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Modus (statistiek)

Das Modus ist für a Häufigkeitsverteilung der Wert oder die (Wahrnehmungs-)Klasse mit der höchsten Häufigkeit, also der Wert oder die Klasse, der am häufigsten vorkommt. Die anderen beiden am häufigsten verwendeten zentralen Werte (Mittelmaße) sind die Median und der arithmetisches Mittel. Auch für a Wahrscheinlichkeitsverteilung und ein Wahrscheinlichkeitsdichte ist der Modus definiert als der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit oder Wahrscheinlichkeitsdichte.

Besitzt eine Verteilung einen, zwei oder mehr Modi, wird die Verteilung als unimodal, bimodal bzw. multimodal bezeichnet.

Der Modus ist nützlich, wenn die Mess- oder Beobachtungsergebnisse um einen zentralen Wert verteilt sind. Bei einer symmetrischen Verteilung liegt die Mode nahe am Mittelwert und Median, bei einer schiefen Verteilung nicht.

Der Vorteil gegenüber dem arithmetischen Mittel ist, dass es auch für Ordinal- sogar nominal Divisionen. Im Allgemeinen ist es daher oft einfacher zu bestimmen.

Modal ist die Adjektivform von Modus und wir kennen es zum Beispiel von durchschnittliches Einkommen.

Beispiel

Eine Klasse von fünfzehn Schülern macht einen Test. Die Zahlen sind: 4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8.

Die Zahl 6 ist die häufigste (fünfmal) und das ist der Modus. (Das Median ist 7, es durchschnittlich 6,6.)

Ein anderes Beispiel:

Aus einer Schachtel mit fünfzehn farbigen Kugeln werden alle Kugeln sortiert und gezählt: rot, gelb, grün, grün, grün, grün, grün, blau, blau, blau, weiß, weiß, weiß, weiß.

Die Farbe Grün ist hier der Modus oder die Modalfarbe (kommt 5-mal vor). Von Median und Mittelwert kann in diesem Fall nicht die Rede sein.

Unimodaler Vertrieb

Abbildung 1: Wahrscheinlichkeitsdichten der Normalverteilung, Beispiele für unimodale Verteilungen
Abbildung 2: Einfache bimodale Verteilung
Abbildung 3: Eine Verteilung, die, obwohl streng unimodal, allgemein als bimodal bezeichnet wird

EIN unimodale (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsverteilung die nur einen Modus hat. Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsfunktion im Falle von a diskrete Verteilung, oder der Wahrscheinlichkeitsdichte im Falle von a kontinuierliche Verteilung hat nur eine globale maximal.

Beispiele für unimodale stetige Verteilungen sind die Normalverteilung, das Cauchy-Verteilung, das t-Verteilung, das Chi-Quadrat-Verteilung und der Exponentialverteilung. Unter den diskreten Verteilungen ist die Binomialverteilung und der Poisson-Verteilung als unimodal angesehen, obwohl für einige Werte der Parameter zwei benachbarte Werte die gleiche Wahrscheinlichkeit haben können.

Abbildung 2 zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte einer bimodalen Verteilung. Die Verteilung hat zwei Werte, für die die Wahrscheinlichkeitsdichte maximal und gleich groß ist.

Abbildung 3 zeigt eine Verteilung mit einem globalen Maximum, die also streng genommen unimodal ist. Es ist jedoch üblich, alle lokalen Maxima als Modi einer Verteilung zu betrachten. Wenn eine Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte mehr als ein lokales Maximum aufweist, wird diese Verteilung daher als multimodal bezeichnet. Unter dieser breiteren Definition veranschaulicht Abbildung 3 eine bimodale Verteilung.

Bi- und multimodale Distributionen

Abbildung 4. Bimodales Histogramm der Körperlängen von 300 Weberameisen[1]

EIN multimodaler Vertrieb ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Dichte mehr als ein lokales Maximum hat. Jeder der Werte, für die die Dichte lokal maximal ist, wird als Verteilungsmodus angesehen. Wenn es zwei Modi gibt, sprechen wir von einem bimodale Verteilung.

Das Histogramm von Abbildung 4 zeigt deutlich zwei Modi. Dies legt nahe, dass die Weberameisenpopulation aus zwei verschiedenen Subpopulationen besteht.