WikiDer > Hermitescher Operator

EIN Matrix kann als eine Darstellung von a . angesehen werden lineares Bild. Man spricht daher von hermiteschen Linearbildern und ganz allgemein von Einsiedler linear Betreiber wenn sie selbstangrenzend sind. Die ehemalige Eigenschaft eignet sich gut zur Verallgemeinerung des Begriffs Hermiteian.

Allgemeine Definition

Von a OperatorSie in einem hermiteschen raum E sie sagen, dass diese Einsiedler ist wie:

${Anzeigestil für alle xin E,füralle yin E,(u(x)|y)=(x|u(y))}$

In einem Orthonormalbasis ist der Matrix eines solchen Operators gleich dem transponierte Matrix seines konjugierten Selbstadjunkts. Es gilt:

${Displaystil A^{Dolch}={}^{t}(A)^{*}}$

Also wenn ${Displaystil A=A^{Dolch}}$, ist ein eine Matrix eines hermiteschen Operators.

In dem theoretische Physik und der Quantenmechanik Ein Operator heißt hermitesch, wenn die folgende Beziehung gilt:

${displaystyle langle Psi _{i}|{hat {A}}|Psi _{j}angle equiv langle Psi _{j}|{hat {A}}|Psi _{i}angle ^{*}}$

Dies ist das Dirac-Notation vor dem

${displaystyle int _{-infty }^{ infty }int _{-infty }^{ infty }cdots int _{-infty }^{ infty }Psi _{i}^{*}(q_{n}),{ Hut {A}},Psi _{j}(q_{n}),{m {d}} au =int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }cdots int _{ -infty}^{infty}links(Psi_{j}^{*}(q_{n}),{hat {A}},Psi_{i}(q_{n})ight)^{*}, {m {d}} autsch }$

Dies gilt, wenn der hermitesche Operator Real ist:

${displaystyle langle Aangle =langle Aangle ^{*}}$

Rolle in der Quantenmechanik

Hermitesche Operatoren spielen eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik, wo sie physikalische Größen darstellen. Ihre tatsächlichen (Ist-)Werte geben die möglichen Werte der Größe und ihrer Vektoren der mitarbeiter Zustände Auf. Es zweites Postulat der Quantenmechanik besagt, dass mit jedem beobachtbarkörperliche Größeein ein hermitescher Operator EIN ist assoziiert. Wo die Größe ein in dem klassische Mechanik wird ausgedrückt in a Koordinateq_ich und ein Impulsp_ich:

${displaystyle Aleft(q_{i},p_{i}ight)}$

In der Quantenmechanik wird ein linearer hermitescher Operator eingeführt:

${displaystyle {hat {A}}left(q_{i},{frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial q_{i}}}ight)}$

Dieser Betreiber besitzt a komplette Sammlung von (orthonormal)^[1]Eigenfunktionen. Das impliziert, dass jede Funktion ${Anzeigestil Psi}$, die dieselben Randbedingungen erfüllt wie die Eigenfunktionen ${displaystyle alpha_{i}}$ des Operators, kann beschrieben werden als a lineare Kombination dieser Eigenfunktionen:

${Displaystil Psi = Summe _{n}c_{n}|alpha _{i}Winkel}$

Von besonderer Bedeutung ist die Hamiltonian, der hermitesche Operator, der im Schrödinger-Gleichung:

${displaystyle {hat {H}}psi =left({hat {V}}-{frac {hbar ^{2}}{2m}}{hat {abla}}^{2}ight)psi}$

Fußnoten