WikiDer > Интерполяционная теорема Марцинкевича

Marcinkiewicz interpolation theorem

В математика, то Интерполяционная теорема Марцинкевича, обнаруженный Юзеф Марцинкевич (1939), является результатом, ограничивающим нормы нелинейных операторов, действующих на Lп пробелы.

Теорема Марцинкевича аналогична теореме Теорема Рисса – Торина. около линейные операторы, но также применяется к нелинейным операторам.

Предварительные мероприятия

Позволять ж быть измеримая функция с действительными или комплексными значениями, определенными на измерить пространство (ИксF, ω). В функция распределения из ж определяется

потом ж называется слабый если существует постоянная C такая, что функция распределения ж удовлетворяет следующему неравенству для всех т > 0:

Наименьшая постоянная C в неравенстве выше называется слабый норма и обычно обозначается или Аналогичным образом пространство обычно обозначают через L1,ш или L1,∞.

(Примечание: эта терминология немного вводит в заблуждение, поскольку слабая норма не удовлетворяет неравенству треугольника, как можно увидеть, рассматривая сумму функций на данный и , который имеет норму 4, а не 2.)

Любые функция принадлежит L1,ш и, кроме того, выполняется неравенство

Это не что иное, как Неравенство Маркова (он же Неравенство Чебышева). Обратное неверно. Например, функция 1 /Икс принадлежит L1,ш но не L1.

Аналогичным образом можно определить слабый Космос как пространство всех функций ж такой, что принадлежит L1,ш, а слабый норма с помощью

Более конкретно, Lп,ш норма определяется как лучшая постоянная C в неравенстве

для всех т > 0.

Формулировка

Неформально теорема Марцинкевича

Теорема. Позволять Т быть ограниченный линейный оператор из к и в то же время из к . потом Т также является ограниченным оператором из к для любого р между п и q.

Другими словами, даже если вам требуется только слабая ограниченность на крайних точках п и q, вы по-прежнему получаете регулярную ограниченность внутри. Чтобы сделать это более формальным, нужно объяснить, что Т ограничен только на плотный подмножество и может быть завершено. Увидеть Теорема Рисса-Торина для этих деталей.

Теорема Марцинкевича слабее теоремы Рисса-Торина в оценках нормы. Теорема дает оценки для норма Т но эта оценка возрастает до бесконечности при р сходится либо к п или q. Конкретно (ДиБенедетто 2002, Теорема VIII.9.2), предположим, что

таким образом норма оператора из Т из Lп к Lп,ш самое большее Nп, а операторная норма Т из Lq к Lq,ш самое большее Nq. Тогда следующие интерполяционное неравенство относится ко всем р между п и q и все ж ∈ Lр:

где

и

Константы δ и γ можно также задать для q = ∞ предельным переходом.

Версия теоремы также верна в более общем случае, если Т предполагается только квазилинейным оператором в следующем смысле: существует постоянная C > 0 такой, что Т удовлетворяет

за почти каждый Икс. Теорема верна в точности так, как сформулировано, за исключением замены γ на

Оператор Т (возможно, квазилинейный), удовлетворяющий оценке вида

Говорят, что из слабый тип (п,q). Оператор имеет простой тип (п,q) если Т ограниченное преобразование из Lп к Lq:

Более общая формулировка интерполяционной теоремы выглядит следующим образом:

  • Если Т - квазилинейный оператор слабого типа (п0, q0) и слабого типа (п1, q1) где q0 ≠ q1, то для каждого θ ∈ (0,1) Т имеет тип (п,q), для п и q с пq формы

Последняя формулировка следует из первой посредством применения Неравенство Гёльдера и аргумент двойственности.[нужна цитата]

Приложения и примеры

Известный пример приложения - Преобразование Гильберта. Рассматривается как множитель, преобразование Гильберта функции ж можно вычислить, сначала взяв преобразование Фурье из ж, затем умножая на функция знака, и, наконец, применяя обратное преобразование Фурье.

Следовательно Теорема Парсеваля легко показывает, что преобразование Гильберта ограничено к . Гораздо менее очевидный факт заключается в том, что он ограничен к . Следовательно, теорема Марцинкевича показывает, что она ограничена к для любого 1 < п < 2. Двойственность аргументы показывают, что он также ограничен при 2 < п <∞. На самом деле преобразование Гильберта действительно неограниченно для п равно 1 или ∞.

Другой известный пример - это Максимальная функция Харди – Литтлвуда, что только сублинейный оператор а не линейный. В то время как к оценки могут быть получены непосредственно из ослаблять оценка с помощью умной замены переменных, интерполяция Марцинкевича является более интуитивным подходом. Поскольку максимальная функция Харди – Литтлвуда тривиально ограничена из к , сильная ограниченность для всех сразу следует из слабой (1,1) оценки и интерполяции. Слабая (1,1) оценка может быть получена из Лемма Витали о покрытии.

История

Теорема была впервые анонсирована Марцинкевич (1939), который показал этот результат Антони Зигмунд незадолго до того он погиб во Второй мировой войне. Эта теорема была почти забыта Зигмундом и отсутствовала в его оригинальных работах по теории сингулярные интегральные операторы. Потом Зигмунд (1956) понял, что результат Марцинкевича может значительно упростить его работу, и тогда он опубликовал теорему своего бывшего ученика вместе с собственным обобщением.

В 1964 г. Ричард А. Хант и Гвидо Вайс опубликовал новое доказательство интерполяционной теоремы Марцинкевича.[1]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Хант, Ричард А .; Вайс, Гвидо (1964). «Интерполяционная теорема Марцинкевича». Труды Американского математического общества. 15 (6): 996–998. Дои:10.1090 / S0002-9939-1964-0169038-4. ISSN 0002-9939.