WikiDer > Тригонометрическая замена

Trigonometric substitution

В математика, тригонометрическая замена это замена из тригонометрические функции для других выражений. В исчисление, тригонометрическая подстановка - это метод вычисления интегралов. Более того, можно использовать тригонометрические тождества упростить некоторые интегралы содержащий радикальные выражения.^[1]^[2] Как и другие методы интегрирования путем подстановки, при вычислении определенного интеграла может быть проще полностью вывести первообразную перед применением границ интегрирования.

Случай I. Интегранты, содержащие ${ displaystyle a ^ {2} -x ^ {2}}$

Позволять ${ Displaystyle х = а грех тета}$ , и используйте идентичность ${ Displaystyle 1- грех ^ {2} тета = соз ^ {2} тета}$ .

Примеры случая I

Геометрическая конструкция для случая I

Пример 1

В интегральном

{ displaystyle int { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}},}

мы можем использовать

{ displaystyle x = a sin theta, quad dx = a cos theta , d theta, quad theta = arcsin { frac {x} {a}}.}

Потом,

{ displaystyle { begin {align} int { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} sin ^ {2} theta}}} [6pt] & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} (1- sin ^ {2} theta)}}} [6pt] & = int { frac {a cos theta , d theta} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} theta}}} [6pt] & = int d theta [6pt] & = theta + C [6pt] & = arcsin { frac {x} {a}} + C. end {align}}}

Вышеупомянутый шаг требует, чтобы ${ displaystyle a> 0}$ и ${ displaystyle cos theta> 0}$ . Мы можем выбрать ${ displaystyle a}$ быть главным корнем ${ displaystyle a ^ {2}}$ , и наложим ограничение ${ Displaystyle - пи / 2 < тета < пи / 2}$ с помощью функции обратного синуса.

Для получения определенного интеграла необходимо выяснить, как меняются границы интегрирования. Например, как ${ displaystyle x}$ идет от ${ displaystyle 0}$ к ${ displaystyle a / 2}$ , тогда ${ Displaystyle грех тета}$ идет от ${ displaystyle 0}$ к ${ displaystyle 1/2}$ , так ${ displaystyle theta}$ идет от ${ displaystyle 0}$ к ${ displaystyle pi / 6}$ . Потом,

{ displaystyle int _ {0} ^ {a / 2} { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = int _ {0} ^ { pi / 6} d theta = { frac { pi} {6}}.}

При выборе границ требуется некоторая осторожность. Поскольку приведенная выше интеграция требует, чтобы ${ Displaystyle - пи / 2 < тета < пи / 2}$ , ${ displaystyle theta}$ может идти только от ${ displaystyle 0}$ к ${ displaystyle pi / 6}$ . Пренебрегая этим ограничением, можно было бы выбрать ${ displaystyle theta}$ идти от ${ displaystyle pi}$ к ${ displaystyle 5 pi / 6}$ , что привело бы к отрицательному фактическому значению.

Или полностью вычислите неопределенные интегралы перед применением граничных условий. В этом случае первообразная дает

{ displaystyle int _ {0} ^ {a / 2} { frac {dx} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = arcsin left ({ frac {x } {a}} right) { Biggl |} _ {0} ^ {a / 2} = arcsin left ({ frac {1} {2}} right) - arcsin (0) = { frac { pi} {6}}}

как прежде.

Пример 2

Интегральный

{ displaystyle int { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} , dx,}

можно оценить, допустив ${ displaystyle x = a sin theta, , dx = a cos theta , d theta, , theta = arcsin { frac {x} {a}},}$

где ${ displaystyle a> 0}$ так что ${ Displaystyle { sqrt {а ^ {2}}} = а}$ , и ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} leq theta leq { frac { pi} {2}}}$ по диапазону арксинуса, так что ${ Displaystyle соз тета geq 0}$ и ${ displaystyle { sqrt { cos ^ {2} theta}} = cos theta}$ .

Потом,

{ displaystyle { begin {align} int { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} sin ^ {2} theta}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} (1- sin ^ {2} theta)}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} ( cos ^ {2} theta)}} , (a cos theta) , d theta [6pt] & = int (a cos theta) (a cos theta) , d theta [6pt] & = a ^ {2} int cos ^ {2} theta , d theta [6pt] & = a ^ {2} int left ({ frac {1+ cos 2 theta} {2} } right) , d theta [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ( theta + { frac {1} {2}} sin 2 theta right) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( theta + sin theta cos theta) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ( arcsin { frac {x} {a}} + { frac {x} {a}} { sqrt {1 - { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}} right) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} arcsin { frac {x} { a}} + { frac {x} {2}} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} + C. end {align}}}

Для определенного интеграла границы меняются после выполнения подстановки и определяются с помощью уравнения ${ displaystyle theta = arcsin { frac {x} {a}}}$ , со значениями в диапазоне ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} leq theta leq { frac { pi} {2}}}$ . Или же примените граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определенный интеграл

{ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx,}

можно оценить, подставив ${ Displaystyle х = 2 грех тета, , dx = 2 соз тета , д тета}$ , с оценками, определенными с помощью ${ displaystyle theta = arcsin { frac {x} {2}}}$ .

поскольку ${ Displaystyle arcsin (1/2) = пи / 6}$ и ${ Displaystyle arcsin (-1/2) = - пи / 6}$ ,

{ displaystyle { begin {align} int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4-4 sin ^ {2} theta}} , (2 cos theta) , d theta [6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4 (1- sin ^ {2} theta)}} , (2 cos theta) , d theta [6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} { sqrt {4 ( cos ^ {2} theta)}} , (2 cos theta) , d theta [ 6pt] & = int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} (2 cos theta) (2 cos theta) , d theta [6pt] & = 4 int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} cos ^ {2} theta , d theta [6pt] & = 4 int _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} left ({ frac {1+ cos 2 theta} {2}} right) , d theta [6pt] & = 2 left [ theta + { frac {1} {2}} sin 2 theta right] _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} = [2 theta + sin 2 theta] { Biggl |} _ {- pi / 6} ^ { pi / 6} = left ({ frac { pi} {3}} + sin { frac { pi} {3}} right) - left (- { frac { pi} {3}} + sin left (- { frac { pi} {3}} right) right) = { frac {2 pi} {3}} + { sqrt {3 }}. [6pt] end {выровнено}}}

С другой стороны, прямое применение граничных членов к ранее полученной формуле для первообразных дает

{ displaystyle { begin {align} int _ {- 1} ^ {1} { sqrt {4-x ^ {2}}} , dx & = left [{ frac {2 ^ {2}} {2}} arcsin { frac {x} {2}} + { frac {x} {2}} { sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} right] _ {- 1} ^ {1} [6pt] & = left (2 arcsin { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} { sqrt {4-1}} справа) - left (2 arcsin left (- { frac {1} {2}} right) + { frac {-1} {2}} { sqrt {4-1}} right) [6pt] & = left (2 cdot { frac { pi} {6}} + { frac { sqrt {3}} {2}} right) - left (2 cdot left (- { frac { pi} {6}} right) - { frac { sqrt {3}} {2}} right) [6pt] & = { frac {2 pi} {3}} + { sqrt {3}} end {align}}}

как прежде.

Случай II: Интегранты, содержащие ${ Displaystyle а ^ {2} + х ^ {2}}$

Позволять ${ Displaystyle х = а загар тета}$ , и используйте идентификатор ${ Displaystyle 1+ tan ^ {2} theta = sec ^ {2} theta}$ .

Примеры случая II

Геометрическая конструкция для Case II

Пример 1

В интегральном

{ displaystyle int { frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}}}

мы можем написать

{ displaystyle x = a tan theta, quad dx = a sec ^ {2} theta , d theta, quad theta = arctan { frac {x} {a}},}

так что интеграл становится

{ displaystyle { begin {align} int { frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}} & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} + a ^ {2} tan ^ {2} theta}} [6pt] & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} (1+ tan ^ {2} theta)}} [6pt] & = int { frac {a sec ^ {2} theta , d theta} {a ^ {2} sec ^ {2} theta}} [6pt] & = int { frac {d theta} {a}} [6pt] & = { frac { theta} {a}} + C [6pt] & = { frac {1} {a}} arctan { frac {x} {a}} + C, end {align}}}

предоставлена ${ displaystyle a neq 0}$ .

Для определенного интеграла границы меняются после выполнения подстановки и определяются с помощью уравнения ${ displaystyle theta = arctan { frac {x} {a}}}$ , со значениями в диапазоне ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} < theta <{ frac { pi} {2}}}$ . Или же примените граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определенный интеграл

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {4} {1 + x ^ {2}}} , dx}

можно оценить, подставив ${ Displaystyle х = загар тета, , dx = сек ^ {2} тета , д тета}$ , с оценками, определенными с помощью ${ displaystyle theta = arctan x}$ .

поскольку ${ displaystyle arctan 0 = 0}$ и ${ displaystyle arctan 1 = pi / 4}$ ,

{ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {1} { frac {4 , dx} {1 + x ^ {2}}} & = 4 int _ {0} ^ {1 } { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} { frac { sec ^ {2} theta , d theta} {1+ tan ^ {2} theta}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} { frac { sec ^ {2} theta , d theta} { sec ^ {2} theta}} [6pt] & = 4 int _ {0} ^ { pi / 4} d theta [6pt] & = (4 theta) { Bigg |} _ {0} ^ { pi / 4} = 4 left ({ frac { pi} {4}} - 0 right) = pi. End {выровнено }}}

Между тем, прямое применение граничных членов к формуле для первообразных выходов

{ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {1} { frac {4} {1 + x ^ {2}}} , dx & = 4 int _ {0} ^ {1} { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} & = 4 left [{ frac {1} {1}} arctan { frac {x} {1}} right] _ {0} ^ {1} & = 4 ( arctan x) { Bigg |} _ {0} ^ {1} & = 4 ( arctan 1- arctan 0) & = 4 left ({ frac { pi} {4}} - 0 right) = pi, end {align}}}

как и раньше.

Пример 2

Интегральный

{ displaystyle int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , {dx}}

можно оценить, допустив ${ displaystyle x = a tan theta, , dx = a sec ^ {2} theta , d theta, , theta = arctan { frac {x} {a}},}$

где ${ displaystyle a> 0}$ так что ${ Displaystyle { sqrt {а ^ {2}}} = а}$ , и ${ displaystyle - { frac { pi} {2}} < theta <{ frac { pi} {2}}}$ по диапазону арктангенса, так что ${ displaystyle sec theta> 0}$ и ${ displaystyle { sqrt { sec ^ {2} theta}} = sec theta}$ .

Потом,

{ displaystyle { begin {align} int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} tan ^ {2} theta}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} (1+ tan ^ {2} theta)}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int { sqrt {a ^ {2} sec ^ {2 } theta}} , (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = int (a sec theta) (a sec ^ {2} theta) , d theta [6pt] & = a ^ {2} int sec ^ {3} theta , d theta. [6pt] end {align}}}

В интеграл секущей в кубе можно оценить с помощью интеграция по частям. Как результат,

{ displaystyle { begin {align} int { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} , dx & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta + ln | sec theta + tan theta |) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ({ sqrt { 1 + { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} cdot { frac {x} {a}} + ln left | { sqrt {1 + { frac { x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} + { frac {x} {a}} right | right) + C [6pt] & = { frac {1} {2 }} left (x { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} + a ^ {2} ln left | { frac {x + { sqrt {a ^ {2} + x) ^ {2}}}} {a}} right | right) + C. End {align}}}

Случай III: Интегранты, содержащие ${ displaystyle x ^ {2} -a ^ {2}}$

Позволять ${ Displaystyle х = а сек тета}$ , и используйте идентификатор ${ displaystyle sec ^ {2} theta -1 = tan ^ {2} theta.}$

Примеры случая III

Геометрическая конструкция для Case III

Интегралы типа

{ displaystyle int { frac {dx} {x ^ {2} -a ^ {2}}}}

также может быть оценено частичные фракции а не тригонометрические замены. Однако интеграл

{ displaystyle int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx}

не можешь. В этом случае подходящей заменой будет:

{ displaystyle x = a sec theta, , dx = a sec theta tan theta , d theta, , theta = operatorname {arcsec} { frac {x} {a}} ,}

где ${ displaystyle a> 0}$ так что ${ Displaystyle { sqrt {а ^ {2}}} = а}$ , и ${ displaystyle 0 leq theta <{ frac { pi} {2}}}$ предполагая ${ displaystyle x> 0}$ , так что ${ displaystyle tan theta geq 0}$ и ${ Displaystyle { sqrt { tan ^ {2} theta}} = tan theta}$ .

Потом,

{ displaystyle { begin {align} int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx & = int { sqrt {a ^ {2} sec ^ {2} theta -a ^ {2}}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int { sqrt {a ^ {2} ( sec ^ {2} theta - 1)}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int { sqrt {a ^ {2} tan ^ {2} theta}} cdot a sec theta tan theta , d theta & = int a ^ {2} sec theta tan ^ {2} theta , d theta & = a ^ {2} int ( sec theta) ( sec ^ {2} theta -1) , d theta & = a ^ {2} int ( sec ^ {3} theta - sec theta) , д тета. конец {выровнено}}}

Можно оценить интеграл секущей функции умножив числитель и знаменатель на ${ Displaystyle ( сек тета + загар тета)}$ и интеграл секущей в кубе по частям.^[3] Как результат,

{ displaystyle { begin {align} int { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} , dx & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta + ln | sec theta + tan theta |) -a ^ {2} ln | sec theta + tan theta | + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} ( sec theta tan theta - ln | sec theta + tan theta |) + C [6pt] & = { frac {a ^ {2}} {2}} left ({ frac {x} {a}} cdot { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} - ln left | { frac {x} {a}} + { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} right | right) + C [6pt] & = { frac {1} {2}} left (x { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} - a ^ {2} ln left | { frac {x + { sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}}} {a}} right | right) + C. end {выравнивается}}}

Когда ${ displaystyle { frac { pi} {2}} < theta leq pi}$ , что происходит, когда ${ displaystyle x <0}$ учитывая диапазон дуги, ${ displaystyle tan theta leq 0}$ , смысл ${ displaystyle { sqrt { tan ^ {2} theta}} = - tan theta}$ вместо этого в этом случае.

Замены, устраняющие тригонометрические функции

Подстановка может использоваться для удаления тригонометрических функций.

Например,

{ Displaystyle { begin {align} int е ( sin (x), cos (x)) , dx & = int { frac {1} { pm { sqrt {1-u ^ {2 }}}}} f left (u, pm { sqrt {1-u ^ {2}}} right) , du && u = sin (x) [6pt] int f ( sin ( x), cos (x)) , dx & = int { frac {1} { mp { sqrt {1-u ^ {2}}}}} f left ( pm { sqrt {1 -u ^ {2}}}, u right) , du && u = cos (x) [6pt] int f ( sin (x), cos (x)) , dx & = int { frac {2} {1 + u ^ {2}}} f left ({ frac {2u} {1 + u ^ {2}}}, { frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} right) , du && u = tan left ({ tfrac {x} {2}} right) [6pt] end {align}}}

Последняя замена известна как Замена Вейерштрасса, который использует формулы касательных полууглов.

Например,

{ displaystyle { begin {align} int { frac {4 cos x} {(1+ cos x) ^ {3}}} , dx & = int { frac {2} {1 + u ^ {2}}} { frac {4 left ({ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} right)} { left (1 + { frac { 1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} right) ^ {3}}} , du = int (1-u ^ {2}) (1 + u ^ {2} ) , du & = int (1-u ^ {4}) , du = u - { frac {u ^ {5}} {5}} + C = tan { frac {x} {2}} - { frac {1} {5}} tan ^ {5} { frac {x} {2}} + C. end {align}}}

Гиперболическая замена

Замены гиперболические функции также может использоваться для упрощения интегралов.^[4]

В интегральном ${ displaystyle int { frac {1} { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} , dx}$ , сделайте замену ${ Displaystyle х = а зп {и}}$ , ${ displaystyle dx = a cosh u , du.}$

Затем, используя тождества ${ Displaystyle сш ^ {2} (х) - зп ^ {2} (х) = 1}$ и ${ displaystyle sinh ^ {- 1} {x} = ln (x + { sqrt {x ^ {2} +1}}),}$

${ displaystyle { begin {align} int { frac {1} { sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} , dx & = int { frac {a cosh u} { sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} sinh ^ {2} u}}} , du [6pt] & = int { frac {a ch {u}} {a { sqrt {1+ sinh ^ {2} {u}}}} , du [6pt] & = int { frac {a cosh {u}} {a ch u}} , du [6pt] & = u + C [6pt] & = sinh ^ {- 1} { frac {x} {a}} + C [6pt] & = ln left ( { sqrt {{ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + 1}} + { frac {x} {a}} right) + C [6pt] & = ln left ({ frac {{ sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}} + x} {a}} right) + C end {выровнено}}}$

Смотрите также

использованная литература

^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-495-01166-5.
^ Томас, Джордж Б.; Weir, Maurice D .; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: ранние трансцендентальные представления (12-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-321-58876-2.
^ Стюарт, Джеймс (2012). «Раздел 7.2: Тригонометрические интегралы». Исчисление - Ранние трансценденталы. США: Cengage Learning. С. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.
^ Бояджиев, Христо Н. «Гиперболические замены интегралов» (PDF). Получено 4 марта 2013.

[1] Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-495-01166-5.

[2] Томас, Джордж Б.; Weir, Maurice D .; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: ранние трансцендентальные представления (12-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-321-58876-2.

[:1-3] Стюарт, Джеймс (2012). «Раздел 7.2: Тригонометрические интегралы». Исчисление - Ранние трансценденталы. США: Cengage Learning. С. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.

[4] Бояджиев, Христо Н. «Гиперболические замены интегралов» (PDF). Получено 4 марта 2013.

[1]

[2]

[3]

[4]

v т е Интегралы
Типы интегралов	Интеграл Римана Интеграл Лебега Интеграл Беркилла Интеграл Бохнера Даниэль интеграл Интеграл Дарбу Интеграл Хенстока – Курцвейла Интеграл Хаара Интеграл Хеллингера Хинчин интеграл Колмогоровский интеграл Интеграл Лебега – Стилтьеса. Интеграл Петтиса Интеграл Пфеффера Интеграл Римана – Стилтьеса. Регулируемый интеграл
Методы интеграции	По частям Замена Обратные функции Изменение порядка Тригонометрическая замена Подстановка Эйлера Замена Вейерштрасса Неполные фракции Формулы приведения Параметрические производные Формула Эйлера Дифференцирование под знаком интеграла Контурная интеграция Численное интегрирование
Несобственные интегралы	Гауссовский интеграл Интеграл Дирихле Интеграл Ферми – Дирака полный неполный Интеграл Бозе – Эйнштейна Интеграл Фруллани Общие интегралы в квантовой теории поля
Стохастические интегралы	Ито интегральный Интеграл Руссо – Валлуа Интеграл Стратоновича Скороход интеграл

Navigation

Navigation

Themenportale

WikiDer > Тригонометрическая замена

Содержание