WikiDer > Корневой тест

В математика, то корневой тест является критерием конвергенция (а проверка сходимости) из бесконечная серия. Это зависит от количества

${ displaystyle limsup _ {п rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

куда ${ displaystyle a_ {n}}$ являются членами ряда, и утверждает, что ряд абсолютно сходится, если эта величина меньше единицы, и расходится, если она больше единицы. Это особенно полезно в связи с степенной ряд.

Объяснение корневого теста

Схема принятия решений для корневого теста

Корневой тест был разработан первым Огюстен-Луи Коши кто опубликовал это в своем учебнике Cours d'analyse (1821).^[1] Таким образом, его иногда называют Корень Коши тест или же Радикальный тест Коши. Для серии

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}.}$

в корневом тесте используется число

${ displaystyle C = limsup _ {n rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

где "lim sup" обозначает предел высшего, возможно ∞ +. ^[2] Обратите внимание, что если

${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

сходится, тогда он равен C и может использоваться вместо этого в корневом тесте.

Корневой тест утверждает, что:

• если C <1, то ряд сходится абсолютно,
• если C > 1, то серия расходится,
• если C = 1 и предел приближается строго сверху, то ряд расходится,
• в противном случае тест будет безрезультатным (ряды могут расходиться, сходиться абсолютно или сходятся условно).

Есть несколько серий, для которых C = 1 и ряд сходится, например ${ Displaystyle textstyle сумма 1 / {п ^ {2}}}$, и есть другие, для которых C = 1 и ряд расходится, например ${ displaystyle textstyle sum 1 / n}$.

Применение к силовому ряду

Этот тест можно использовать с степенной ряд

${ displaystyle f (z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} (z-p) ^ {n}}$

где коэффициенты c_п, а центр п находятся сложные числа и аргумент z - комплексная переменная.

Термины этой серии были бы тогда даны а_п = c_п(z − п)^п. Затем применяют корневой тест к а_п как указано выше. Обратите внимание, что иногда подобный ряд называется степенным рядом п", поскольку радиус схождения это радиус р наибольшего интервала или диска с центром в п такой, что ряд сходится для всех точек z строго внутри (сходимость на границе отрезка или диска обычно проверяется отдельно). А следствие корневого теста, применяемого к такому степенному ряду, является Теорема Коши – Адамара: радиус сходимости ровно ${ displaystyle 1 / limsup _ {n rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$ следя за тем, чтобы мы действительно имели в виду ∞, если знаменатель равен 0.

Доказательство

Доказательство сходимости ряда Σа_п это приложение сравнительный тест. Если для всех п ≥ N (N некоторые фиксированные натуральное число) у нас есть ${ displaystyle { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} leq k <1,}$ тогда ${ displaystyle | a_ {n} | leq k ^ {n} <1}$. Поскольку геометрическая серия ${ Displaystyle сумма _ {п = N} ^ { infty} к ^ {п}}$ сходится так делает ${ Displaystyle сумма _ {п = N} ^ { infty} | а_ {п} |}$ сравнительным тестом. Следовательно, Σа_п сходится абсолютно.

Если ${ displaystyle { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}}> 1}$ бесконечно много п, тогда а_п не сходится к 0, следовательно, ряд расходится.

Доказательство следствия: Для степенного ряда Σа_п = Σc_п(z − п)^п, из сказанного выше видно, что ряд сходится, если существует N такой, что для всех п ≥ N у нас есть

${ displaystyle { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = { sqrt [{n}] {| c_ {n} (z-p) ^ {n} |}} <1,}$

эквивалентно

${ displaystyle { sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} cdot | z-p | <1}$

для всех п ≥ N, откуда следует, что для сходимости ряда необходимо, чтобы ${ displaystyle | z-p | <1 / { sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}}$ для всех достаточно больших п. Это эквивалентно высказыванию

${ displaystyle | z-p | <1 / limsup _ {n rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

так ${ displaystyle R leq 1 / limsup _ {n rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$ Единственное другое место, где возможна конвергенция, - это когда

${ displaystyle { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = { sqrt [{n}] {| c_ {n} (z-p) ^ {n} |}} = 1,}$

(поскольку точки> 1 будут расходиться), и это не изменит радиус сходимости, поскольку это просто точки, лежащие на границе интервала или круга, поэтому

${ displaystyle R = 1 / limsup _ {n rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$

Смотрите также

• Соотношение тест
• Сходящийся ряд

Рекомендации

• Кнопп, Конрад (1956). «§ 3.2». Бесконечные последовательности и серии. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-486-60153-6.
• Уиттакер, Э. Т. и Уотсон, Г. Н. (1963). «§ 2.35». Курс современного анализа (четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58807-3.

В этой статье используется материал из теста доказательства корня Коши на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.