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In dem Wahrscheinlichkeit und der Statistik ist das Konzept kurtosis (Griechisch: κύρτωσις, kurtosis, Bögen, Kurven) oder Krümmung (Gewölbe), (ebenfalls Ebenheit genannt) ein Maß für die 'Schwanzform' von a Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sowohl der Parameter selbst als auch der Schätzer von diesen werden als Kurtosis bezeichnet. Eine hohe Kurtosis weist auf eine Verteilung mit geringer Wahrscheinlichkeit extremer Ausreißer aufgrund der Schwanzform hin. Dies bedeutet, dass ein relativ großer Teil der Abweichung verursacht durch seltene Extremwerte. Eine niedrige Kurtosis weist auf eine flache Verteilung hin. Hier wird die Varianz hauptsächlich durch einen größeren Anteil weniger extremer Werte verursacht. Es wird manchmal gesagt, dass die Kurtosis mit der „Spitzenform“ zusammenhängt, aber das ist falsch.^[1]

Definition

Für Kurtosis werden in der statistischen Literatur zwei unterschiedliche Definitionen verwendet. Zuerst wird Kurtosis als die vierte standardisierte definiert Moment:

${displaystyle gamma '_{2}={frac {mu _{4}}{sigma ^{4}}}={frac {operatorname {E} [(X-{mu })^{4}]}{( Betreibername {E} [(X-{mu})^{2}])^{2}}}}$

in welchem ${displaystyle mu _{4}={m {E}}(X-mu)^{4}}$ die vierte zentrale Moment ist und ${Displaystil-Sigma}$ das Standardabweichung.

Für ein Normalverteilung ist ${Displaystil-Gamma '_{2}=3}$. Um den Vergleich mit der Normalverteilung zu erleichtern, wird im Allgemeinen die folgende Definition von Kurtosis verwendet, auch bekannt als überschüssige Kurtosis wird genannt.

${displaystyle gamma _{2}=gamma '_{2}-3}$

Ein mathematisch-theoretischer Grund für diese modifizierte Definition ist, dass die Kurtosis jetzt gleich der Quotient des vierten kumulativ (${displaystyle kappa _{4}}$) und das Quadrat der zweiten Kumulante (${displaystyle kappa _{2}}$, was gleich der Varianz ist).

${displaystyle gamma _{2}={frac {kappa _{4}}{kappa _{2}^{2}}}}$

Ein praktischer Grund ist, dass die Normalverteilung nach dieser Formel eine Kurtosis gleich Null hat.

• Eine positive Kurtosis weist auf eine feste Peakform der Wahrscheinlichkeitsverteilung hin, diese wird zu leptokurtisch erwähnt. Beispiele für leptokurtische Verteilungen sind die Laplace-Verteilung und der Logistikverteilung.
• Eine negative Kurtosis weist auf eine flache Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung hin, diese wird zu platykurtic erwähnt. Beispiele sind die gleichmäßige Verteilung. Die platykurtischste Verteilung ist die Bernoulli-Verteilung mit Parameter ${displaystyle p=1/2}$, es hat eine Kurtosis von –2.
• Verteilungen mit Kurtosis werden 0 mesokurtosisch erwähnt. Beispiele hierfür sind die Normalverteilungen.

Eigenschaften

• wenn ${Anzeigestil X}$ ist normalverteilt, ${Displaystil-Gamma _{2}(X)=0}$.
• wenn ${Anzeigestil Y}$ die summe ist von ${displaystyle n}$ unabhängig, identisch wie ${Anzeigestil X}$ verteilte stochastische Variablen, dann ist ${Anzeigestil Gamma _{2}(Y)=Gamma _{2}(X)/n}$.
• wenn ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ voneinander unabhängige stochastische Variablen mit gleicher Varianz sind, dann gilt:

${displaystyle gamma _{2}left(sum _{i=1}^{n}X_{i}ight)={frac {1}{n^{2}}}sum _{i=1}^{n }gamma _{2}(X_{i})}$.

Hinweis: Diese drei Eigenschaften gelten für ${Displaystil-Gamma _{2}}$ und nicht für ${Displaystil-Gamma '_{2}}$.

Kurtosis-Beispiel

Aus dem Ergebnis lässt sich die Kurtosis einer Verteilung abschätzen ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$ von einem zufälligen Stichprobe aus der Verteilung. Das Beispielkurtosis ist der Drehmomentschätzer der Kurtosis:

${displaystyle g_{2}={frac {n,sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{overline {x}})^{4}}{left(sum _{i=1 }^{n}(x_{i}-{overline {x}})^{2}ight)^{2}}}-3}$

in welchem ${displaystyle {overline {x}}}$ die Probedurchschnittlich ist.

Denn das ist nicht reiner Schätzer ist für die Bevölkerung kurtosis, was bedeutet, dass ${displaystyle {m {E}}g_{2}eq gamma _{2}}$, in der Praxis und in den meisten Softwarepaketen wird normalerweise der folgende, wenn auch unvoreingenommene Schätzer verwendet

${displaystyle G_{2}={frac {n-1}{(n-2)(n-3)}}((n 1),g_{2} 6)}$