WikiDer > Endomorphismus

In dem Mathematik ist ein Endomorphismus ein Morphismus (oder ein Homomorphismus) von a mathematisches Objekt an sich, dass die Struktur dieses Objekts behält, Ein Endomorphismus von a Vektorraum${Anzeigestil V}$ ist zum Beispiel a lineares Bild${Anzeigestil f:V oder V}$ und ein Endomorphismus von a Gruppe${Anzeigestil G}$ ist ein Gruppenhomomorphismus${Anzeigestil f:G oder G,}$ usw. Im Allgemeinen kann man von Endomorphismen in beliebiger Weise sprechen Kategorie. In dem Kategorie der Sammlungen sind einfach Endomorphismen Funktionen einer Sammlung ${Anzeigestil S}$ allein.

In einer bestimmten Kategorie ist die zusammengesetzte Funktion von zwei zufällige Endomorphismen von ${Anzeigestil X}$ wieder ein Endomorphismus von ${Anzeigestil X.}$ Daraus folgt, dass die Sammlung aller Endomorphismen von ${Anzeigestil X}$ ein monoid Formen, die mit bezeichnet wird ${displaystyle mathrm {End} (X)}$ (oder ${displaystyle mathrm {End} _{mathcal {C}}(X),}$ das wegen der kategorie ${displaystyle {mathcal {C}}}$ hervorheben).

EIN invertierbar, bijektiv Endomorphismus von ${Anzeigestil X}$, also ein Endomorphismus, der auch a Isomorphismus ist, wird a Automorphismus erwähnt. Die Sammlung aller Automorphismen ist ein Untergruppe von ${displaystyle mathrm {End} (X),}$ dass die Automorphismus-Gruppe von ${Anzeigestil X}$ heißt und wird bezeichnet mit ${displaystyle mathrm {Aut} (X)}$ . In der Abbildung unten zeigen die Pfeile die Implikation Auf:

Automorphismus	${displaystyle Pfeil nach rechts }$	Isomorphismus
${Anzeigestil Abwärtspfeil }$		${Anzeigestil Abwärtspfeil }$
Endomorphismus	${displaystyle Pfeil nach rechts }$	(schwul)morphismus

Zwei Endomorphismen von a abelsche Gruppe${Anzeigestil A}$ können zusammengezählt werden, weil ${Anzeigestil (f g) (a) = f (a) g (a).}$ Die Endomorphismen einer abelschen Gruppe bilden somit a Ring (das endomorpher Ring). Zum Beispiel die Menge der Endomorphismen von ${displaystyle mathbb {Z} ^{n}}$ der Ring von allem ${Anzeigestil n imes n}$-Matrizen mit in den Zellen ganze Zahlen. Die Endomorphismen eines Vektorraums, Modul, klingeln oder Algebra bilden auch einen Ring, genau wie die Endomorphismen jedes Objekts in a Prä-Additiv-Kategorie. Die Endomorphismen einer nichtabelschen Gruppe erzeugen a algebraische Struktur was als a bekannt ist naher Ring.

Operatortheorie

auf jeden konkrete Kategorie, speziell für Vektorräume, Endomorphismen sind Darstellungen einer Menge an sich, und sie können verwendet werden als unäre Operatoren auf dieser Sammlung interpretiert, Schauspielkunst auf der Elemente und ermöglicht den Begriff von a Arbeitsplätze von Elementen usw.

Je nach Zusatzaufbau (Topologie, metrisch, ...), definiert für die jeweilige Kategorie, wie Betreiber Eigenschaften wie Kontinuität, Einschränkung, und so weiter.

Weitere Informationen finden Sie im Artikel über Operatortheorie.

Siehe auch

• Morphismus
• Frobenius-Endomorphismus
• Endomorphismus hinzugefügt