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In dem Knotentheorie, eine Unterregion der Topologie, ist ein Taste ein Einbettung von a Kreis in einem 3-dimensionalEuklidischer Raum. Das Knotengruppe von knoten k ist definiert als die grundlegende Gruppe von dem Knotenkomplement von k im R³,

${displaystyle pi _{1}(mathbb {R} ^{3} Ackslash K)}$.

Andere Konventionen betrachten Knoten als eingebettet in die 3 Atmosphäre, in diesem Fall ist die Knotengruppe die Fundamentalgruppe ihres Knotenkomplements in S'³ ist.

Eigenschaften

Mit zwei gleichen Knoten isomorph Knotengruppen. Die Knotengruppe ist also a Knoteninvariante und kann verwendet werden, um zwischen nicht-äquivalenten Knoten zu unterscheiden. Dies liegt daran, dass eine Äquivalenz zwischen zwei Knoten ein Selbst hatHomöomorphismus von ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ das ist Isotop zur Identität, die den ersten Knoten in den zweiten überträgt. Der Homöomorphismus ist eindeutig auf einen Homöomorphismus der Knotenkomplement des Knotens und induziert daher einen Isomorphismus in der Fundamentalgruppe des Knotenkomplements. Zwei Knoten können jedoch isomorphe Knotengruppen haben, ohne unbedingt äquivalent zu sein (ein Beispiel siehe unten).

Das Abelianisierung einer Knotengruppe ist immer isomorph zum unendlichzyklische Gruppez; dies ist so, weil die Abelianisierung der ersten entspricht Homologiegruppe, die relativ einfach berechnet werden können.

Die Knotengruppe (oder Fundamentalgruppe von a orientiertSchalter kann mit einem relativ einfachen Algorithmus werden in der berechnet Wirtinger-Präsentation

Beispiel

• Das trivialer Knoten hat eine Knotengruppe Isomorphismus auf ${Anzeigestil Z}$.
• Das Kleeblattknoten hat eine zu is isomorphe Knotengruppe Zopfgruppe${Displaystil B_{3}}$. Diese Gruppe hat Präsentation

${displaystyle langle x,ymid x^{2}=y^{3}Winkel }$ oder ${displaystyle langle a,bmid aba=babangle }$.

• EIN ${Anzeigestil (p,q)}$-Ringknoten hat eine Knotengruppe mit Präsentation

${displaystyle langle x,ymid x^{p}=y^{q}Winkel }$.

• Das Figur-8-Taste hat eine Knotengruppe mit Präsentation

${displaystyle langle x,ymid x^{-1}yxy^{-1}xy=yx^{-1}yxangle }$