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L-functie
Das Riemann-Zeta-Funktion kann als Archetyp für alle angesehen werden L-Funktionen.[1]

In dem analytische Zahlentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein L-Funktion ein meromorphFunktion auf der komplexe Ebene, die einer von mehreren verschiedenen Kategorien von . zugeordnet ist mathematische Objekte. Eine L-Serie ist a Potenzreihe, die in der Regel konvergent auf der Halbebene ist, und das über analytische Fortsetzung führt zu a L-Funktion.

Die Theorie von lFunktionen ist ein wesentliches, aber immer noch weitgehend unbewiesen Teil der zeitgenössischen analytische Zahlentheorie. l-Funktionen betreffen Konstruktionen breiter Verallgemeinerungen der Riemann-Zeta-Funktion und von l-Serie Für ein Dirichlet-Charakter. Ihre allgemeinen Eigenschaften, die in den meisten Fällen noch außerhalb der Reichweite der mathematischer Beweis, werden systematisch erklärt.

Konstruktion

Es wird unterschieden zwischen den L-Serie, eine Darstellung von a unendliche Serie (zum Beispiel die Dirichlet-Reihe für die Riemann-Zeta-Funktion), und der lFunktion, die Funktion in dem komplexe Ebene wer ist ihr gleich analytische Fortsetzung. Die allgemeinen Konstruktionen beginnen mit a lSequenz definiert als a Dirichlet-Reihe, und dann durch eine Erweiterung als a Euler-Produkt indexiert von Primzahlen. Schätzungen sind notwendig, um zu beweisen, dass dies in jeder rechten Hemisphäre der komplexen Zahlen konvergiert. Dann fragt man sich, ob die so definierte Funktion analytisch auf den Rest der komplexen Ebene (vielleicht mit einigen Polen).

Das ist (noch spekulativ) meromorph Fortsetzung zur komplexen Ebene, die man l-Funktion Anrufe. In den klassischen Fällen ist bereits bekannt, dass an Stellen, an denen die Darstellung der L-Reihe nicht konvergiert, nützliche Informationen in den Werten und dem Verhalten der stored l-Funktion. Der allgemeine Begriff lFunktion umfasst hier viele bekannte Arten von Zeta-Funktionen. Das Selberg-Klasse ist ein Versuch, die Kerneigenschaften von lFunktionen in einer Sammlung von Axiomen, mit dem Ziel, das Studium der Eigenschaften der Selberg-Klasse und nicht der einzelnen Funktionen anzuregen.

Vermutete Informationen

Merkmale bekannter Beispiele von lListenfunktionen, die man gerne verallgemeinern möchte:

Detailarbeit hat zu vielen plausiblen Vermutungen geführt, zum Beispiel über die genaue Art der Funktionsgleichung das sollte gelten. Da die Riemannsche Zetafunktion anhand ihrer Werte auf positiver gerader ganze Zahlen (und negative ungerade Zahlen) verbindet sich mit dem Bernoulli-Zahlen, sucht man nach einer geeigneten Verallgemeinerung dieses Phänomens. In diesem Fall wurden Ergebnisse erzielt p-süchtig-l-Funktionen, die bestimmt Galois-Module beschreiben.

Die Statistik der Nullverteilungen ist wegen ihres Zusammenhangs mit Problemen wie der verallgemeinerte Riemann-Hypothese, Die Verteilung von Primzahlen, usw. Die Verbindungen mit Zufallsmatrixtheorie und der Quantenchaos sind auch wichtig. Das fraktal Die Struktur der Verteilungen wurde mit der "Rescaled Scope Analysis" untersucht.[2] Die Selbstähnlichkeit der Nullverteilung ist sehr bemerkenswert und zeichnet sich durch eine große fraktale Dimension ab 1.9. Diese ziemlich große fraktale Dimension wird über Nullstellen gefunden, die für die Riemann-Zeta-Funktion mindestens fünfzehn Größenordnungen Abdeckung, und auch für die Nullstellen anderer L-Funktionen anderer Ordnungen und Leiter.

Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

sehen Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eines der einflussreichen Beispiele, sowohl für die Geschichte des Allgemeineren lFunktionen sowie für ein noch offenes Forschungsfeld ist es Verdacht das von Bryan Birke und Peter Swinnerton-Dyer Anfang der 1960er Jahre formuliert. Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer bezieht sich auf a elliptische KurveE, und das Problem, das die Vermutung zu lösen versucht, ist die Vorhersage der Rang der elliptischen Kurve über dem Rationale Zahlen (oder irgend ein anderer globales Feld): d.h. die Anzahl der freien Generatoren von ihr Gruppe von rationalen Punkten. Viel frühere Arbeiten in diesem Bereich waren an einer Stelle um eine bessere Kenntnis der l-Funktionen. Dies war der Beginn der im Entstehen begriffenen Theorie der l-Funktionen.

Entstehung einer allgemeinen Theorie der L-Funktionen

Diese Entwicklung fand einige Jahre früher statt Robert Langlands sein Langlands-Programm formuliert und ergänzt sie: Langlands' Arbeit bezieht sich weitgehend auf largely Artins-l-Funktionen, die, wie Heckes-l-Funktionen wurden mehrere Jahrzehnte zuvor definiert und lFunktionen, die mit allgemeinen automorphe Darstellungen.

Allmählich wurde klarer, in welchem ​​Sinne der Bau von Hasse-Weil-Zeta-Funktionen könnte funktionieren, um analytisch für l-Funktionen: Es gibt einige Eingaben von der Analyse benötigt, was in diesem Fall automorph Analyse bedeutet. Der allgemeine Fall vereint nun auf konzeptioneller Ebene eine Reihe unterschiedlicher Forschungsprogramme.

Siehe auch

Fußnoten

  1. ↑Jörn Steuding, Eine Einführung in die Theorie der L-Funktionen, Vordruck, 2005/06
  2. ↑O. Shanker, 2006, Zufallsmatrizen, verallgemeinerte Zetafunktionen und Selbstähnlichkeit von Nullverteilungen, J.Phys. A: Mathe. Gen., Bd. 39, Ausgabe 45, S. 13.983-13.997, Bibcode = 2006JPhA ... 3913983S

Verweise

  • Neukirch, Jürgen (1999), Algebraische Zahlentheorie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8 , Zbl 0956.11021, MR 1697859

Zitat

Externe Links