WikiDer > Тест Дирихле - Википедия

В математика, Тест Дирихле это метод тестирования на конвергенция из серии. Он назван в честь его автора. Питер Густав Лежен Дирихле, и был опубликован посмертно в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées в 1862 г.^[1]

Заявление

Тест утверждает, что если ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ это последовательность из действительные числа и ${ displaystyle {b_ {n} }}$ последовательность сложные числа удовлетворение

• ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ является монотонный

• ${ displaystyle lim _ {п rightarrow infty} a_ {n} = 0}$

• ${ displaystyle left | sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} right | leq M}$ для каждого положительного целого числа N

куда M - некоторая константа, то ряд

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} b_ {n}}$

сходится.

Доказательство

Позволять ${ displaystyle S_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k}}$ и ${ displaystyle B_ {n} = sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k}}$.

Из суммирование по частяму нас есть это ${ Displaystyle S_ {n} = a_ {n} B_ {n} + sum _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$. С ${ displaystyle B_ {n}}$ ограничен M и ${ displaystyle a_ {n} rightarrow 0}$, первое из этих слагаемых стремится к нулю, ${ displaystyle a_ {n} B_ {n} to 0}$ в качестве ${ Displaystyle п к infty}$.

У нас для каждого k, ${ displaystyle | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) | leq M | a_ {k} -a_ {k + 1} |}$. Но если ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ уменьшается,

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} -a_ {k + 1}) = M sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$,

который является телескопическая сумма, что равно ${ Displaystyle М (а_ {1} -а_ {п + 1})}$ и поэтому приближается ${ displaystyle Ma_ {1}}$ в качестве ${ Displaystyle п к infty}$. Таким образом, ${ Displaystyle сумма _ {к = 1} ^ { infty} М (а_ {к} -а_ {к + 1})}$ сходится. И если ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ растет,

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = - sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} - a_ {k + 1}) = - M sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$,

что снова является телескопической суммой, равной ${ Displaystyle -M (а_ {1} -а_ {п + 1})}$ и поэтому приближается ${ displaystyle -Ma_ {1}}$ в качестве ${ Displaystyle п к infty}$. Таким образом, снова ${ Displaystyle сумма _ {к = 1} ^ { infty} М (а_ {к} -а_ {к + 1})}$ сходится.

Так, ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) |}$ сходится также тест прямого сравнения. Сериал ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}$ сходится, также, абсолютная конвергенция тест. Следовательно ${ displaystyle S_ {n}}$ сходится.

Приложения

Частный случай теста Дирихле является наиболее часто используемым. испытание чередующейся последовательностью для случая

${ displaystyle b_ {n} = (- 1) ^ {n} Longrightarrow left | sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} right | leq 1.}$

Еще одно следствие: ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} sin n}$ сходится всякий раз, когда ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ - убывающая последовательность, стремящаяся к нулю.

Несобственные интегралы

Аналогичное утверждение о сходимости несобственных интегралов доказывается интегрированием по частям. Если интеграл функции ж равномерно ограничена на всех интервалах, а грамм - монотонно убывающая неотрицательная функция, то интеграл от фг - сходящийся несобственный интеграл.

Примечания

Рекомендации

• Харди, Г. Х., Курс чистой математики, Девятое издание, Cambridge University Press, 1946. (стр. 379–380).
• Воксман, Уильям Л., Расширенный расчет: введение в современный анализ, Марсель Деккер, Inc., Нью-Йорк, 1981. (§8.B.13–15) ISBN 0-8247-6949-X.

внешняя ссылка

• Доказательство на PlanetMath.org