Замена переменной для интегралов с участием тригонометрических функций
В интегральное исчисление , то Замена Вейерштрасса или же замена касательного полуугла это метод оценки интегралы , который преобразует рациональная функция из тригонометрические функции из Икс { displaystyle x} т { displaystyle t} т = загар ( Икс / 2 ) { Displaystyle т = загар (х / 2)} [1] [2] Общность не теряется принимая их за рациональные функции синуса и косинуса. Общая формула преобразования:
∫ ж ( грех ( Икс ) , потому что ( Икс ) ) d Икс = ∫ 2 1 + т 2 ж ( 2 т 1 + т 2 , 1 − т 2 1 + т 2 ) d т . { displaystyle int е ( sin (x), cos (x)) , dx = int { frac {2} {1 + t ^ {2}}} f left ({ frac {2t } {1 + t ^ {2}}}, { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} right) , dt.} Он назван в честь Карл Вейерштрасс (1815–1897),[3] [4] [5] Леонард Эйлер с 1768 г.[6] Михаил Спивак написал, что этот метод был «самой хитрой заменой» в мире.[7]
Замена
Начиная с рациональной функции синусов и косинусов, заменяют грех Икс { Displaystyle грех х} потому что Икс { Displaystyle соз х} т { displaystyle t} d Икс { displaystyle dx} d т { displaystyle dt}
Позволять т = загар ( Икс / 2 ) { Displaystyle т = загар (х / 2)} − π < Икс < π { Displaystyle - пи <х < пи} [1] [8]
грех ( Икс 2 ) = т 1 + т 2 и потому что ( Икс 2 ) = 1 1 + т 2 . { displaystyle sin left ({ frac {x} {2}} right) = { frac {t} { sqrt {1 + t ^ {2}}}} qquad { text {и} } qquad cos left ({ frac {x} {2}} right) = { frac {1} { sqrt {1 + t ^ {2}}}}.}. Следовательно,
грех Икс = 2 т 1 + т 2 , потому что Икс = 1 − т 2 1 + т 2 , и d Икс = 2 1 + т 2 d т . { displaystyle sin x = { frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, qquad cos x = { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2} }}, qquad { text {and}} qquad dx = { frac {2} {1 + t ^ {2}}} , dt.} Вывод формул Посредством формулы двойного угла ,
грех Икс = 2 грех ( Икс 2 ) потому что ( Икс 2 ) = 2 ⋅ т т 2 + 1 ⋅ 1 т 2 + 1 = 2 т т 2 + 1 , { displaystyle sin x = 2 sin left ({ frac {x} {2}} right) cos left ({ frac {x} {2}} right) = 2 cdot { frac {t} { sqrt {t ^ {2} +1}}} cdot { frac {1} { sqrt {t ^ {2} +1}}} = { frac {2t} {t ^ {2} +1}},} и
потому что Икс = 2 потому что 2 ( Икс 2 ) − 1 = 2 т 2 + 1 − 1 = 2 − ( т 2 + 1 ) т 2 + 1 = 1 − т 2 1 + т 2 . { displaystyle cos x = 2 cos ^ {2} left ({ frac {x} {2}} right) -1 = { frac {2} {t ^ {2} +1}} - 1 = { гидроразрыва {2- (t ^ {2} +1)} {t ^ {2} +1}} = { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}} }.} Наконец, поскольку т = загар ( Икс 2 ) { Displaystyle т = загар влево ({ гидроразрыва {х} {2}} вправо)}
d т = 1 2 сек 2 ( Икс 2 ) d Икс = d Икс 2 потому что 2 Икс 2 = d Икс 2 ⋅ 1 т 2 + 1 ⇒ d Икс = 2 т 2 + 1 d т . { displaystyle dt = { frac {1} {2}} sec ^ {2} left ({ frac {x} {2}} right) dx = { frac {dx} {2 cos ^ {2} { frac {x} {2}}}} = { frac {dx} {2 cdot { frac {1} {t ^ {2} +1}}}} qquad Rightarrow qquad dx = { frac {2} {t ^ {2} +1}} dt.} Примеры
Первый пример: интеграл косеканса ∫ csc Икс d Икс = ∫ d Икс грех Икс = ∫ ( 1 + т 2 2 т ) ( 2 1 + т 2 ) d т т = загар Икс 2 = ∫ d т т = пер | т | + C = пер | загар Икс 2 | + C . { displaystyle { begin {align} int csc x , dx & = int { frac {dx} { sin x}} [6pt] & = int left ({ frac {1+ t ^ {2}} {2t}} right) left ({ frac {2} {1 + t ^ {2}}} right) dt && t = tan { frac {x} {2}} [6pt] & = int { frac {dt} {t}} [6pt] & = ln | t | + C [6pt] & = ln left | tan { frac { x} {2}} right | + C. end {align}}} Мы можем подтвердить приведенный выше результат, используя стандартный метод вычисления интеграла косеканса, умножив числитель и знаменатель на csc Икс − детская кроватка Икс { displaystyle csc x- cot x} ты = csc Икс − детская кроватка Икс { displaystyle u = csc x- cot x} d ты = ( − csc Икс детская кроватка Икс + csc 2 Икс ) d Икс { displaystyle du = (- csc x cot x + csc ^ {2} x) , dx}
∫ csc Икс d Икс = ∫ csc Икс ( csc Икс − детская кроватка Икс ) csc Икс − детская кроватка Икс d Икс = ∫ ( csc 2 Икс − csc Икс детская кроватка Икс ) d Икс csc Икс − детская кроватка Икс ты = csc Икс − детская кроватка Икс = ∫ d ты ты d ты = ( − csc Икс детская кроватка Икс + csc 2 Икс ) d Икс = пер | ты | + C = пер | csc Икс − детская кроватка Икс | + C . { Displaystyle { begin {align} int csc x , dx & = int { frac { csc x ( csc x- cot x)} { csc x- cot x}} , dx [6pt] & = int { frac {( csc ^ {2} x- csc x cot x) , dx} { csc x- cot x}} && u = csc x- кроватка x [6pt] & = int { frac {du} {u}} && du = (- csc x cot x + csc ^ {2} x) , dx [6pt] & = ln | u | + C = ln | csc x- cot x | + C. end {align}}} Теперь формулы половинного угла для синусов и косинусов имеют вид
грех 2 θ = 1 − потому что 2 θ 2 и потому что 2 θ = 1 + потому что 2 θ 2 . { displaystyle sin ^ {2} theta = { frac {1- cos 2 theta} {2}} quad { text {and}} quad cos ^ {2} theta = { гидроразрыв {1+ cos 2 theta} {2}}.}
Они дают
∫ csc Икс d Икс = пер | загар Икс 2 | + C = пер 1 − потому что Икс 1 + потому что Икс + C = пер 1 − потому что Икс 1 + потому что Икс ⋅ 1 − потому что Икс 1 − потому что Икс + C = пер ( 1 − потому что Икс ) 2 грех 2 Икс + C = пер ( 1 − потому что Икс грех Икс ) 2 + C = пер ( 1 грех Икс − потому что Икс грех Икс ) 2 + C = пер ( csc Икс − детская кроватка Икс ) 2 + C = пер | csc Икс − детская кроватка Икс | + C , { displaystyle { begin {align} int csc x , dx & = ln left | tan { frac {x} {2}} right | + C = ln { sqrt { frac { 1- cos x} {1+ cos x}}} + C [6pt] & = ln { sqrt {{ frac {1- cos x} {1+ cos x}} cdot { frac {1- cos x} {1- cos x}}}} + C [6pt] & = ln { sqrt { frac {(1- cos x) ^ {2}} { sin ^ {2} x}}} + C [6pt] & = ln { sqrt { left ({ frac {1- cos x} { sin x}} right) ^ { 2}}} + C [6pt] & = ln { sqrt { left ({ frac {1} { sin x}} - { frac { cos x} { sin x}} справа) ^ {2}}} + C [6pt] & = ln { sqrt {( csc x- cot x) ^ {2}}} + C = ln left | csc x- cot x right | + C, end {align}}}
так что два ответа эквивалентны. В качестве альтернативы можно использовать тождество касательной половины угла получить
загар Икс 2 = 1 − потому что Икс грех Икс = 1 грех Икс − потому что Икс грех Икс = csc Икс − детская кроватка Икс . { displaystyle tan { frac {x} {2}} = { frac {1- cos x} { sin x}} = { frac {1} { sin x}} - { frac { cos x} { sin x}} = csc x- cot x.} В секущий интеграл могут быть оценены аналогичным образом.
Второй пример: определенный интеграл ∫ 0 2 π d Икс 2 + потому что Икс = ∫ 0 π d Икс 2 + потому что Икс + ∫ π 2 π d Икс 2 + потому что Икс = ∫ 0 ∞ 2 d т 3 + т 2 + ∫ − ∞ 0 2 d т 3 + т 2 т = загар Икс 2 = ∫ − ∞ ∞ 2 d т 3 + т 2 = 2 3 ∫ − ∞ ∞ d ты 1 + ты 2 т = ты 3 = 2 π 3 . { displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {2+ cos x}} & = int _ {0} ^ { pi} { frac {dx} {2+ cos x}} + int _ { pi} ^ {2 pi} { frac {dx} {2+ cos x}} [6pt] & = int _ {0} ^ { infty} { frac {2 , dt} {3 + t ^ {2}}} + int _ {- infty} ^ {0} { frac {2 , dt} { 3 + t ^ {2}}} & t & = tan { frac {x} {2}} [6pt] & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {2 , dt} {3 + t ^ {2}}} [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac { du} {1 + u ^ {2}}} & t & = u { sqrt {3}} [6pt] & = { frac {2 pi} { sqrt {3}}}. end {выровнено }}} В первой строке нельзя просто подставить т = 0 { displaystyle t = 0} пределы интеграции . В необычность (в этом случае вертикальная асимптота ) из т = загар Икс 2 { displaystyle t = tan { frac {x} {2}}} Икс = π { Displaystyle х = пи}
∫ d Икс 2 + потому что Икс = ∫ 1 2 + 1 − т 2 1 + т 2 2 d т т 2 + 1 т = загар Икс 2 = ∫ 2 d т 2 ( т 2 + 1 ) + ( 1 − т 2 ) = ∫ 2 d т т 2 + 3 = 2 3 ∫ d т ( т 3 ) 2 + 1 ты = т 3 = 2 3 ∫ d ты ты 2 + 1 загар θ = ты = 2 3 ∫ потому что 2 θ сек 2 θ d θ = 2 3 ∫ d θ = 2 3 θ + C = 2 3 арктан ( т 3 ) + C = 2 3 арктан [ загар ( Икс / 2 ) 3 ] + C . { displaystyle { begin {align} int { frac {dx} {2+ cos x}} & = int { frac {1} {2 + { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}} { frac {2 , dt} {t ^ {2} +1}} && t = tan { frac {x} {2}} [6pt] & = int { frac {2 , dt} {2 (t ^ {2} +1) + (1-t ^ {2})}} = int { frac {2 , dt} {t ^ {2} +3}} [6pt] & = { frac {2} {3}} int { frac {dt} { left ({ frac {t} { sqrt {3}}) } right) ^ {2} +1}} && u = { frac {t} { sqrt {3}}} [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} int { frac {du} {u ^ {2} +1}} && tan theta = u [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} int cos ^ {2} theta sec ^ {2} theta , d theta = { frac {2} { sqrt {3}}} int d theta [6pt] & = { frac {2 } { sqrt {3}}} theta + C = { frac {2} { sqrt {3}}} arctan left ({ frac {t} { sqrt {3}}} right) + C [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} arctan left [{ frac { tan (x / 2)} { sqrt {3}}} right ] + C. End {выровнено}}}
По симметрии
∫ 0 2 π d Икс 2 + потому что Икс = 2 ∫ 0 π d Икс 2 + потому что Икс = Lim б → π 4 3 арктан ( загар Икс / 2 3 ) | 0 б = 4 3 [ Lim б → π арктан ( загар б / 2 3 ) − арктан ( 0 ) ] = 4 3 ( π 2 − 0 ) = 2 π 3 , { displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {2+ cos x}} & = 2 int _ {0} ^ { pi} { frac {dx} {2+ cos x}} = lim _ {b rightarrow pi} { frac {4} { sqrt {3}}} arctan left ({ frac { tan x / 2} { sqrt {3}}} right) { Biggl |} _ {0} ^ {b} [6pt] & = { frac {4} { sqrt {3}}} { Biggl [} lim _ {b rightarrow pi} arctan left ({ frac { tan b / 2} { sqrt {3}}} right) - arctan (0) { Biggl]} = { frac {4} { sqrt {3}}} left ({ frac { pi} {2}} - 0 right) = { frac {2 pi} { sqrt {3}} }, end {align}}}
что совпадает с предыдущим ответом.
Третий пример: синус и косинус ∫ d Икс а потому что Икс + б грех Икс + c = ∫ 2 d т а ( 1 − т 2 ) + 2 б т + c ( т 2 + 1 ) = ∫ 2 d т ( c − а ) т 2 + 2 б т + а + c = 2 c 2 − ( а 2 + б 2 ) арктан ( c − а ) загар Икс 2 + б c 2 − ( а 2 + б 2 ) + C { displaystyle { begin {align} int { frac {dx} {a cos x + b sin x + c}} & = int { frac {2dt} {a (1-t ^ {2 }) + 2bt + c (t ^ {2} +1)}} [6pt] & = int { frac {2dt} {(ca) t ^ {2} + 2bt + a + c}} [6pt] & = { frac {2} { sqrt {c ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2})}}} arctan { frac {(ca) tan { frac {x} {2}} + b} { sqrt {c ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2})}}} + C end {выровнено}}} Если 4 E = 4 ( c − а ) ( c + а ) − ( 2 б ) 2 = 4 ( c 2 − ( а 2 + б 2 ) ) > 0. { displaystyle 4E = 4 (c-a) (c + a) - (2b) ^ {2} = 4 (c ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2}))> 0.}
Геометрия
Подстановка Вейерштрасса параметризует
единичный круг с центром в (0, 0). Вместо + ∞ и −∞ у нас есть только одно ∞ на обоих концах вещественной прямой. Это часто уместно при работе с рациональными функциями и тригонометрическими функциями. (Это
одноточечная компактификация линии.)
В качестве Икс меняется, точка (cosИкс грехИкс ) многократно наматывается вокруг единичный круг с центром в (0, 0). Смысл
( 1 − т 2 1 + т 2 , 2 т 1 + т 2 ) { displaystyle left ({ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}, { frac {2t} {1 + t ^ {2}}} right)} ходит только один раз по кругу как т идет от −∞ к + ∞ и никогда не достигает точки (−1, 0), к которой приближается как предел, как т приближается к ± ∞. В качестве т переходит от −∞ к −1, точка, определяемая т проходит через часть круга в третьем квадранте от (−1, 0) до (0, −1). В качестве т идет от −1 до 0, точка следует за частью круга в четвертом квадранте от (0, −1) до (1, 0). В качестве т идет от 0 до 1, точка следует за частью круга в первом квадранте от (1, 0) до (0, 1). Наконец, как т идет от 1 до + ∞, точка следует за частью круга во втором квадранте от (0, 1) до (−1, 0).
Вот еще одна геометрическая точка зрения. Нарисуйте единичный круг, и пусть п быть точкой (−1, 0) . Линия через п (кроме вертикальной линии) определяется ее наклоном. Кроме того, каждая из прямых (кроме вертикальной) пересекает единичный круг ровно в двух точках, одна из которых п . Это определяет функцию от точек на единичной окружности до уклонов. Тригонометрические функции определяют функцию от углов до точек на единичной окружности, и, комбинируя эти две функции, мы получаем функцию от углов до наклонов.
Галерея
(1/2) Подстановка Вейерштрасса связывает угол с наклоном прямой.
Гиперболические функции
Как и в случае других свойств, общих для тригонометрических функций и гиперболических функций, можно использовать гиперболические тождества чтобы построить аналогичную форму замены:
грех Икс = 2 т 1 − т 2 , шиш Икс = 1 + т 2 1 − т 2 , танх Икс = 2 т 1 + т 2 , и d Икс = 2 1 − т 2 d т . { Displaystyle зп Икс = { гидроразрыва {2t} {1-t ^ {2}}}, qquad cosh x = { frac {1 + t ^ {2}} {1-t ^ {2} }}, qquad tanh x = { frac {2t} {1 + t ^ {2}}}, qquad { text {and}} qquad dx = { frac {2} {1-t ^ {2}}} , dt.} Смотрите также
дальнейшее чтение
Примечания и ссылки
^ а б Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление: ранние трансцендентальные теории 493 . ISBN 978-0-538-49790-9 ^ Weisstein, Eric W. "Вейерштрасс Замена ." Из MathWorld - Веб-ресурс Wolfram. По состоянию на 1 апреля 2020 г. ^ Джеральд Л. Брэдли и Карл Дж. Смит, Исчисление , Prentice Hall, 1995, стр. 462, 465, 466. ^ Кристоф Тойшер, Алан Тьюринг: жизнь и наследие великого мыслителя , Springer, 2004 г., стр. 105–6. ^ Джеймс Стюарт, Исчисление: ранние трансцендентальные теории , Brooks / Cole, 1 апреля 1991 г., стр. 436 ^ Эйлер, Леонард (1768). "Institutiionum calci integrationis volumen primum. E342, Caput V, параграф 261" (PDF) . Эйлер архив . Математическая ассоциация Америки (MAA). Получено 1 апреля, 2020 . ^ Михаил Спивак, Исчисление , Издательство Кембриджского университета , 2006, страницы 382–383. ^ Джеймс Стюарт, Исчисление: ранние трансцендентальные теории , Brooks / Cole, 1991, стр. 439 внешняя ссылка
![{ displaystyle { begin {align} int csc x , dx & = int { frac {dx} { sin x}} [6pt] & = int left ({ frac {1+ t ^ {2}} {2t}} right) left ({ frac {2} {1 + t ^ {2}}} right) dt && t = tan { frac {x} {2}} [6pt] & = int { frac {dt} {t}} [6pt] & = ln | t | + C [6pt] & = ln left | tan { frac { x} {2}} right | + C. end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30179a5d12651d673761823ec950c1719690eecb)
![{ Displaystyle { begin {align} int csc x , dx & = int { frac { csc x ( csc x- cot x)} { csc x- cot x}} , dx [6pt] & = int { frac {( csc ^ {2} x- csc x cot x) , dx} { csc x- cot x}} && u = csc x- кроватка x [6pt] & = int { frac {du} {u}} && du = (- csc x cot x + csc ^ {2} x) , dx [6pt] & = ln | u | + C = ln | csc x- cot x | + C. end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093f2e3f56f8a1551a028771bfde99c4eff85e2d)
![{ displaystyle { begin {align} int csc x , dx & = ln left | tan { frac {x} {2}} right | + C = ln { sqrt { frac { 1- cos x} {1+ cos x}}} + C [6pt] & = ln { sqrt {{ frac {1- cos x} {1+ cos x}} cdot { frac {1- cos x} {1- cos x}}}} + C [6pt] & = ln { sqrt { frac {(1- cos x) ^ {2}} { sin ^ {2} x}}} + C [6pt] & = ln { sqrt { left ({ frac {1- cos x} { sin x}} right) ^ { 2}}} + C [6pt] & = ln { sqrt { left ({ frac {1} { sin x}} - { frac { cos x} { sin x}} справа) ^ {2}}} + C [6pt] & = ln { sqrt {( csc x- cot x) ^ {2}}} + C = ln left | csc x- cot x right | + C, end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6580a90152fbb98c3e64d534688670126d5d32ca)
![{ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {2+ cos x}} & = int _ {0} ^ { pi} { frac {dx} {2+ cos x}} + int _ { pi} ^ {2 pi} { frac {dx} {2+ cos x}} [6pt] & = int _ {0} ^ { infty} { frac {2 , dt} {3 + t ^ {2}}} + int _ {- infty} ^ {0} { frac {2 , dt} { 3 + t ^ {2}}} & t & = tan { frac {x} {2}} [6pt] & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {2 , dt} {3 + t ^ {2}}} [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac { du} {1 + u ^ {2}}} & t & = u { sqrt {3}} [6pt] & = { frac {2 pi} { sqrt {3}}}. end {выровнено }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b793337dc43587ae173d41f14945ee86b3f98f2)
![{ displaystyle { begin {align} int { frac {dx} {2+ cos x}} & = int { frac {1} {2 + { frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}} { frac {2 , dt} {t ^ {2} +1}} && t = tan { frac {x} {2}} [6pt] & = int { frac {2 , dt} {2 (t ^ {2} +1) + (1-t ^ {2})}} = int { frac {2 , dt} {t ^ {2} +3}} [6pt] & = { frac {2} {3}} int { frac {dt} { left ({ frac {t} { sqrt {3}}) } right) ^ {2} +1}} && u = { frac {t} { sqrt {3}}} [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} int { frac {du} {u ^ {2} +1}} && tan theta = u [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} int cos ^ {2} theta sec ^ {2} theta , d theta = { frac {2} { sqrt {3}}} int d theta [6pt] & = { frac {2 } { sqrt {3}}} theta + C = { frac {2} { sqrt {3}}} arctan left ({ frac {t} { sqrt {3}}} right) + C [6pt] & = { frac {2} { sqrt {3}}} arctan left [{ frac { tan (x / 2)} { sqrt {3}}} right ] + C. End {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea77614a8606b307829158dc026ddb05064217f6)
![{ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {dx} {2+ cos x}} & = 2 int _ {0} ^ { pi} { frac {dx} {2+ cos x}} = lim _ {b rightarrow pi} { frac {4} { sqrt {3}}} arctan left ({ frac { tan x / 2} { sqrt {3}}} right) { Biggl |} _ {0} ^ {b} [6pt] & = { frac {4} { sqrt {3}}} { Biggl [} lim _ {b rightarrow pi} arctan left ({ frac { tan b / 2} { sqrt {3}}} right) - arctan (0) { Biggl]} = { frac {4} { sqrt {3}}} left ({ frac { pi} {2}} - 0 right) = { frac {2 pi} { sqrt {3}} }, end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87ae77405b6f398131a72e19a15b27926f67e71)
![{ displaystyle { begin {align} int { frac {dx} {a cos x + b sin x + c}} & = int { frac {2dt} {a (1-t ^ {2 }) + 2bt + c (t ^ {2} +1)}} [6pt] & = int { frac {2dt} {(ca) t ^ {2} + 2bt + a + c}} [6pt] & = { frac {2} { sqrt {c ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2})}}} arctan { frac {(ca) tan { frac {x} {2}} + b} { sqrt {c ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2})}}} + C end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626fd45e2243e7efd165c2db047298ffba07a41a)
