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Laplace-Verteilung
Zufallsdichte
Verteilungsfunktion
Parameter	μ Platz (${Anzeigestil in Mathbb {R} }$) b > 0 Rahmen (${displaystyle in mathbb {R} _{ }}$)
Träger	${displaystyle xin(-infty, infty)}$
Zufallsdichte	${displaystyle {frac {1}{2b}}exp left(-{frac {|x-mu |}{b}}ight)}$
Verteilungsfunktion	${displaystyle { egin{cases}{frac {1}{2}}exp left({frac {x-mu }{b}}ight)&{mbox{for }}x$
Erwartungswert	μ
Median	μ
Modus	μ
Abweichung	${Displaystil 2b^{2}}$
verzerren	0
Kurtose	3
Entropie	${displaystyle 1 log(2b)}$
momentan Erzeugungsfunktion	${displaystyle {frac {exp(mu,t)}{1-b^{2},t^{2}}}{mbox{for}}|t|<1/b}$
Charakteristische Funktion	${displaystyle {frac {exp(mu,i,t)}{1 b^{2},t^{2}}}}$
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In dem Wahrscheinlichkeit und der Statistik ist der Laplace-Verteilung ein kontinuierliche Verteilung benannt nach Pierre-Simon Laplace. Es ist die Division der Differenz von zwei voneinander unabhängigstochastische Variablen mit dem gleichen Exponentialverteilung. Die Verteilung wird doppelte Exponentialverteilung genannt, wegen der Form der Wahrscheinlichkeitsdichte, die aus einer exponentiellen Dichte und ihrer gespiegelten "Rücken-an-Rücken" mit einer Verschiebung des Scheitelpunkts besteht. Der Begriff „doppelte Exponentialverteilung“ wird jedoch auch für die Gumbel-Verteilung.

Definition

Das Laplace-Verteilung mit Parametern ${Anzeigestil mu}$ und ${displaystyle bgeq 0}$ ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichte

${displaystyle f(x;mu ,b)={frac {1}{2b}}exp left(-{frac {|x-mu |}{b}}ight)}$.

Der Parameter ${Anzeigestil mu}$ ist der Parameter platzieren und der Parameter ${displaystyle b}$ das Skalenparameter.

Eine stochastische Variable mit dieser Verteilung heißt Laplace${Anzeigestil (mu, b)}$geteilt genannt.

Es gibt eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Normalverteilung. Die Normalverteilung wird im quadratischen Abstand vom Zentrum ausgedrückt, während die Laplace-Verteilung im absoluten Abstand vom Zentrum ausgedrückt wird.

Eigenschaften

Für eine stochastische Variable ${Anzeigestil X}$ dass Laplace${Anzeigestil (mu, b)}$-aufgeteilt ist, gilt:

Erwartungswert, Median und Modus

Der Parameter ${Anzeigestil mu}$ ist beides erwarteter Wert, das Median als die Modus:

${Anzeigestil {m {E}}(X)=mu}$

Abweichung

Das Abweichung wird durch den Parameter bestimmt ${displaystyle b}$:

${displaystyle {m {var}}(X)=b^{2},{m {var}}left({frac {X-mu }{b}}ight)=b^{2}int _{0} ^{infty}x^{2}e^{-x}{m {d}}x=2b^{2}}$

Kurtose

Der Überschuss) kurtosis einer Laplace-Verteilung ist gleich 3.

${displaystyle {m {kurtosis}}(X)=gamma _{2}={frac {mu_{4}}{mu_{2}^{2}}}-3={frac {24b^{4} }{4b^{4}}}-3=3}$

Letztendlich

${displaystyle mu _{4}=b^{4}{m {E}}left({frac {X-mu }{b}}ight)^{4}=b^{4}int _{0}^ {infty}z^{4}e^{-z}{m {d}}z=24b^{4}}$

momenterzeugende Funktion

Das momenterzeugende Funktion ist

${displaystyle M_{X}(t)={m {E}}links(e^{tX}ight)=e^{mu t}{m {E}}links(e^{t(X-mu)} ight)}$

${displaystyle =e^{mu t}left(int _{-infty }^{0}e^{ty}{frac {1}{2b}}e^{y/b}{m {d}}y int _{0}^{infty }e^{ty}{frac {1}{2b}}e^{-y/b}{m {d}}yight)=}$

${displaystyle =e^{mu t}int _{0}^{infty }left(e^{-ty} e^{ty}ight){frac {1}{2b}}e^{-y/b} {m {d}}y={frac {e^{mu t}}{1-b^{2}t^{2}}}=}$

${displaystyle =e^{mu t}{ frac {1}{2}}int _{0}^{infty }left(e^{-(tb 1)z} e^{(tb-1)z}ight ){m {d}}z}$

${displaystyle =e^{mu t}{ frac {1}{2}}left.left(-{frac {e^{-(tb 1)z}}{(tb 1)}} {frac {e^{ (tb-1)z}}{tb-1}}ight)ight|_{z=0}^{infty }=}$

${displaystyle ={frac {e^{mu t}}{1-b^{2}t^{2}}}}$, vor dem ${Anzeigestil |t|<1/b}$

Charakteristische Funktion

Das charakteristische Funktion ist:

${displaystyle varphi _{X}(s)={m {E}}left(e^{isX}ight)=e^{imus}{m {E}}left(e^{is(X-mu)} ight)}$

${displaystyle =e^{imus}left(int _{-infty }^{0}e^{isy}{frac {1}{2b}}e^{y/b}{m {d}}y int _ {0}^{infty }e^{isy}{frac {1}{2b}}e^{-y/b}{m {d}}yight)=}$

${displaystyle =e^{mu t}{ frac {1}{2}}int _{0}^{infty }left(e^{-(1 isb)z} e^{-(1-isb)z} ight){m {d}}z={frac {e^{imu s}}{1 b^{2}s^{2}}}}$.

Entropie

Das Entropie (bei Nässe) ist

${displaystyle {m {H}}(X)={m {E}}(-ln(f(X))=ln(2b) {m {E}}links({frac {|X-mu |}{ b}}ight)=ln(2b) 1}$.

Verhältnis zu anderen Distributionen

Für eine stochastische Variable ${Anzeigestil X}$ dass Laplace${Anzeigestil (mu, b)}$-aufgeteilt ist, gilt:

${displaystyle aXc}$ ist Laplace${displaystyle (amu c,ab)}$-geteilt..

${Anzeigestil |X-mu |}$ ist exponentiell verteilt mit Erwartungswert ${displaystyle b}$

wenn ${Anzeigestil Y}$ ist unabhängig und gleichverteilt, wenn ${Anzeigestil X}$, ist

${displaystyle {frac {|X-mu |}{|Y-mu |}}}$F-geteilt mit 2 Freiheitsgraden im Zähler und 2 Freiheitsgraden im Nenner.

Für ein zufällige Probe${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ vom Laplace${Anzeigestil (mu, b)}$Verteilung, hält:

${displaystyle {frac {2}{b}}sum _{i=1}^{n}|X_{i}-mu |}$ ist Chi-Quadrat mit ${displaystyle n}$ Freiheitsgrade.

wenn ${Displaystil X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}}$ bilden Sie eine Zufallsstichprobe aus den N(0.1)-Verteilung, ist:

${displaystyle X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}}$ Laplace(0,1) verteilt.

wenn ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ voneinander unabhängig und beides exponentiell verteilt mit ${displaystyle {m {E}}X=lambda}$ und ${displaystyle {m {E}}Y=mu}$, ist

${displaystyle X/lambda -Y/mu }$ Laplace(0,1) verteilt.

wenn ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ voneinander unabhängig und beides gleichmäßig verteilt auf dem Intervall (0.1), ist

${Anzeigestil X/Y}$ Laplace(0,1) verteilt.