WikiDer > Предел сравнительный тест

В математика, то предельный сравнительный тест (LCT) (в отличие от родственных тест прямого сравнения) - метод проверки сходимости бесконечная серия.

утверждение

Предположим, что у нас есть две серии ${displaystyle Sigma _ {n} a_ {n}}$ и ${displaystyle Sigma _ {n} b_ {n}}$ с ${displaystyle a_ {n} geq 0, b_ {n}> 0}$ для всех ${displaystyle n}$.

Тогда если ${displaystyle lim _ {n o infty} {frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$ с ${displaystyle 0$, то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся.^[1]

Доказательство

Потому что ${displaystyle lim _ {n o infty} {frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$ мы знаем это для всех ${displaystyle varepsilon> 0}$ есть положительное целое число ${displaystyle n_ {0}}$ такое, что для всех ${displaystyle ngeq n_ {0}}$ у нас есть это ${displaystyle left | {frac {a_ {n}} {b_ {n}}} - cight |$, или эквивалентно

${displaystyle -varepsilon <{frac {a_ {n}} {b_ {n}}} - c$

${displaystyle c-varepsilon <{frac {a_ {n}} {b_ {n}}}$

${displaystyle (c-varepsilon) b_ {n}$

Так как ${displaystyle c> 0}$ мы можем выбрать ${displaystyle varepsilon}$ быть достаточно малым, чтобы ${displaystyle c-varepsilon}$ положительный. так ${displaystyle b_ {n} <{frac {1} {c-varepsilon}} a_ {n}}$ и по тест прямого сравнения, если ${displaystyle sum _ {n} a_ {n}}$ сходится, то так же ${displaystyle sum _ {n} b_ {n}}$.

по аналогии ${displaystyle a_ {n} <(c + varepsilon) b_ {n}}$, так что если ${displaystyle sum _ {n} a_ {n}}$ расходится, опять же при прямом сравнении, так же как и ${displaystyle sum _ {n} b_ {n}}$.

То есть оба ряда сходятся или оба ряда расходятся.

пример

Мы хотим определить, ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {2} + 2n}}}$ сходится. Для этого сравним со сходящимся рядом ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {2}}} = {frac {pi ^ {2}} {6}}}$.

Так как ${displaystyle lim _ {n o infty} {frac {1} {n ^ {2} + 2n}} {frac {n ^ {2}} {1}} = 1> 0}$ мы имеем, что исходный ряд также сходится.

Односторонняя версия

Можно сформулировать односторонний сравнительный тест, используя предел высшего. Позволять ${displaystyle a_ {n}, b_ {n} geq 0}$ для всех ${displaystyle n}$. Тогда если ${displaystyle limsup _ {n o infty} {frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c}$ с ${displaystyle 0leq c$ и ${displaystyle Sigma _ {n} b_ {n}}$ сходится, обязательно ${displaystyle Sigma _ {n} a_ {n}}$ сходится.

пример

Позволять ${displaystyle a_ {n} = {гидроразрыв {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$ и ${displaystyle b_ {n} = {гидроразрыв {1} {n ^ {2}}}}$ для всех натуральных чисел ${displaystyle n}$. Сейчас же ${displaystyle lim _ {n o infty} {frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = lim _ {n o infty} (1 - (- 1) ^ {n})}$ не существует, поэтому мы не можем применить стандартный сравнительный тест. Однако, ${displaystyle limsup _ {n o infty} {frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = limsup _ {n o infty} (1 - (- 1) ^ {n}) = 2in [0, infty )}$ и с тех пор ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {2}}}}$ сходится, односторонний сравнительный тест подразумевает, что ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}}$ сходится.

Конверс одностороннего сравнительного теста

Позволять ${displaystyle a_ {n}, b_ {n} geq 0}$ для всех ${displaystyle n}$. Если ${displaystyle Sigma _ {n} a_ {n}}$ расходится и ${displaystyle Sigma _ {n} b_ {n}}$ сходится, то обязательно ${displaystyle limsup _ {n o infty} {frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = infty}$, это, ${displaystyle liminf _ {n o infty} {frac {b_ {n}} {a_ {n}}} = 0}$. Существенное содержание здесь состоит в том, что в некотором смысле числа ${displaystyle a_ {n}}$ больше, чем числа ${displaystyle b_ {n}}$.

пример

Позволять ${displaystyle f (z) = сумма _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} z ^ {n}}$ быть аналитичным в единичном круге ${displaystyle D = {zin mathbb {C}: | z | <1}}$ и иметь изображение конечной площади. От Формула Парсеваля область изображения ${displaystyle f}$ является ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} n | a_ {n} | ^ {2}}$. Более того, ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} 1 / n}$ расходится. Следовательно, в результате обратного сравнения теста мы имеем${displaystyle liminf _ {n o infty} {frac {n | a_ {n} | ^ {2}} {1 / n}} = liminf _ {n o infty} (n | a_ {n} |) ^ {2 } = 0}$, это,${displaystyle liminf _ {n o infty} n | a_ {n} | = 0}$.

Смотрите также

• Тесты сходимости
• Тест прямого сравнения

использованная литература

дальнейшее чтение

• Ринальдо Б. Скинаци: От исчисления к анализу. Springer, 2011 г., ISBN 9780817682897, стр. 50
• Микеле Лонго и Винченцо Валори: Сравнительный тест: не только для неотрицательных рядов. Математический журнал, Vol. 79, № 3 (июнь 2006 г.), стр. 205–210 (JSTOR)
• Дж. Маршалл Эш: Тест сравнения пределов требует положительности. Математический журнал, Vol. 85, № 5 (декабрь 2012 г.), стр. 374–375 (JSTOR)

внешняя ссылка

• Онлайн-заметки Полса о сравнительном тесте