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Formeleconceptanalyse

Formale Konzeptanalyse (formale Konzeptanalyse, FCA) ist ein qualitativ Technik aus dem Informationswissenschaft die eingegeben wurde von Rudolf Wille um 1984. FCA baut eine geordnete Hierarchie von Konzepte oder formell Ontologie für eine bestimmte Domäne, wobei formale Konzepte Ausdrücke zwischen bestimmten Objekten und ihren Eigenschaften.

Die Technologie basiert auf der Ordnungstheorie und die Theorie von Riegel das von Garrett Birkhoff und andere wurde in den 1930er Jahren entwickelt.

FCA hat sich zu einem umfangreichen Forschungsgebiet entwickelt. Es wurde verwendet in Data-Mining^[1]^[2]^[3], Informationsrückgewinnung, Textanalyse, Wissensmanagement (Wissensmanagement), maschinelles Lernen und Softwareentwicklung.

Hintergrund

Der Begriff formales Konzept hat seinen Ursprung in der philosophischen Theorie des Begriffs Konzept, die sagt, dass ein Konzept von ihr bestimmt wird Umfang (Welche Dinge fallen unter das Konzept?) und sie Absicht (Welche Eigenschaften oder Eigenschaften haben diese Dinge gemeinsam?).

Dies wird übersetzt in a formaler Kontext, das ist ein Tripel (G, ich, R) bestehend aus a SammlungG von Objekten, eine Sammlung ich von Eigenschaften oder Attributen und a binäre BeziehungR von G zu ich; xRy bedeutet: Objekt X besitzt Eigentum ja.

Die Namen G für Objekte und ich für Attribute gehen auf die deutschen Namen zurück, die Wille eingeführt hat: "Gegenstände" und "Merkmale".

Die Beziehung R kann man sich in a vorstellen zweigeteilte Zählung oder der Inzidenzmatrix davon; dies ist eine 0-1-Matrix, deren Zeilen Objekten und die Spalten Eigenschaften entsprechen und deren Element Zeile entspricht ich und Spalte ja 1 ist als Objekt ich die Eigenschaft ja besitzt, und 0 sonst.

In einem formalen Kontext ist a formales Konzept als wenige beschrieben werden (ein, B) in welchem ein ein Teilmenge ist aus der Objektsammlung G und B eine Teilmenge der Attributmenge ich, so dass gleichzeitig gilt: ein ist die größte Sammlung von Objekten, die alle Attribute enthält B besitzen und: B ist die größte Sammlung von Attributen, die von allen Objekten geteilt werden ein Geteilt werden.

Formale Definition

EIN formales Konzept ist definiert in Bezug auf die Energiesammlungen ${displaystyle {mathcal {P}}(G)}$ von G und ${displaystyle {mathcal {P}}(M)}$ von ich; diese sind teilweise bestellt Mengen mit Ordnungsrelation "ist Teilmenge von".

Man definiert dann a Bildf von ${displaystyle {mathcal {P}}(G)}$ auf ${displaystyle {mathcal {P}}(M)}$ mit:

{displaystyle f(Ain {mathcal {P}}(G))={xin M|sRx für alle sin A}}

Dies ist der Satz von Eigenschaften, der von allen Objekten von geteilt wird ${Anzeigestil A}$ geteilt und wird mit . bezeichnet ${Anzeigestil A'}$ . wenn ${Displaystil A={g}}$ enthält ein einzelnes Objekt heißt ${Anzeigestil A'}$ das Objekt-Intention vom Objekt ${displaystyle g}$ .

Analog wird zum Bild G definiert von ${displaystyle {mathcal {P}}(M)}$ auf ${displaystyle {mathcal {P}}(G)}$ :

{displaystyle g(Bin {mathcal {P}}(M))={yin G|yRt für alle Zinn B}}

Dies ist die Sammlung von Objekten, die alle Attribute enthält ${Anzeigestil B}$ besitzen. Diese Sammlung wird gekennzeichnet durch ${Anzeigestil B'}$ . wenn ${Displaystil B={m}}$ enthält ein einzelnes Attribut heißt ${Anzeigestil B'}$ das Attribut-Ausdehnung von Attribut ${displaystyle m}$ .

Wann jetzt ${Anzeigestil A'=B}$ und ${Anzeigestil B'=A}$ spricht man von a formales Konzept ${Anzeigestil (A,B)}$ . Birkhoff nannte das a Polarität. ${Anzeigestil A}$ ist der Umfang des Konzepts und ${Anzeigestil B}$ das Absicht.

Für ein formales Konzept ${Anzeigestil (A,B)}$ ist ${Anzeigestil g(f(A))=A''=A}$ und ${Anzeigestil f(g(B))=B''=B}$ .

Die Bilder f und G werde auch der Ableitungsoperatoren erwähnt. Sie definieren a Auftragsumkehr Galois-Verbindung (ein von introduced eingeführter Begriff Øysteinerz) zwischen den Potenzmengen der Objektmenge und der Attributmenge. Umgekehrt kann jede dieser Galois-Verbindungen als Bilderpaar eines formalen Kontexts dargestellt werden.

Anordnung der Konzepte

Auf der Menge aller formalen Konzepte kann man eine Teilordnung ≤ ("Subkonzept") definieren. wenn (ein, B) und (EIN*, B*) zwei Konzepte sind, dann bestimmt man, dass (ein, B) ≤ (EIN*, B*) wann ein ⊆ EIN* (oder, was auf dasselbe hinausläuft :(ein, B) ≤ (EIN*, B*) wann B* ⊆ B). Somit wird ein Konzept höher eingestuft als ein anderes, wenn es mehr Objekte beschreibt oder weniger Attribute hat; Es ist ein allgemeineres Konzept.

In dieser Reihenfolge haben zwei verschiedene Konzepte immer eine eindeutige größte untere Schranke oder infimum. Für Entwürfe (ein, B) und (EIN*, B*) das ist das Konzept mit Objektsammlung de Überschneidungein ∩ EIN* und als Attributsatz die VerbandB ∪ B*. In ähnlicher Weise haben zwei Konzepte eine eindeutige kleinste obere Schranke oder höchste; die als Attributsatz den Querschnitt von has hat B und B* und als Objektsammlung die Vereinigung von ein und EIN* und alle anderen Objekte, die alle Attribute von possess besitzen B ∩ B*.

Dies bedeutet, dass die formalen Konzepte eine vollständige Bar Formen, die Konzeptgitter oder Galoi-Bar. Dies ist eine Konzepthierarchie für die Objekte und ihre Eigenschaften; ein Unterkonzept enthält eine Untermenge der Objekte in den Konzepten, die höher in der Leiste stehen. Die Gitteranordnung erlaubt es, Implikationsregeln von Eigenschaften und Beziehungen zwischen Objekten und Eigenschaften zu verfolgen. Das Gitter kann mit algebraischen Techniken analysiert, aber auch visuell in a . dargestellt werden Hasse-Diagramm. Dies ist einer der attraktivsten Aspekte von FCA.

Die Begriffe werden auch verwendet beitreten für das Infimum zweier Konzepte, und messen für das Höchste. Diese können aus der grafischen Darstellung des Gitters abgelesen werden. Wählen Sie zwei Konzepte in der Leiste aus und folgen Sie den absteigenden Pfaden dieser Konzepte. Es gibt immer einen höchsten Punkt, an dem die Wege zusammenlaufen ("Join"), das ist das Infimum. Es gibt auch immer einen tiefsten Punkt im Gitter, an dem aufsteigende Pfade von beiden Konzepten zusammenlaufen ("treffen"); das ist das höchste. Sind die beiden Begriffe durch eine Linie verbunden, so ist der obere Begriff das Supremum und der untere das Infimum.

Algorithmen

Ein einfacher Algorithmus zur Bestimmung aller Konzepte eines formalen Kontextes basiert auf folgenden Überlegungen:

man muss nur die Konzeptausdehnungen (oder die Absichten) bestimmen, den Rest eines Konzepts erhält man durch Anwendung der Ableitungsoperatoren;
jede Ausdehnung ist der Schnittpunkt einer Anzahl von Attributausdehnungen;
der Schnittpunkt beliebig vieler Extents ist immer ein Extent (der Sonderfall ist der Schnittpunkt von Null Extents, der gleich G);
man kann alle Begriffsbereiche aus der Kenntnis aller Attributbereiche bestimmen (und umgekehrt).

Man kann dann eine Liste von Konzepterweiterungen wie folgt erstellen:

Listen Sie für jedes Attribut seine Attributerweiterung auf.
Berechnen Sie den Schnittpunkt für jeweils zwei Sätze in der Liste. Fügen Sie es der Liste hinzu, wenn es noch nicht vorhanden ist. Fahren Sie mit der umfangreichen Liste fort, um alle paarweisen Querschnitte zu untersuchen.
Wenn für jeweils zwei Mengen in der Liste auch ihre Schnittmenge in der Liste enthalten ist, erweitern Sie die Liste mit G, die Menge aller Objekte.

Natürlich sollte man der Liste keine Sammlungen hinzufügen, die bereits vorhanden sind. Wenn Sie fertig sind, enthält die Liste alle Erweiterungsentwürfe. Dann kann man für jeden von ihnen den entsprechenden Intent bestimmen.

Die Ordnung der Begriffe richtet sich nach ihrem Umfang; ein Konzept (ein₁, B₁) ist niedriger geordnet als (oder: ist ein echter Unterbegriff von) einem zweiten Konzept (ein₂, B₂) wann ein₁ ist eine Teilmenge von ein₂ oder B₂ eine Teilmenge von B₁. Das Konzeptraster kann nun erstellt werden, indem man den Regeln für die Erstellung von a following folgt Hasse-Diagramm Folgen.

Dieser Algorithmus kann für (sehr) kleine Kontexte manuell ausgeführt werden, ist jedoch für große Kontexte nicht effizient. Mehrere effizientere Algorithmen wurden entwickelt, um das Konzeptraster zu bestimmen und zu aktualisieren, wenn dem Kontext ein neues Objekt oder Attribut hinzugefügt wird. Einige generieren ein neues Konzept aus einem bestehenden, indem sie den Umfang erhöhen und/oder die Absicht verringern (oder umgekehrt) gemäß einer Strategie, die garantiert, dass alle Konzepte gefunden werden und vorzugsweise so wenige Konzepte wie möglich mehrfach generiert werden. Andere generieren ein neues Konzept aus der Schnittmenge der Ausmaße zweier bestehender Konzepte. Es gibt auch Algorithmen, die Parallelrechner kann mit mehreren Prozessoren betrieben werden.^[4]

Auch für die Darstellung des Spaliers wurden spezielle Programme entwickelt. In realen Anwendungen mit Tausenden von Objekten und Dutzenden von Attributen kann ein Konzeptraster Zehntausende von Konzepten enthalten; es ist unmöglich, sie vollständig darzustellen. Ein "Eisberg"-Diagramm zeigt nur den oberen Teil des Gitters, wobei Konzepte mehr als einen bestimmten Prozentsatz aller Objekte abdecken.

Beispiele

Beispiel 1

Angenommen, wir haben 5 Objekte: A,B,C,D,E und 4 Eigenschaften: X,ja,z,t. Die Beziehung R ist in dieser Tabelle dargestellt, die der Inzidenzmatrix von entspricht R:

	X	ja	z	t
ein	√	√		√
B	√	√		√
C			√
d		√	√
E	√	√		√

Die Sammlung von Objekten mit Eigenschaften X und ja ist ${Anzeigestil g({x,y})={A,B,E}}$ .

Der Satz von Eigenschaften, die gemeinsam sind ${Anzeigestil {A,B,E}}$ ist ${Anzeigestil f({A,B,E})={x,y,t}}$ .

${Anzeigestil {A,B,E}}$ und ${Anzeigestil {x,y}}$ Formen Nein formales Konzept. Letztendlich ${Anzeigestil {x,y}}$ ist nicht die größte Menge von Eigenschaften, die A,B und E gemeinsam ist. Aber die Mengen ${Anzeigestil {A,B,E}}$ und ${Anzeigestil {x,y,t}}$ bilden einen formalen Begriff: A, B und E haben alle drei Eigenschaften X, ja und t; und die Eigenschaften X, ja, t werden nur von den Objekten A, B und E geteilt. Die Zeilen von A, B und E und die Spalten von kolommen X, ja, und t bilden ein maximal gefülltes Rechteck in der Inzidenzmatrix.

Wird die Sammlung jetzt erweitert? ${Anzeigestil {A,B,E}}$ auf nach ${Anzeigestil {A,B,D,E}}$ , dann wird ${Anzeigestil f({A,B,D,E})={y}}$ ; ja ist die einzige Eigenschaft, die diese vier Objekte gemeinsam haben. Umgekehrt ist ${Anzeigestil g({y})={A,B,D,E}}$ . ${Anzeigestil {A,B,D,E}}$ und ${displaystyle {y}}$ sind daher auch ein Konzept. Beachten Sie, dass ${displaystyle {A,B,E}Untermenge {A,B,D,E}}$ und ${displaystyle {x,y,t}supset {y}}$ : wenn der Umfang erhöht, verringert die Absicht und umgekehrt. Das veranschaulicht es Auftragsumkehr Charakter des formalen Konzepts.

Durch Anwendung des obigen Algorithmus können wir alle Konzepte dieses Kontextes bestimmen. Die Liste der Konzepterweiterungen beginnt mit

{x}' = {A,B,E}

{y}' = {A,B,D,E}

{z}' = {C,D}

({t}' entspricht {x}' und ist bereits in der Liste)

Dies wird erweitert um:

{D} (Abschnitt des 2. und 3. Satzes)

Ø (Abschnitt 1. und 3. Satz)

{A,B,C,D,E} (weil alle Schnittpunkte der 5 Mengen in der Liste sind)

Nach der Bestimmung der Absichten ergibt dies diese Liste von sechs Konzepten in keiner bestimmten Reihenfolge:

1: ({A,B,C,D,E), )

2: ({A,B,D,E}, {y})

3: ({C,D}, {z})

4: ({D}, {y,z})

5: ({A,B,E}, {x,y,t})

6: (Ø, {x,y,z,t})

Wir bestimmen nun die Reihenfolge dieser Konzepte anhand ihrer Ausdehnungen:

1 > 2, 3, 4, 5, 6

2 > 4, 5, 6

3 > 4, 6

4 > 6

5 > 6

Um die Messlatte zu ziehen, verwenden wir das Konzept unten Nachbar. Konzept ${Anzeigestil (A_{1},B_{1})}$ ist ein Nachbar von unten ${Anzeigestil (A_{2},B_{2})}$ wenn ${Anzeigestil (A_{1},B_{1})<(A_{2},B_{2})}$ und es gibt kein anderes Konzept mit ${Anzeigestil (A_{1},B_{1})<(A,B)<(A_{2},B_{2})}$ . Die Nachbarn im Erdgeschoss sind in der obigen Liste fett gedruckt. Die Regeln sind:

Zeichne einen Kreis pro Konzept. Ein Begriffskreis wird immer höher gezeichnet als alle Kreise seiner Unterbegriffe.
Verbinden Sie jeden Kreis mit seinen Nachbarn im Erdgeschoss.

Diese Regeln lassen noch viel Spielraum für die Erstellung des Diagramms; ein mögliches Gitterdiagramm, in dem die Begriffe mit ihrer Ausdehnung beschriftet sind, ist:

Balken zum Beispiel 1

Beispiel 2

Wir haben als Objekte die Menge der Zahlen E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} mit Eigenschaften f = {zusammengesetzt, Ein bisschen, seltsam, Ahle, Quadrat}. Dies ergibt die angehängte Inzidenzmatrix:

	zusammengesetzt	Ein bisschen	seltsam	Ahle	Quadrat
1			√		√
2		√		√
3			√	√
4	√	√			√
5			√	√
6	√	√
7			√	√
8	√	√
9	√		√		√
10	√	√

Das kleinste Konzept mit der Zahl 3 hat die Objektmenge {3,5,7} und die Attributmenge {ungerade, Primzahl}.

Das konzeptionelle Raster dieses Kontexts kann wie folgt dargestellt werden:

Hier werden die Attribute abgekürzt als c für zusammengesetzte (zusammengesetzt), so für quadriert (Quadrat), e für eine Weile, Ö für ungerade und p für prim. Dieses Raster fasst die Informationen aus der Inzidenzmatrix in kompakter Form zusammen. Zum Beispiel ist ersichtlich, dass das Konzept der "gerade Primzahl" ein Unterkonzept der Konzepte "gerade Zahl" und "Primzahl" ist oder dass 9 das einzige ungerade zusammengesetzte Quadrat der gegebenen Zahlenmenge ist.

Man kann sich in zwei Richtungen durch die Leiste bewegen. Aufsteigen entspricht Verallgemeinerung und Abstieg Spezialisierung.

Bemerkungen

Für FCA ist eine gute Auswahl relevanter Attribute von großer Bedeutung. Numerische Größen (zB Alter, Leistung, Gewicht... von Personen) können nicht als Attribut verwendet werden. Diese sollten in Klassen eingeteilt werden (Diskretion), zum Beispiel klein, mittel und groß. Jede Klasse ist dann ein Attribut. Wie viele Klassen man für eine Menge verwendet, ist eine Entscheidung, die man treffen muss. Zu viele Attribute erschweren die Interpretation der Analyseergebnisse. Es könnte auch sein, dass dort semantische Verbindungen liegen zwischen bestimmten Eigenschaften; das heißt, die Eigenschaften sind nicht voneinander unabhängig. Als Ergebnis kann die resultierende Ontologie redundante oder redundante Informationen enthalten. Die Methode berücksichtigt dies nicht. Ein Beispiel könnte ein formaler Kontext mit sowohl "Säugetier"- als auch "Wal"-Eigenschaften sein.

Techniken wie Neuronale Netze, Support-Vektor-Maschinen oder naive Bayes-Klassifikatoren benutzen.

Externe Links

Bernhard Ganters Seite zur formalen Konzeptanalyse
Homepage zur formalen Konzeptanalyse (diese Website enthält auch eine Sammlung von Links zur FCA-Software)

Quellen

Bernhard Ganter, Gerd Stumme, Rudolf Wille (Hrsg.)Formale Konzeptanalyse: Grundlagen und Anwendungen. Springer-Verlag, 2005. ISBN 3540278915
Garrett Birkhoff, Gittertheorie. Kolloquiumsveröffentlichungen der American Mathematical Society, 1940 (Repr. 2011). ISBN 0821810251
Abderrahim El Qadi, Driss Aboutajdine, Yassine Ennouary. "Formale Konzeptanalyse für die Informationsbeschaffung." Internationale Zeitschrift für Informatik und Informationssicherheit (2010), Bd. 7 Nr. 2, S. 119-125.

Quellen, Anmerkungen und/oder Verweise

[1] Jonas Poelmanns. "Essays zur Verwendung der formalen Konzeptanalyse in der Informationstechnik." Dissertation K.U. Leuven, 2010. (wendet FCA auf die Analyse von Polizeiberichten über häusliche Gewalt an)

[2] P.G. Elzinga. "Formalisierung der Konzepte von Verbrechen und Kriminellen." Dissertation Universität Amsterdam, 2011

[3] Aurelie Bertaux, Agnes Braud, Florence Le Ber. „Erfassung komplexer hydrobiologischer Daten mit Galois-Gittern.“ veröffentlicht in Internationaler Workshop zu Fortschritten in der konzeptionellen Wissensentwicklung (ACKE'07), 2007.

[4] Petr Krajca, Jan Outrata, Vilem Vychodil. „Parallel-rekursiver Algorithmus für FCA“. Proceedings of the Sixth International Conference on Concept Lattices and Their Applications (CLA2008), S. 71–82 (2008)

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