},x_{n-2},ldots ,x_{1},x_{0})}$.

Die Folge ist dann vollständig bestimmt durch ${displaystyle x_{0}}$ und die Funktionen ${displaystyle (f_{n})_{ngeq 1}}$, oder wenn wir auch eine konstante Funktion haben ${displaystyle f_{0}}$ Verwendung: ganz bestimmt durch die Funktionen ${Anzeigestil (f_{n})_{ngeq 0}.}$

Besonderer Fall:

${Anzeigestil x_{n}=f(x_{n-1},x_{n-2},ldots,x_{n-k}).}$

Die Folge ist dann vollständig bestimmt durch ${displaystyle x_{0},ldots ,x_{k-1}}$ und die Funktion ${displaystyle f}$.

Eine Differenzengleichung ist das diskrete Analogon von a Differentialgleichung; eine Differenzengleichung stellt Beziehungen zwischen den Werten einer Funktion zu diskreten (äquidistanten) Zeitpunkten her.

Gleichungen für lineare Differenzen

Ein Sonderfall sind die linearen Differenzengleichungen, bei denen die Funktion f ein lineare Funktion ist.

Beispiel

Das Fibonaccia-Folge wird durch die Differenzengleichung definiert:

${displaystyle u_{0}=0}$

${displaystyle u_{1}=1}$

${displaystyle u_{n}=u_{n-1} u_{n-2}}$ für n = 2, 3, ...

In diesem Beispiel von a linear Differenzgleichung hängt der Wert des nächsten Termes nur von den beiden vorhergehenden ab. Wir sagen, dass die Differenzengleichung der zweiten Auftrag ist.

Allgemeines

Eine lineare Differenzengleichung der Ordnung k hat die Form:

${displaystyle x_{n}=c_{0}(n) c_{1}(n)x_{n-1} c_{2}(n)x_{n-2} ldots c_{k}(n)x_{ nk},}$,

in dem die Koeffizienten${Anzeigestil c}$ noch von ${displaystyle n}$ abhängen kann. Sind die Koeffizienten c nicht abhängig von nein, dann spricht man von einer linearen Differenzengleichung der Ordnung k mit konstanten Koeffizienten:

${displaystyle x_{n}=c_{0} c_{1}x_{n-1} c_{2}x_{n-2} ldots c_{k}x_{n-k}}$.

Im Falle ${displaystyle c_{0}=0}$ wir sprechen von der homogenen Gleichung, von der Lösungen von der gefunden werden Auswechslung:

${displaystyle x_{n}=lambda ^{n}}$,

also wird die Gleichung:

${displaystyle lambda ^{n}=c_{1}lambda ^{n-1} c_{2}lambda ^{n-2} ldots c_{k}lambda ^{n-k}}$

oder

${displaystyle lambda ^{k}-c_{1}lambda ^{k-1}-c_{2}lambda ^{k-2}-ldots -c_{k-1}lambda -c_{k}=0}$,

das charakteristische Gleichung namens.

Wenn alle Karotten ${displaystyle lambda _{1},ldots ,lambda _{k}}$ unterschiedlich sind, ist die allgemeine Lösung der homogenen Differenzengleichung gegeben durch:

${displaystyle x_{Hn}=A_{1}Lambda _{1}^{n} ldots A_{k}Lambda _{k}^{n}}$,

in dem die ${Anzeigestil A}$sind noch frei wählbare Konstanten. Nachdem Sie eine spezielle Lösung gefunden haben ${displaystyle x_{Sn}}$ der allgemeinen Gleichung ist die allgemeine Lösung gegeben durch:

${Displaystil x_{n}=x_{Sn} x_{Hn}}$.

Beispiel (Fortsetzung)

Die Differenzengleichung für die Fibonacci-Zahlen ist eine homogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die charakteristische Gleichung lautet:

${Anzeigestil Lambda ^{2}-Lambda -1=0}$,

mit Wurzeln:

${displaystyle lambda _{1,2}={frac {13pm {sqrt {5}}}{2}}}$,

Die allgemeine Lösung lautet also:

${displaystyle x_{Hn}=A_{1}Lambda_{1}^{n} A_{2}Lambda_{2}^{n}}$.

aus der Anfangsbedingung ${displaystyle x_{0}=0}$ folgt das ${Displaystil A_{1}=-A_{2}}$, und aus ${displaystyle x_{1}=1}$ und die Tatsache, dass:

${displaystyle lambda _{1}-lambda _{2}={sqrt {5}}}$

folgt das

${displaystyle A_{1}={frac {1}{sqrt {5}}}}$,

so dass die allgemeine Lösung lautet:

${displaystyle x_{n}={frac {(1 {sqrt {5}})^{n}-(1-{sqrt {5}})^{n}}{2^{n}{sqrt {5} }}}}$.

Logistische Differenzgleichung

Bifurkationsdiagramm für die logistische Differenzengleichung

Die logistische Differenzengleichung

${displaystyle qquad x_{n 1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

mit Parameter r in [0,4] und einem Anfangswert ${displaystyle x_{0}}$ ist ein bekanntes Beispiel dafür Mitchell Feigenbaum hat studiert.^[1]

Das linke Bild zeigt den Verlauf von 63 Iterationen, sequentiell für steigende Werte von r von 2 auf 4 (mit Ausnahme einiger Anfangswerte ${displaystyle x_{0}}$):

• Bis zum Wert 3 konvergiert die Folge gegen Fixpunkt${Anzeigestil 1-1/r}$.
• Zwischen den Werten 3 und ${Displaystil 1 {Quadrat {6}}}$ ≈ 3.44949 oszilliert die Folge zwischen zwei Werten ohne zu konvergieren, .
• Zwischen etwa 3.44949 und 3.54409 (eine Nullstelle eines Polynoms 12. Grades^[2] Es gibt einen Zyklus von 4 Werten.
• Nach etwa 3.54409 wird es ein Zyklus von 8 Werten und dann immer wieder einer Periodenverdoppelung. Die Länge der Intervalle wird immer durch einen Faktor dividiert, der sich dem annähert Feigenbaums Konstante von etwa 4.66920. Der Ablauf der Iterationen ist immer chaotischer.

Feigenbaum zeigte, dass das gleiche Verhalten und die gleiche Konstante in einer breiten Klasse mathematischer Funktionen vor dem Einsetzen des Chaos auftreten. Dieses universelle Ergebnis hat Mathematikern das scheinbar unüberschaubare "zufällige" Verhalten chaotischer Systeme in den Griff bekommen.

Siehe auch

• Rekursion
• Generierungsfunktion