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Vlechtgroep

In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der Mathematik ist der Zopfgruppe an nein Stränge, bezeichnet durch Bnein, ein Gruppe, das ist eine intuitive Geometer Darstellung, und die gewissermaßen das Konzept von a symmetrische Gruppesonein verallgemeinert. Hier steht nein Für ein natürliche Zahl; wenn nein > 1, dann Bnein ein unendliche Gruppe. Braid-Gruppen haben Anwendungen in der Knotentheorie, Seit jeder Taste kann durch den Verschluss bestimmter Zöpfe dargestellt werden.

Intuitive Beschreibung

Diese Einführung basiert auf nein = 4, die Verallgemeinerung auf andere Werte von nein ist relativ einfach. Betrachten Sie zwei Kollektionen aus vier Objekten, angeordnet auf a Tabelle wobei die Objekte in jedem Set in einer vertikalen Linie so angeordnet sind, dass ein Set neben dem anderen liegt (die schwarzen Punkte in der Abbildung unten). Mit vier Strängen wird nun jedes Element der ersten Kollektion (links) mit einem Element der zweiten Kollektion (rechts) verbunden, sodass ein Eins-zu-eins-Korrespondenz Ergebnisse. Eine solche Verbindung wird zu einem flechten erwähnt. Oft laufen bestimmte Stränge über- oder untereinander und das ist entscheidend: die nächsten beiden Verbindungen sind verschiedene flechten.

Das Zopf-Sigma 1^(-1) unterscheidet sich vonDas Zopf Sigma 1

Auf der anderen Seite werden zwei solche Verbindungen, die durch "Ziehen an den Litzen" gleich aussehen lassen, zu das gleiche Geflecht betrachtet:

Das Zopf-Sigma 1^(-1) ist das gleiche wieEine andere Darstellung von Sigma 1^(-1)

Alle Stränge müssen sich von links nach rechts bewegen; Zöpfe mit Knoten darin, wie unten, werden nicht betrachtete Zöpfe:

Kein Zopf ist kein Zopf

Zwei beliebige Zöpfe können sein zusammengesetzt indem Sie das erste neben das zweite ziehen, die vier Elemente in der Mitte identifizieren und die entsprechenden Stränge verbinden:

Geflecht s3.png komponiert mitGeflecht s2.png ergibtGeflecht s3s2.png

Ein anderes Beispiel:

Geflecht s1 inv s3 inv.png komponiert mitGeflecht s1 s3 inv.png ergibtGeflecht s3 inv quadriert.png

Die Zusammensetzung der Zöpfe σ und τ wird als στ geschrieben.

Die Menge aller viersträngigen Zöpfe wird mit bezeichnet B4. Die obige Zusammensetzung von Zöpfen ist in der Tat a Gruppenbearbeitung. Es neutrales Element ist das Geflecht, das aus vier parallelen horizontalen Strängen besteht, und das inverses Element eines Geflechts wird die Gruppenbearbeitung des ersten Geflechts "rückgängig" machen, unabhängig davon, was das erste Geflecht getan hat. (Die ersten beiden Beispielgeflechte im obigen Beispiel sind invers zueinander.)

Generatoren und Beziehungen

Betrachten Sie die drei folgenden Zöpfe:

   Geflecht s1.png      Geflecht s2.png      Geflecht s3.png   
σ1
σ2
σ3

Jeder Zopf in B4 kann als eine Zusammensetzung einiger dieser Zöpfe und ihrer Umkehrungen geschrieben werden. Mit anderen Worten, diese drei Zöpfe generieren die Gruppe so4. Um dies zu sehen, wird ein zufälliger Zopf von links nach rechts gescannt; wenn man die Stränge kreuzt ich und ich 1 (von oben am Schnittpunkt gezählt), .ich vonich−1 aufgeschrieben, je nachdem ob streng ich unter oder über strang ich 1 bewegt sich um. Auf der rechten Seite wird das Geflecht als Produkt der σ und deren Umkehrungen geschrieben.

Es ist klar, dass:

σ1σ3 =3σ1

Die beiden folgenden Zusammenhänge sind jedoch nicht so eindeutig:

σ1σ2σ1 =2σ1σ2
σ2σ3σ2 =3σ2σ3

(diese Beziehungen sind am besten durch das Geflecht an einem Stück zu sehen Papier- zeichnen). Es kann gezeigt werden, dass alle anderen Beziehungen unter den Zöpfen σ1,2 und3 alle folgen aus diesen Beziehungen und den Gruppenaxiomen.

Wenn wir dieses Beispiel verallgemeinern auf nein Stränge, kann die Gruppe Bnein abstrakt definiert werden durch: Gruppen Präsentation:

  • Generatoren1,...,σnein−1
  • Beziehungen (bekannt als die Zopf oder Artin-Beziehungen):
    • σich σja =ja σich wenn |ich − ja| ≥ 2 ;
    • σich σich 1 σich =ich 1 σich σich 1 zum ich = 1,..., nein − 2 (auch genannt Yang-Baxter-Gleichung erwähnt)

Diese Definition gilt als die "algebraische" Definition einer Geflechtgruppe.

Einige Eigenschaften

Die Gruppen B0 und B1 sein triviale Gruppen; B2 ist ein unendlichzyklische Gruppe. B3 ist ein Nicht-abelsunendliche Gruppe; in der Tat ist B3isomorph mit dem Knotengruppe von dem Kleeblatt.

Alle Nicht-Identitätselemente in Bnein habe einen unendlichAuftrag; mit anderen Worten: Bnein ist verwindungsfrei. Unter der Vorraussetzung, dass nein > 2, enthält Bnein ein kostenlose Gruppe auf zwei Generatoren, es ist also keine abelsche Gruppe. Man kann dies auch sehen, indem man feststellt, dass Bnein zeigt auf die symmetrische Gruppe sonein, was nicht abelsch ist.

Bnein ist ein Untergruppe von Bnein 1 und kann als aus all diesen Zöpfen bestehend betrachtet werden nein 1 Strang, der der untere horizontale Teil ist und kein anderer kreuzt noch von einem anderen Zopf gekreuzt wird das formelle Verband von allen Zopfgruppen wird manchmal die . genannt unendliche Zopfgruppe erwähnt.

Es gibt einen nützlichen Begriff "Länge" für die Elemente der Zopfgruppe. Dieses "Längenkonzept" ist gegeben durch die GruppenhomomorphismusBnein → z dass jedes σich wird auf 1 abgebildet. Zum Beispiel ist die Länge des Geflechts σ2 σ3 σ1−1 σ2 σ3 ist 1 1 - 1 1 1 = 3. Dieser Begriff führt zum Beispiel zu Untergruppe von Bnein bestehend aus allen Zöpfen mit Ein bisschen Länge.

Geschichte

Zopfgruppen wurden 1925 explizit eingeführt von Emil Artin, obwohl Wilhelm Magnus darauf hingewiesen im Jahr 1974[1] dass flechten Gruppen implizit bereits 1891 im Werk von Adolf Hurwitz Über Monodromie waren anwesend. Im Wesentlichen argumentiert Magnus, dass Hurwitz' Interpretation einer Zopfgruppe als die as grundlegende Gruppe von a Konfigurationsraum gab (siehe Zopftheorie), eine Interpretation, die später bis zur Annahme 1962 im Jahr 1962 aus den Augen verloren wurde Ralph Fox und Lee Neuwirth wurde wiederentdeckt.

Verbindung mit Knotentheorie und Berechenbarkeitsaspekten

Wenn man für einen bestimmten Zopf das erste Element links mit dem ersten rechts verbindet und dies für das zweite, dritte und die folgenden Elemente links und rechts wiederholt, wobei jedes Mal eine neue Strähne verwendet wird (ohne Zöpfe in die neuen Stränge), erhält man a Schalter und manchmal a Taste. Das Alexanders Theorem in dem Zopftheorie besagt, dass auch das Umgekehrte gilt: any Taste Und jeder Schalter entsteht auf diese Weise aus mindestens einem Geflecht; Dieses Geflecht kann durch Schneiden des Glieds erhalten werden. Da Zöpfe in den Generatoren ich Konkret, wenn Wörter angegeben werden können, wird diese Methode häufig bei der Eingabe von Knoten in bevorzugt Computer Programms.

Fußnoten

  1. ↑Wilhelm Magnus. Zopfgruppen: Eine Umfrage (Geflechtgruppen: eine Übersicht). Im Skript zur Vorlesung Mathematik, Bd. 372, Seiten 463-487. Springer, 1974. Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups, Canberra, Australien, 1973. ISBN 978-3-540-06845-7

Externe Links