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Das Matrixmechanik ist eine Formulierung von Quantenmechanik die 1925 von . entworfen wurde Werner Heisenberg, Max Born und Pascual Jordan.

Die Matrixmechanik ist eine der beiden Hauptmethoden zur Beschreibung quantifizierter Phänomene in der Natur. Es hat es erweitert Bohr-Modell heraus, indem Sie beschreiben, wie Quantenübergänge Performance. Die Matrixmechanik interpretiert physikalische Eigenschaften von Teilchen als Matrizen die sich im Laufe der Zeit entwickeln. Matrixmechanik, in ihrer modernen Formulierung auch bekannt als Heisenberg-Statue, ist äquivalent zu der von Schrödinger Ursprung Wellenformulierung der Quantenmechanik und liegt der Basis von diracsBremsnotation für die Wellenfunktion.

Im Gegensatz zur Wellenformulierung erzeugt sie Spektren von (normalerweise Energie-)Operatoren durch rein algebraische, Leiter-Operator-Methoden. Ausgehend von diesen Methoden leitete Pauli 1926, vor der Entwicklung der Wellenmechanik, das Wasserstoffatomspektrum ab.

Entwicklung der Matrixmechanik

1925 formulierte Werner Heisenberg, Max Born und Pascual Jordan die matrixmechanische Darstellung der Quantenmechanik.

Epiphanie auf Helgoland

1925 arbeitete Werner Heisenberg in Göttingen zum Problem der Berechnung der Spektrallinien von Wasserstoff. Im Mai 1925 begann er, Atomsysteme nur durch beobachtbare Größen beschreiben. Am 7. Juni reiste Heisenberg ab, um den Folgen eines schweren Angriffs durch Heuschnupfen, auf die pollenfreie Nordseeinsel Helgoland. Während er dort zwischen Klettern und Gedichten lernen Goethe's West-östlicher Diwan weiter, er dachte weiter über das Spektralproblem nach und erkannte schließlich, dass die Annahme von nicht kommutativ Observables könnten das Problem lösen, und er schrieb später:^[1]

„Es war gegen drei Uhr morgens, als das Endergebnis der Berechnung vor mir lag. Zuerst war ich zutiefst geschockt. Ich war so aufgeregt, dass ich nicht an Schlaf denken konnte. Also verließ ich das Haus und wartete auf die Sonnenaufgang auf einem Felsen."

Die drei grundlegenden Dokumente

Nachdem Heisenberg zurückgekehrt war Göttingen, er ließ Wolfgang Paulic siehe seine Berechnungen und an einer Stelle sagte er:

"Für mich ist noch alles verschwommen und unklar, aber es scheint, als würden sich die Elektronen nicht mehr in Umlaufbahnen bewegen."

Am 9. Juli gab Heisenberg das gleiche Dokument seiner Berechnungen Max Bornsagte: '...er hatte einen verrückten Artikel geschrieben und hatte Angst, ihn zur Veröffentlichung einzusenden, und Born würde ihn lesen und ihn darüber beraten...'vor der Veröffentlichung. Heisenberg ging dann für eine Weile und überließ Born die Analyse des Artikels.^[2]

In dem Artikel formulierte Heisenberg die Quantentheorie ohne scharfe Elektronenbahnen. Hendrik Kramers hatte zuvor die relativen Intensitäten der Spektrallinien im Sommerfeld-Modell berechnet von der Fourier-Koeffizienten der Bahnen als Intensitäten. Aber seine Antwort, wie alle anderen Berechnungen in der alte Quantentheorie, nur richtig für große Aufträge.

Heisenberg, nach einer Zusammenarbeit mit Kramers,^[3] erkannte, dass die Übergangswahrscheinlichkeiten keine ganz klassischen Größen waren, da die einzigen Frequenzen im die Fourierreihe sollten die bei Quantensprüngen beobachteten Frequenzen sein, nicht die fiktiven aus der Fourier-Analyse scharfer klassischer Bahnen. Er ersetzte die klassische Fourier-Reihe durch eine Koeffizientenmatrix, eine vage Quantenanalogie der Fourier-Reihe. Klassisch geben die Fourier-Koeffizienten die Intensität der emittierten Strahlung an, also in der Quantenmechanik die Größe der Matrixelemente des Positionsoperator die Intensität der Strahlung im Helllinienspektrum. Die Größen in Heisenbergs Formulierung waren die klassische Position und der Impuls, aber jetzt waren sie nicht mehr scharf definiert. Jede Menge wurde durch eine Reihe von repräsentiert Fourier-Koeffizienten mit zwei Indizes, die dem Anfangs- und Endzustand entsprechen.^[4]

Als Born den Artikel las, wurde ihm klar, dass diese Formulierung transkribiert und auf die Systematik ausgedehnt werden kann Sprache der Matrizen,^[5] die er aus seinem Studium bei Jakob Rosanes gelernt hatte^[6] Auf Universität Breslau. Geboren, mit Hilfe seines Assistenten und ehemaligen Schülers Pascual Jordan, begann sofort mit der Transkription und Erweiterung und reichte ihre Ergebnisse zur Veröffentlichung ein; der Artikel ging nur 60 Tage nach Heisenbergs Artikel zur Veröffentlichung ein.^[7]Alle drei Autoren reichten bis Ende des Jahres ein Follow-up Paper zur Veröffentlichung ein.^[8] (Eine kurze Diskussion über Borns Rolle bei der Entwicklung der Matrixmechanik-Formulierung der Quantenmechanik sowie eine Diskussion der Schlüsselformel der Nichtkommutativität der Wahrscheinlichkeitsamplituden findet sich in einem Artikel von in Jeremy Bernstein.^[9] Eine detaillierte historische und technische Darstellung findet sich im Buch von Mehra und Rechenberg Die historische Entwicklung der Quantentheorie. Band 3. Die Formulierung der Matrixmechanik und ihre Modifikationen 1925–1926. ^[10])

Bislang wurden Matrizen von Physikern selten verwendet; sie galten als dem Reich der reinen Mathematik zugehörig. Gustav Mie hatte sie 1912 in einem Artikel über Elektrodynamik verwendet und Born hatte sie 1921 in seiner Arbeit über die Gittertheorie der Kristalle verwendet. Obwohl in diesen Fällen Matrizen verwendet wurden, trat die Matrixalgebra mit ihrer Multiplikation nicht wie in die Matrixformulierung der Quantenmechanik.^[11]

Born hatte jedoch, wie bereits erwähnt, die Matrixalgebra von Rosanes gelernt, aber Born hatte auch Hilberts Theorie der Integralgleichungen und quadratischen Formen für eine unendliche Anzahl von Variablen gelernt, wie ein Zitat aus Born aus Hilberts Arbeit beweist Grundzüge einer allgemeinen Theory of Linears Integralgleichungen 1912 veröffentlicht.^[12][13]

Auch Jordan war für die Aufgabe gut gerüstet. Er war mehrere Jahre Assistent von Richard Courant in Göttingen bei der Vorbereitung von Courants Buch und David HilbertMethoden der Mathematiker Physik I, das 1924 veröffentlicht wurde.^[14] Zufälligerweise enthielt dieses Buch viele der mathematischen Werkzeuge, die für die Weiterentwicklung der Quantenmechanik notwendig sind.

Im Jahr 1926 wurde John von Neumann Assistent zu David Hilbert, und er würde den Begriff verwenden Hilbert-Raum die Algebra und Analyse zu beschreiben, die bei der Entwicklung der Quantenmechanik verwendet werden.^[15][16]

Heisenbergs Argumentation

Vor der Matrixmechanik ist die, alte Quantentheorie die Bewegung eines Teilchens durch eine klassische Umlaufbahn mit einer wohldefinierten Position und Impuls X ( t ), p ( t ), mit der Einschränkung, dass das Zeitintegral über eine Periode T des Impulses mal die Geschwindigkeit ist ein positives ganzzahliges Vielfaches von Plancksche Konstante muss sein

${displaystyle int _{0}^{T}P;{dX über dt};dt=int _{0}^{T}P;dX=nh}$ .

Obwohl diese Einschränkung Orbits mit mehr oder weniger korrekten Energiewerten korrekt auswählt E _nein , beschrieb der alte quantenmechanische Formalismus keine zeitabhängigen Prozesse wie die Emission oder Absorption von Strahlung.

Wenn ein klassisches Teilchen schwach an ein Strahlungsfeld gekoppelt ist, so dass die Strahlungsdämpfung vernachlässigt werden kann, wird es Strahlung emittiert in einem Muster, das sich in jeder Umlaufperiode wiederholt. Die Frequenzen, aus denen die ausgehende Welle besteht, sind dann ganzzahlige Vielfache der Bahnfrequenz, und dies spiegelt die Tatsache wider, dass X ( t ) ist periodisch, so dass die Fourier-Darstellung nur Frequenzen 2πn/T hast.

${displaystyle X(t)=sum _{n=-infty}^{infty}e^{2pi int/T}X_{n}}$ .

Die Koeffizienten X _nein sind komplexe Zahlen. Diejenigen mit negativen Frequenzen müssen die komplex konjugiert sind von denen mit positiven Frequenzen, so dass X ( t ) wird immer echt sein,

${Displaystil X_{n}=X_{-n}^{*}}$ .

Ein quantenmechanisches Teilchen hingegen kann nicht kontinuierlich Strahlung emittieren, es kann nur Photonen emittieren. Angenommen, das Quantenteilchen startete in der Bahnnummer nein , emittierte ein Photon und endete dann in der Umlaufbahnnummer ich , ist die Energie des Photons E_nein E_ich, was bedeutet, dass die Frequenz (E_nein E_ich)/h ist.

für große nein und ich , aber mit nein − ich relativ klein, das sind die klassischen Frequenzen von BohrsKorrespondenzprinzip

${Anzeigestil E_{n}-E_{m}ca. h(n-m)/T}$ .

In der obigen Formel ist T die klassische Periode einer der beiden Umlaufbahnen nein oder Job ich , weil der Unterschied zwischen den beiden höher ist in ha . Aber für nein und ich klein oder as nein − ich groß ist, sind die Frequenzen keine ganzzahligen Vielfachen einer einzelnen Frequenz.

Da die vom Teilchen emittierten Frequenzen mit den Frequenzen in der Fourier-Beschreibung seiner Bewegung übereinstimmen, deutet dies darauf hin, dass 'etwas' in der zeitabhängigen Beschreibung des Teilchens mit der Frequenz (E_nein−E_ich)/ha schwingt.

Heisenberg nannte diese Größe X _nm , und forderte, es auf das Klassische zu reduzieren Fourier-Koeffizienten innerhalb der klassischen Grenze. Für große Werte von nein , ich aber mit nein − ich relativ klein, X _nm ist der ( nein − ich ) e Fourier-Koeffizient der klassischen Bahnbewegung nein. Schon seit X _nm hat eine entgegengesetzte Frequenz wie X _mn , wird zur Bedingung, dass X ist echt

${Displaystil X_{nm}=X_{mn}^{*}}$ .

Per Definition, X _nm nur die frequenz (E_nein−E_ich)/ha,

${Displaystil X_{nm}(t)=e^{2pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{nm}(0)}$.

Dies ist die ursprüngliche Form der Heisenbergschen Bewegungsgleichung.

Gegeben zwei Arrays X _nm und p _nm Beschreiben zweier physikalischer Größen könnte Heisenberg eine neue Reihe des gleichen Typs bilden, indem er die Terme kombiniert X _nk p _km , die auch mit der richtigen Frequenz schwingen. Seit der Fourier-Koeffizienten des Produkts zweier Mengen de Faltung aus den Fourier-Koeffizienten jedes Individuums ermöglichte die Übereinstimmung mit der Fourier-Reihe Heisenberg, die Regel abzuleiten, mit der die Arrays multipliziert werden sollten,

${displaystyle (XP)_{mn}=Summe _{k=0}^{infty}X_{mk}P_{kn}}$ .

Born hat darauf hingewiesen das ist das Gesetz der Matrixmultiplikation, so dass der Ort, der Impuls, die Energie, alle beobachtbaren Größen in der Theorie, als Matrizen interpretiert werden. Nach dieser Multiplikationsregel hängt das Produkt von der Reihenfolge ab: XP unterscheidet sich von PX .

Das X Matrix ist eine vollständige Beschreibung der Bewegung eines quantenmechanischen Teilchens. Da die Frequenzen in der Quantenbewegung keine Vielfachen einer gemeinsamen Frequenz sind, sind die Matrixelemente nicht als die interpretiert werden Fourier-Koeffizienten einer scharfen klassischen Flugbahn . Trotzdem zufriedenstellend X ( t ) und p ( t ) als Matrizen zu den klassischen Bewegungsgleichungen; siehe auch den Satz von Ehrenfest weiter unten.

Grundlagen der Matrizen

Als es 1925 von eingeführt wurde Werner Heisenberg, Max Born und Pascual Jordan, Matrixmechanik wurde nicht sofort akzeptiert und sorgte zunächst für Kontroversen Wellenmechanik von Schrödinger wurde stark bevorzugt.

Ein Grund dafür war, dass Heisenbergs Formulierung für die damalige Zeit in einer seltsamen mathematischen Sprache war, während Schrödingers Formulierung auf wohlbekannten Wellengleichungen basierte. Aber es gab auch einen tieferen soziologischen Grund. Die Quantenmechanik hatte sich auf zwei Wegen entwickelt, einer in eine Richtung, die den Welle-Teilchen-Dualismus betonte, und der andere in eine von Bohr geschaffene Richtung, der diskrete Energiezustände und Quantensprünge betonte. (Hier kann erwähnt werden, dass Einstein bevorzugte die Richtung, die die Welle-Teilchen-Dualität betonte.) de Broglie hatte die einzelnen Energiezustände im Welle-Teilchen-Dualitäts-Rahmen reproduziert - die Quantenbedingung ist die Stehwellen-Bedingung, und dies gab denen in der Welle-Teilchen-Dualitätsschule Hoffnung, alle einzelnen Aspekte der Quantenmechanik in die kontinuierliche Wellenmechanik einzubringen .

Die Matrixmechanik hingegen stammt aus der Bohrschen Schule, die sich mit diskreten Energiezuständen und Quantensprüngen beschäftigte. Bohrs Anhänger schätzten physikalische Modelle, die Elektronen als Wellen darstellen, wenn überhaupt nicht. Sie zogen es vor, sich auf die Größen zu konzentrieren, die direkt mit Experimenten zusammenhängen.

In der Atomphysik Spektroskopie Beobachtungsdaten zu atomaren Übergängen, die sich aus den Wechselwirkungen von Atomen mit Licht ergeben Quanten. Die Bohrsche Schule verlangte, dass in der Theorie nur solche Größen auftauchen sollten, die im Prinzip spektroskopiemäßig gemessen werden konnten. Diese Größen beinhalten die Energieniveaus und ihre Intensitäten, aber sie beinhalten nicht die genaue Position eines Teilchens in seiner Bohrschen Bahn. Es ist sehr schwer, sich ein Experiment vorzustellen, das bestimmen könnte, ob sich ein Elektron im Grundzustand eines Wasserstoffatoms rechts oder links vom Kern befindet. Es war eine tiefe Überzeugung, dass es auf solche Fragen keine Antworten gab.

Die Matrixformulierung basiert auf der Prämisse, dass alle physikalischen Observablen durch Matrizen repräsentiert werden, deren Elemente durch zwei verschiedene Energieniveaus indiziert sind. Die Menge der Eigenwerte der Matrix wurde schließlich als die Menge aller möglichen Werte verstanden, die die Observable haben kann. Da Heisenbergs Matrizen Einsiedlerisch reell sind, sind die Eigenwerte reell.

Wenn eine Observable gemessen wird und das Ergebnis ein gegebener Eigenwert ist, dann ist der entsprechende Eigenvektor den Zustand des Systems unmittelbar nach der Messung. Der Akt des Messens in der Matrixmechanik 'kollabiert' den Zustand des Systems. Misst man zwei Observablen gleichzeitig, kollabiert der Zustand des Systems in einen gemeinsamen Eigenvektor der beiden Observablen. Da die meisten Matrizen keine gemeinsamen Eigenvektoren haben, können die meisten Beobachtungen nie exakt gleichzeitig gemessen werden. Das ist es Unschärferelation.

Wenn zwei Matrizen ihre Eigenvektoren teilen, können sie gleichzeitig diagonal sein. In der Basis, in der sie beide diagonal sind, ist klar, dass ihr Produkt nicht von ihrer Ordnung abhängt, da die Multiplikation von Diagonalmatrizen nur eine Multiplikation von Zahlen ist. Die Unschärferelation hingegen ist Ausdruck dafür, dass oft zwei Matrizen ein und B nicht immer pendeln, d.h. AB − BA ist nicht notwendigerweise gleich 0. Die grundlegende Kommutierungsbeziehung der Matrixmechanik,

${displaystyle sum _{k}(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km})={ih über 2pi }~delta _{nm}}$

impliziert, dass es gibt keine Zustände, die gleichzeitig eine bestimmte Position und einen bestimmten Impuls haben.

Dieses Unsicherheitsprinzip gilt auch für viele andere Paare von beobachtbaren Beobachtungen. Zum Beispiel kommutiert die Energie auch nicht mit dem Ort, so dass es unmöglich ist, den Ort und die Energie eines Elektrons in einem Atom genau zu bestimmen.

1928 nominiert Albert Einstein Heisenberg, Born und Jordan für die Nobelpreis für Physik.^[17] Die Verleihung des Nobelpreises für Physik für 1932 wurde auf November 1933 verschoben.^[18] Damals wurde bekannt, dass Heisenberg 1932 den Preis "für die Schaffung der Quantenmechanik, deren Anwendung unter anderem zur Entdeckung der allotropen Formen des Wasserstoffs geführt hat" gewonnen habe.^[19] und Erwin Schrödinger und Paul Adrien Maurice Dirac teilte 1933 den Preis "für die Entdeckung neuer produktiver Formen der Atomtheorie".^[19]

Man könnte sich fragen, warum Born zusammen mit Heisenberg 1932 den Preis nicht erhielt und Bernstein spekuliert darüber. Einer bezieht sich auf Jordans Eintritt in die NSDAP am 1. Mai 1933 und a Sturmtruppler werden.^[20] Die Zugehörigkeit der jordanischen Partei und die Verbindung Jordans zu Born dürften damals Borns Chance auf den Preis beeinflusst haben. Bernstein merkt weiter an, dass Jordan, als Born schließlich 1954 den Preis gewann, noch am Leben war, während der Preis für die statistische Interpretation der Quantenmechanik vergeben wurde, die allein Born zuzuschreiben ist.^[21]

Auch Heisenbergs Reaktionen auf Born for Heisenberg, der den Preis vor 1932 erhielt, und auf Born, der den Preis 1954 erhielt, sind aufschlussreich für die Einschätzung, ob Born den Preis mit Heisenberg hätte teilen sollen. Am 25. November 1933 erhielt Born einen Brief von Heisenberg, dass er sich wegen eines "schlechten Gewissens" schriftlich verspätete, er habe die Auszeichnung nur "für seine Arbeit in Göttingen in Zusammenarbeit - du, Jordan und ich" erhalten. Heisenberg fuhr fort, dass der Beitrag von Born und Jordan zur Quantenmechanik nicht durch "eine falsche Entscheidung von außen" geändert werden kann.^[22]

1954 schrieb Heisenberg einen Artikel zu Ehren von Max Planck für seine Einsicht im Jahr 1900. In dem Papier schrieb Heisenberg Born und Jordan die endgültige mathematische Formulierung der Matrixmechanik zu, und Heisenberg betonte weiter die Größe ihrer Beiträge zur Quantenmechanik, die "in der Öffentlichkeit nicht ausreichend anerkannt" wurden.^[23]

Mathematische Entwicklung

Nachdem Heisenberg die Matrizen für X und p eingeführt hatte, konnte er ihre Matrixelemente in besonderen Fällen durch Vermutungen finden, geleitet von den Korrespondenzprinzip. Da die Matrixelemente quantenmechanische Analoga von sind Fourier-Koeffizienten der klassischen Bahnen ist der einfachste Fall der harmonischer Oszillator, wo die klassische Position und der Impuls, X ( t ) und p ( t ) sind sinusförmig.

Harmonischer Oszillator

In Einheiten, bei denen Masse und Frequenz des Oszillators gleich eins sind (siehe Entdimensionalisierung), ist die Energie des Oszillators

${displaystyle H={1 über 2}(P^{2} X^{2})~.}$

Der eingestellte Wert von huh sind die Bahnen im Uhrzeigersinn und sie sind verschachtelte Kreise im Phasenraum. Der klassische Job mit Energie E ist

${Anzeigestil X(t)={Quadrat {2E}}cos(t),qquad P(t)=-{Quadrat {2E}}sin(t)~.}$

Das uralte Quantenbedingung schreibt vor, dass das Integral von ${Anzeigestil PdX}$ über einer Umlaufbahn, die Fläche des Kreises im Phasenraum, muss ein ganzzahliges Vielfaches von sein Plancksche Konstante. Die Fläche des Kreises des Radius ${displaystyle {sqrt {2E}}}$ ist 2πE. So

${displaystyle E={nh über 2pi}~,}$

oder in einem natürlichen Element mit ħ = 1 ist die Energie eine ganze Zahl.

Das Fourier-Komponenten von ${Anzeigestil X(t)}$ und ${Anzeigestil P(t)}$ sind einfach und vor allem, wenn sie in den Mengen kombiniert werden

${Displaystil A(t)=X(t) iP(t)={Quadrat {2E}},e^{-it},Quad A^{Dolch}(t)=X(t)-iP(t)= {Quadrat {2E}},e^{it}}$ .

Beide ${Anzeigestil A}$ wenn ${Displaystil A^{Dolch}}$, nur eine Frequenz haben und X und p können aus ihrer Summe und Differenz wiederhergestellt werden.

Schon seit ${Anzeigestil A(t)}$ hat eine klassische Fourierreihe mit nur der niedrigsten Frequenz, und das Matrixelement ${displaystyle A_{mn}}$ ist der ${Anzeigestil (m-n)}$e Fourier-Koeffizient der klassischen Bahn, die Matrix für ${Anzeigestil A}$ auf der Geraden über der Diagonale nicht Null ist, wo es gleich ist ${displaystyle {sqrt {2E_{n}}}}$. Die Matrix für ${displaystyle A^{dolch }}$ ist auch nur auf der Linie unterhalb der Diagonale mit den gleichen Elementen ungleich Null.

So aus ${Anzeigestil A}$ und ${displaystyle A^{dolch }}$, Rekonstruktion ergibt

${displaystyle {sqrt {2}}X(0)={sqrt {frac {h}{2pi }}};{ egin{bmatrix}0&{sqrt {1}}&0&0&0&cdots /{sqrt {1}}&0&{sqrt { 2}}&0&0&cdots /0&{sqrt {2}}&0&{sqrt {3}}&0&cdots /0&0&{sqrt {3}}&0&{sqrt {4}}&cdots /vdots &vdots &vdots &vdots &vdots &ddots /end}{ }$

und

${displaystyle {sqrt {2}}P(0)={sqrt {frac {h}{2pi }}};{ egin{bmatrix}0&-i{sqrt {1}}&0&0&0&cdots /i{sqrt {1}}&0& -i{sqrt {2}}&0&0&cdots /0&i{sqrt {2}}&0&-i{sqrt {3}}&0&cdots /0&0&i{sqrt {3}}&0&-i{sqrt {4}}&cdots /vdots &vdots &vdots &vdots &vdots &ddots /end{bmatrix}},}$

die, nach Wahl der Einheiten, die Heisenberg-Matrizen für den harmonischen Oszillator sind.Beachten Sie, dass beide Matrizen Einsiedler weil sie aus den Fourier-Koeffizienten reeller Größen konstruiert sind.

Die Feststellung von X(t) und p(t) ist direkt, weil sie Quanten-Fourier-Koeffizienten sind, also entwickeln sie sich einfach mit der Zeit,

${Anzeigestil X_{mn}(t)=X_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t},Quad P_{mn}(t)=P_{mn}(0 )e^{i(E_{m}-E_{n})t}~.}$

Das Matrixprodukt von ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil P}$ ist nicht hermitesch, sondern hat einen Real- und einen Imaginärteil. Der Realteil ist die Hälfte des symmetrischen Ausdrucks ${Anzeigestil XP-PX}$, während der Imaginärteil proportional zu Kommutator

${Anzeigestil [X,P]=(XP-PX)}$ .

Es ist einfach, das explizit zu überprüfen ${Anzeigestil XP-PX}$ im Fall des harmonischen Oszillators ich h wird mit . multipliziert Identität.

Es ist auch leicht zu überprüfen, ob die Matrix

${displaystyle H={1 über 2}(X^{2} P^{2})}$

ist eine Diagonalmatrix, mit EigenwerteE_ich.

Energieeinsparung

Der harmonische Oszillator ist ein wichtiger Fall. Das Auffinden der Matrizen ist einfacher, als die Konditionen aus diesen Sonderformularen zu ermitteln. Deshalb untersuchte Heisenberg die anharmonischer Oszillator, mit Hamiltonian

${displaystyle H={1 über 2}P^{2} {1 über 2}X^{2} Epsilon X^{3}~.}$

In diesem Fall ist die ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil P}$ Matrizen sind nicht mehr einfach von Diagonalmatrizen, weil die entsprechenden klassischen Bahnen leicht gequetscht und verschoben wurden, so dass sie auf jeder klassischen Frequenz liegen Fourier-Koeffizienten haben. Zur Bestimmung der Matrixelemente forderte Heisenberg, die klassischen Bewegungsgleichungen als Matrixgleichungen zu betrachten,

${displaystyle {dX über dt}=Pquad {dP über dt}=-X-3epsilon X^{2}~.}$

Er stellte fest, dass, wenn dies möglich wäre, ${Anzeigestil H}$, betrachtet als Matrixfunktion von ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil P}$, hat keine Zeitableitung.

${displaystyle {dH über dt}=P*{dP über dt} (X 3epsilon X^{2})*{dX über dt}=0~,}$

in welchem 'AB' das Antikommutator ist,

${Anzeigestil A*B={1 über 2}(AB BA)~}$.

Da alle nicht-diagonalen Elemente eine Frequenz gleich Null haben; ${Anzeigestil H}$ konstant zu sein bedeutet, dass ${Anzeigestil H}$ ist diagonal. Heisenberg war klar, dass in diesem System die Energie in jedem Quantensystem präzise erhalten werden kann, ein sehr ermutigendes Zeichen.

Der Vorgang der Emission und Absorption von Photonen schien zu verlangen, dass die Energieerhaltung im Durchschnitt optimal bleibt. Wenn eine Welle mit genau einem Photon durch einige Atome hindurchgeht und eines von ihnen absorbiert, muss dieses Atom den anderen mitteilen, dass sie das Photon nicht mehr aufnehmen können. Wenn die Atome jedoch weit voneinander entfernt sind, kann kein Signal die anderen Atome rechtzeitig erreichen und sie können schließlich dasselbe Photon absorbieren und die Energie an die Umgebung abgeben. Wenn das Signal sie erreichte, würden die anderen Atome diese Energie irgendwie freisetzen erinnern haben müssen. Dieses Paradox führte zu Bohr, Kramers und Slater um die genaue Energieeinsparung anzugeben. Heisenbergs Formalismus würde, wenn er auf das elektromagnetische Feld ausgedehnt wird, dieses Problem eindeutig umgehen und andeuten, dass die Interpretation der Theorie Wellenfunktion kollabieren beinhaltet.

Differenzierungsanwendung - kanonische Kommutierungsbeziehungen

Die Forderung nach Beibehaltung der klassischen Bewegungsgleichungen reicht nicht aus, um die Matrixelemente zu bestimmen. Das Plancksche Konstante kommt in den klassischen Gleichungen nicht vor, daher können die Matrizen für viele verschiedene Werte von konstruiert werden ħ und erfüllen immer noch die Bewegungsgleichungen, jedoch mit unterschiedlichen Energieniveaus.

Um sein Programm auszuführen, musste Heisenberg die uralte Quantenbedingung um die Energieniveaus zu bestimmen und dann die Matrizen mit auszufüllen Fourier-Koeffizienten der klassischen Gleichungen, dann ändern Sie die Matrixkoeffizienten und das Energieniveau leicht, um sicherzustellen, dass die klassischen Gleichungen erfüllt sind. Dies ist eindeutig nicht der Fall. Die alten Quantenbedingungen beziehen sich auf die von den scharfen klassischen Bahnen eingeschlossene Fläche, die im neuen Formalismus nicht existiert.

Das Wichtigste, was Heisenberg herausgefunden hat, ist, wie die uralte Quantenbedingung lässt sich in eine einfache Aussage der Matrixmechanik übersetzen: Dazu untersuchte er das Wirkungsintegral als Matrixgröße,

${displaystyle int _{0}^{T}sum _{k}P_{mk}(t){dX_{kn} over dt}dt,,{stackrel {scriptstyle ?}{approx }},,J_{mn} ~.}$

Bei diesem Integral gibt es mehrere Probleme, die alle aus der Unvereinbarkeit des Matrixformalismus mit der alten Sichtweise von Arbeitsplätzen resultieren. Welcher Zeitraum T sollte benutzt werden? Semiklassisch , es muss ich oder nein sind, aber der Unterschied ist die Ordnung ħ und wir suchen eine antwort auf bestellung ħ. Die 'Quanten'-Bedingung sagt uns, dass J _mn ist 2πnein auf der Diagonale, also die Tatsache, dass J klassisch konstant sagt uns, dass die nichtdiagonalen Elemente null sind.

Seine entscheidende Erkenntnis war die Differenzierung der Quantenbedingung nach nein . Diese Idee macht nur im klassischen Limit Sinn, wo nein ist keine ganze Zahl, sondern die stetigen Aktionswinkelvariablen J , aber Heisenberg führte analoge Manipulationen mit Matrizen durch, bei denen die Zwischenausdrücke manchmal diskrete Differenzen und manchmal Ableitungen sind.

In der folgenden Diskussion werden der Übersichtlichkeit halber die klassischen Variablen differenziert und anschließend nach dem Korrespondenzprinzip der Übergang zur Matrixmechanik vollzogen.

In der klassischen Einstellung ist die Ableitung die Ableitung nach J des Integrals, dass J es ist also tautologisch gleich 1.

${displaystyle {d over dJ}int _{0}^{T}PdX=1}$

${displaystyle =int _{0}^{T}dtleft({dP über dJ}{dX über dt} P{d über dJ}{dX über dt}ight)=int _{0}^{T}dtleft({ dP über dJ}{dX über dt}-{dP über dt}{dX über dJ}ight),}$

wo die Ableitungen dP / dJ und dX / dJ sollten als Unterschiede in Bezug auf interpretiert werden J zu entsprechenden Zeiten auf nahegelegenen Start- und Landebahnen genau das, was erreicht würde, wenn die Fourier-Koeffizienten der Orbitalbewegung wurden differenziert. (Diese Ableitungen sind im Phasenraum symplektisch orthogonal zu den Zeitableitungen dP / dt und dX / dt ).Der letzte Ausdruck wird verdeutlicht, indem die Variable kanonisch zu . hinzugefügt wird J , dass die Winkel variabel θ heißt: Die Ableitung nach der Zeit ist eine Ableitung nach θ , bis zu einem Faktor von 2πT ,

${displaystyle {2pi over T}int _{0}^{T}dtleft({dp over dJ}{dX over d heta }-{dP over d heta }{dX over dJ}ight)=1,.}$

Das Integral der Quantenbedingung ist somit der Mittelwert über einen Zyklus der Giftklammer von X und p .

Eine analoge Ableitung der Fourierreihe von P dX zeigt, dass die nichtdiagonalen Elemente der Poisson-Klammer alle Null sind. Der Poisson-Haken zweier kanonisch konjugierter Variablen, wie z X und p , der konstante Wert ist 1, also ist dieses Integral tatsächlich der Mittelwert von 1; es ist also 1, wie wir schon lange wissen, denn schließlich ist es dJ / dJ . Aber Heisenberg, Born und Jordan waren im Gegensatz zu Dirac mit der Theorie der Poisson-Klammern nicht vertraut, sodass für sie die Differenzierung effektiv ausgewertet wurde { X, P } im J, Koordinaten.

Die Poisson-Klammer hat im Gegensatz zum Aktionsintegral eine einfache Übersetzung in die Matrixmechanik - sie entspricht normalerweise dem Imaginärteil des Produkts zweier Variablen, dem Kommutator.

Um dies zu sehen, untersuchen Sie das (antisymmetrische) Produkt zweier Matrizen ein und B in der Korrespondenzgrenze, wo die Matrixelemente langsam variierende Funktionen des Index sind, wenn man bedenkt, dass die Antwort klassisch Null ist.

In der Korrespondenzgrenze, wenn Indizes ich , nein sei groß und nah, während k , r klein sind, ist die Änderungsrate der Matrixelemente in diagonaler Richtung das Matrixelement der J - Ableitung der entsprechenden klassischen Größe. Es ist also möglich, jedes Matrixelement diagonal durch die Korrespondenz zu bewegen,

${displaystyle A_{(m r)(n r)}-A_{mn}ca. r;left({dA over dJ}ight)_{mn},}$

wo die rechte seite wirklich nur die ( ich − nein ) 'die Fourier-Komponente ist von dA / dJ nahe Umlaufbahn ich zu dieser semiklassischen Ordnung keine vollständig wohldefinierte Matrix.

Die semiklassische Zeitableitung eines Matrixelements ergibt sich zu einem Faktor ich durch Multiplikation mit dem Abstand von der Diagonale,

${displaystyle ikA_{m(mk)}ca. left({T over 2pi }{dA over dt}ight)_{m(mk)}=left({dA over d heta}ight)_{m(mk)}, .}$

da der Koeffizient ein _{m (m k)} halbklassisch die k 'der Fourier-Koeffizient der' 'm' 'ist - die klassische Bahn.

Der Imaginärteil des Produkts von ein und B kann durch Verschieben der Array-Elemente ausgewertet werden, so dass die klassische Antwort, die Null ist, reproduziert wird.

Der führende von Null verschiedene Rest ist dann vollständig durch die Verschiebung gegeben. Da sich alle Matrixelemente auf Indizes befinden, die einen geringen Abstand von der großen Indexposition ( m, m ), hilft es, zwei temporäre Notationen einzuführen:

ein[r,k] = ein_{(m r) (m k)} für die Matrizen und (dA/dJ)[r]

für die ersten Fourier-Komponenten klassischer Größen,

${displaystyle (AB-BA)[0,k]=sum _{r=-infty }^{infty }left(A[0,r]B[r,k]-A[r,k]B[0, Recht)}$

${displaystyle =sum _{r}left(;A[-rk,k] (rk){dA over dJ}[r];ight)left(;B[0,kr] r{dB over dJ}[rk] ;ight)-Summe _{r}A[r,k]B[0,r],.}$

Wenn Sie die Summenvariable in die erste Summe von ${displaystyle r}$ zu r '=' 'k' '-' 'r' 'invertiert das Matrixelement,

${displaystyle sum _{r'}(;A[r',k]-r'{dA über dJ}[k-r'];)left(;B[0,r'] (k-r'){ dB über dJ}[r'];ight)-Summe _{r}A[r,k]B[0,r],}$

und es ist klar, dass der (klassische) Hauptteil wegfällt.Der führende Quantenteil ist dann, das Produkt der Ableitungen höherer Ordnung im verbleibenden Ausdruck ignorierend,

=${displaystyle sum _{r'}left(;{dB über dJ}[r'](k-r')A[r',k]-{dA über dJ}[k-r']r'B[0 ,Recht)}$

damit am Ende

${displaystyle (AB-BA)[0,k]=sum _{r'}left(;{dB over dJ}[r']i{dA over d heta }[k-r']-{dA over dJ} [k-r']i{dB über d heta }[r']ight),}$

was identifiziert werden kann mit ich mal die k-die klassische Fourier-Komponente des Poisson-Hakens.

De oorspronkelijke differentiatietruc van Heisenberg werd uiteindelijk uitgebreid tot een volledige semi-klassieke afleiding van de kwantumconditie, in samenwerking met Born en Jordan.Zodra ze dat konden vaststellen

${displaystyle {frac {ih}{2pi }}{X,P}_{mathrm {PB} }qquad qquad longmapsto qquad qquad [X,P]equiv XP-PX={frac {ih}{2pi }},}$

deze voorwaarde verving en verlengde de regel old quantization, waardoor de matrixelementen van P en X voor een willekeurig systeem konden worden bepaaldgewoon uit de vorm van de Hamiltoniaan.

De nieuwe kwantiseringsregel werd verondersteld universeel waar te zijn , hoewel de afleiding van de oude kwantumtheorie semiklassieke redenering vereiste.(Een volledige kwantumbehandeling, voor meer uitgebreide argumenten van de haakjes, werd echter gewaardeerd in de jaren 1940 om Poisson-haakjes uit te breiden tot Moyal bracket s.)

Toestandsvectoren en de Heisenberg-vergelijking

Om de overgang naar standaard kwantummechanica te maken, was de belangrijkste verdere toevoeging de kwantum toestandsvector, nu geschreven ψ,dat is de vector waar de matrices op inwerken. Zonder de toestandsvector is het niet duidelijk welke beweging de Heisenberg-matrices beschrijven, omdat ze alle bewegingen ergens bevatten.

De interpretatie van de toestandsvector, waarvan de componenten zijn geschreven ψ _m , werd geleverd door Born. Deze interpretatie is statistisch: het resultaat van een meting van de fysieke grootheid die overeenkomt met de matrix A is willekeurig, met een gemiddelde waarde gelijk aan

${displaystyle sum _{mn}psi _{m}^{*}A_{mn}psi _{n}~.}$

Als alternatief, en equivalent, geeft de toestandsvector de waarschijnlijkheidsamplitude s _n voor het kwantumsysteem om in de energietoestand te zijn n.

Nadat de toestandsvector was geïntroduceerd, kon de matrixmechanica naar elke basis worden geroteerd, waarbij de ${displaystyle H}$ - matrix niet langer diagonaal hoeft te zijn. De bewegingsvergelijking van Heisenberg in zijn oorspronkelijke vorm stelt dat A _mn in de tijd evolueert als een Fourier-component, A_mn,

${displaystyle A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,}$

die in differentiële vorm kan worden herschikt

${displaystyle {dA_{mn} over dt}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,}$

en het kan worden aangepast zodat het waar is op een willekeurige basis, door op te merken dat de H matrix diagonaal is met diagonale waarden E _m ,

${displaystyle {dA over dt}=i(HA-AH)~.}$

Dit is nu een matrixvergelijking, dus het geldt voor elke basis. Dit is de moderne vorm van de bewegingsvergelijking van Heisenberg.

De formele oplossing is:

${displaystyle ,A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.}$

Al deze vormen van de bewegingsvergelijking hierboven zeggen hetzelfde, dat A ( t ) equivalent is aan A (0) , door een basisrotatie door de unitary matrix e ^iHt , een systematisch beeld opgehelderd door Dirac in zijn braket notatie.Omgekeerd, door de basis voor de toestandsvector telkens te roteren door e ^iHt , kan de tijdsafhankelijkheid in de matrices ongedaan worden gemaakt. De matrices zijn nu tijdonafhankelijk, maar de toestandsvector roteert,

${displaystyle |psi (t)angle =e^{-iHt}|psi (0)angle ,;;;;{d|psi angle over dt}=-iH|psi angle ~.}$

Dit is de Schrödinger-vergelijking voor de toestandsvector, en deze tijdsafhankelijke verandering van basis komt neer op transformatie naar het Schrödinger-beeld, met ⟨x | ψ⟩ = ' 'ψ (x)' '.In quantummechanica in de Heisenberg picture de state vector, | ψ⟩ verandert niet met de tijd, terwijl een waarneembare A voldoet aan de Heisenberg-bewegingsvergelijking ,

De extra term is voor operators zoals

${displaystyle A=(X t^{2}P)}$

die een expliciete tijdsafhankelijkheid hebben, naast de tijdsafhankelijkheid van de besproken unitaire evolutie.

De Heisenberg-afbeelding maakt geen onderscheid tussen tijd en ruimte, en is dus beter geschikt voor relativistische theorieën dan de Schrödingervergelijking. Bovendien is de gelijkenis met klassieke fysica duidelijker: de Hamiltoniaanse bewegingsvergelijkingen voor klassieke mechanica worden hersteld door de commutator hierboven te vervangen door de Poisson-haak (zie ook hieronder). Volgens de Stone-von Neumann-stelling moeten de Heisenberg-afbeelding en de Schrödinger-afbeelding unitair equivalent zijn, zoals hieronder wordt beschreven.

Verdere resultaten

Matrixmechanica ontwikkelde zich snel tot moderne kwantummechanica en leverde interessante fysische resultaten op over de spectra van atomen.

Golfmechanica

Jordan merkte op dat de commutatierelaties ervoor zorgen dat P fungeert als een differentiële operator .

De identiteit van de operator

${displaystyle [a,bc]=abc-bca=abc-bac bac-bca=[a,b]c b[a,c],}$

staat de evaluatie toe van de commutator van P met elke kracht van X , en het impliceert dat

${displaystyle [P,X^{n}]=-in~X^{n-1},}$

wat, samen met lineariteit, impliceert dat een P - commutator effectief onderscheid maakt tussen elke analytische matrixfunctie van X .

Ervan uitgaande dat grenzen verstandig zijn gedefinieerd, strekt dit zich uit tot willekeurige functies - maar de uitbreiding hoeft niet expliciet te worden gemaakt totdat een zekere mate van wiskundige nauwkeurigheid vereist is,

${displaystyle [P,f(X)]=-if'(X),.}$

Aangezien X een Hermitische matrix is, moet deze diagonaal zijn en uit de uiteindelijke vorm van P zal duidelijk zijn dat elk reëel getal een eigenwaarde kan zijn. Dit maakt een deel van de wiskunde subtiel, omdat er voor elk punt in de ruimte een eigen eigenvector is.

In de basis waar X diagonaal is, kan een willekeurige toestand worden geschreven als een superpositie van toestanden met eigenwaarden x ,

${displaystyle |psi angle =int _{x}psi (x)|xangle ,}$ ,

zodat ψ ( x ) = ⟨x | ψ⟩, en de operator X elke eigenvector vermenigvuldigt met x ,

${displaystyle X|psi angle =int _{x}xpsi (x)|xangle ~.}$

Definieer een lineaire operator D die ψ onderscheidt,

${displaystyle Dint _{x}psi (x)|xangle =int _{x}psi '(x)|xangle ,}$ ,

en merk dat op

${displaystyle (DX-XD)|psi angle =int _{x}left[left(xpsi (x)ight)'-xpsi '(x)ight]|xangle =int _{x}psi (x)|xangle =|psi angle ,}$ ,

zodat de operator - iD dezelfde commutatierelatie volgt als P . Het verschil tussen P en - iD moet dus pendelen met X ,

${displaystyle [P iD,X]=0,}$ ,

dus het kan tegelijkertijd diagonaal zijn met X : de waarde die werkt op elke eigentoestand van X is een functie f van de eigenwaarde x .

Deze functie moet echt zijn, omdat zowel P als - iD Hermitisch zijn,

${displaystyle (P iD)|xangle =f(x)|xangle ,}$ ,

het roteren van elke staat ${displaystyle |x rangle}$ met een fase f ( x ), dat wil zeggen de fase van de golffunctie opnieuw definiëren:

${displaystyle psi (x)ightarrow e^{-if(x)}psi (x),}$ .

De operator iD wordt opnieuw gedefinieerd met een bedrag:

${displaystyle iDightarrow iD f(X),}$ ,

wat betekent dat, in de geroteerde basis, P gelijk is aan - iD .

Daarom is er altijd een basis voor de eigenwaarden van X waar de actie van P op een golffunctie bekend is:

${displaystyle Pint _{x}psi (x)|xangle =int _{x}-ipsi '(x)|xangle ,}$ ,

en de Hamiltoniaan in deze basis is een lineaire differentiaaloperator op de state-vector componenten,

${displaystyle left[{P^{2} over 2m} V(X)ight]int _{x}psi _{x}|xangle =int _{x}left[-{1 over 2m}{partial ^{2} over partial x^{2}} V(x)ight]psi _{x}|xangle }$

De bewegingsvergelijking voor de toestandsvector is dus slechts een gevierde differentiaalvergelijking,

${displaystyle i{partial over partial t}psi _{t}(x)=left[-{1 over 2m}{partial ^{2} over partial x^{2}} V(x)ight]psi _{t}(x),.}$

Aangezien D een differentiële operator is, moeten er eigenwaarden van X zijn om elke zin waardevol te kunnen definiëren, die grenst aan elke gegeven waarde. Dit suggereert dat de enige mogelijkheid is dat de ruimte van alle eigenwaarden van X alle reële getallen zijn, en dat P iD is, tot een faserotatie .

Om dit rigoureus te maken, is een verstandige bespreking van de beperkende ruimte van functies vereist, en in deze ruimte is dit de Stone-von Neumann-stelling: alle operators X en P die de commutatierelaties gehoorzamen kan worden gemaakt om in te werken op een ruimte van golffuncties, met P een afgeleide operator. Dit houdt in dat er altijd een Schrödinger picture beschikbaar is.

Matrixmechanica strekt zich op natuurlijke wijze gemakkelijk uit tot vele vrijheidsgraden. Elke vrijheidsgraad heeft een aparte X operator en een aparte effectieve differentiële operator P , en de golffunctie is een functie van alle mogelijke eigenwaarden van de onafhankelijke pendelende X variabelen.

${displaystyle [X_{i},X_{j}]=0,}$

${displaystyle [P_{i},P_{j}]=0,}$

${displaystyle [X_{i},P_{j}]=idelta _{ij},.}$

Dit betekent in het bijzonder dat een systeem van N interagerende deeltjes in 3 dimensies wordt beschreven door één vector waarvan de componenten in een basis waar alle X diagonaal zijn een wiskundige functie is van 3 N -dimensionale ruimte die al hun mogelijke posities beschrijft , in feite een veel grotere verzameling waarden dan de loutere verzameling van N driedimensionale golffuncties in één fysieke ruimte. Schrödinger kwam onafhankelijk tot dezelfde conclusie en bewees uiteindelijk de gelijkwaardigheid van zijn eigen formalisme met dat van Heisenberg.

Aangezien de golffunctie een eigenschap is van het hele systeem en niet van een enkel onderdeel, is de beschrijving in de kwantummechanica niet helemaal lokaal. De beschrijving van verschillende kwantumdeeltjes heeft ze gecorreleerd, of entangled. Deze verstrengeling leidt tot vreemde correlaties tussen verre deeltjes die de klassieke Bell's ongelijkheid schenden.

Zelfs als de deeltjes maar in slechts twee posities kunnen zijn, vereist de golffunctie voor N -deeltjes 2 ^N complexe getallen, een voor elke totale configuratie van posities. Dit zijn exponentieel veel getallen in N , dus het simuleren van kwantummechanica op een computer vereist exponentiële bronnen. Omgekeerd suggereert dit dat het mogelijk zou kunnen zijn om kwantumsystemen van grootte N te vinden die fysiek de antwoorden berekenen op problemen die klassiek 2 ^N bits vereisen om op te lossen. Dit is de ambitie achter quantum computing.

Ehrenfest theorie

Voor de tijdonafhankelijke operators X en P , ∂A / ∂t = 0, dus de Heisenberg-vergelijking hierboven reduceert tot :^[24]

${displaystyle ihbar {dA over dt}=[A,H]=AH-HA}$ ,

waar de vierkante haken [,] de commutator aangeven. Voor een Hamiltoniaan die ${displaystyle p^{2}/2m V(x)}$ is, voldoen de operators X en P aan:

${displaystyle {dX over dt}={P over m},quad {dP over dt}=-abla V}$ ,

waarbij de eerste klassiek de snelheid is en de tweede klassiek de kracht of potentiële gradiënt. Deze reproduceren Hamilton's vorm van de bewegingswetten van Newton. In de Heisenberg picture voldoen de operatoren X en P aan de klassieke bewegingsvergelijkingen. U kunt de verwachtingswaarde van beide zijden van de vergelijking nemen om te zien dat, in elke staat | ψ⟩:

${displaystyle {frac {d}{dt}}langle Xangle ={frac {d}{dt}}langle psi |X|psi angle ={frac {1}{m}}langle psi |P|psi angle ={frac {1}{m}}langle Pangle }$

${displaystyle {frac {d}{dt}}langle Pangle ={frac {d}{dt}}langle psi |P|psi angle =langle psi |(-abla V)|psi angle =-langle abla Vangle ,.}$

Dus de wetten van Newton worden precies nageleefd door de verwachte waarden van de operators in een bepaalde staat. Dit is de stelling van Ehrenfest, wat een duidelijk gevolg is van de bewegingsvergelijkingen van Heisenberg, maar minder triviaal in het Schrödinger-beeld, waar Ehrenfest het ontdekte.

Transformatietheorie

In de klassieke mechanica is een canonieke transformatie van fase-ruimtecoördinaten er een die de structuur van de Poisson-haakjes behoudt. De nieuwe variabelen ${displaystyle x',p'}$ hebben dezelfde Poisson-haakjes met elkaar als de oorspronkelijke variabelen ${displaystyle x,p}$. Tijdsevolutie is een canonieke transformatie, aangezien de faseruimte op elk moment net zo goed een keuze van variabelen is als de faseruimte op een ander moment.

De Hamiltoniaanse stroom is de canonieke transformatie:

${displaystyle xightarrow x dx=x {partial H over partial p}dt}$

${displaystyle pightarrow p dp=p-{partial H over partial x}dt~.}$

Aangezien de Hamiltoniaan een willekeurige functie kan zijn van x en p , zijn er zulke oneindig kleine canonieke transformaties die overeenkomen met elke klassieke grootheid G, waar G dient als de Hamiltoniaan om een stroom van punten in faseruimte te genereren voor een tijdsinterval s ,

${displaystyle dx={partial G over partial p}ds={G,X}ds,}$

${displaystyle dp=-{partial G over partial x}ds={G,P}ds,.}$

Voor een algemene functie ${displaystyle A(x,p)}$ op faseruimte, de oneindig kleine verandering bij elke stap ds onder deze kaart is

${displaystyle dA={partial A over partial x}dx {partial A over partial p}dp={A,G}ds,.}$

De hoeveelheid G wordt de oneindig kleine generator van de canonieke transformatie genoemd.

In de kwantummechanica is de kwantumanaloog G nu een Hermitische matrix en de bewegingsvergelijkingen worden gegeven door commutatoren,

${displaystyle dA=i[G,A]ds,.}$

De oneindig kleine canoniale bewegingen kunnen formeel worden geïntegreerd, net zoals de bewegingsvergelijking van Heisenberg werd geïntegreerd,

${displaystyle A'=U^{dagger }AU,}$

waar U = e ^iGs en s een willekeurige parameter is.

De definitie van een kwantumcanonieke transformatie is dus een willekeurige unitaire verandering van basis op de ruimte van alle toestandvectoren. U is een willekeurige unitaire matrix, een complexe rotatie in faseruimte,

${displaystyle U^{dagger }=U^{-1},.}$

Deze transformaties laten de som van het absolute kwadraat van de golffunctiecomponenten invariant , terwijl ze staten nemen die veelvouden zijn van elkaar (inclusief toestanden die denkbeeldige veelvouden zijn van elkaar) naar toestanden die hetzelfde zijn veelvoud van elkaar.

De interpretatie van de matrices is dat ze fungeren als generatoren van bewegingen op de ruimte van staten .

De beweging gegenereerd door P kan bijvoorbeeld worden gevonden door de bewegingsvergelijking van Heisenberg op te lossen met P als Hamiltoniaan,

${displaystyle dX=i[X,P]ds=ds,}$

${displaystyle dP=i[P,P]ds=0,.}$

Dit zijn vertalingen van de matrix X door een veelvoud van de identiteitsmatrix,

${displaystyle Xightarrow X sI~.}$

Dit is de interpretatie van de afgeleide operator D : e ^iPs = e ^D , het exponentiële van een afgeleide operator is een vertaling (dus Lagrange's shift operator).

De operator X genereert eveneens vertalingen in P . De Hamiltoniaan genereert vertalingen in de tijd , het impulsmoment genereert rotaties in de fysieke ruimte en de operator X ² P ² genereert rotations in phase space .

Wanneer een transformatie, zoals een rotatie in de fysieke ruimte, met de Hamiltoniaan commuteert, wordt de transformatie een symmetrie (achter een degeneratie) van de Hamiltoniaan genoemd - de Hamiltoniaan uitgedrukt in geroteerde coördinaten is hetzelfde als het origineel Hamiltoniaan. Dit betekent dat de verandering in de Hamiltoniaan onder de oneindig kleine symmetriegenerator L verdwijnt,

${displaystyle {dH over ds}=i[L,H]=0,.}$

Hieruit volgt dat de verandering in de generator onder tijdvertaling ook verdwijnt,

${displaystyle {dL over dt}=i[H,L]=0,}$

zodat de matrix L constant in de tijd is: hij blijft behouden.

De een-op-een associatie van infinitesimale symmetrie generatoren en behoudswetten werd ontdekt door Emmy Noether voor klassieke mechanica, waar de commutatoren zijn Poisson haakjes, maar de kwantummechanische redenering is identiek. In de kwantummechanica levert elke unitaire symmetrietransformatie een behoudswet op, want als de matrix U de eigenschap heeft

${displaystyle U^{-1}HU=H,}$

dus daaruit volgt

${displaystyle UH=HU}$

en dat de tijdsafgeleide van U nul is - hij blijft behouden.

De eigenwaarden van unitaire matrices zijn zuivere fasen, zodat de waarde van een unitair geconserveerde grootheid een complex aantal eenheidsgroottes is en geen reëel getal. Een andere manier om dit te zeggen is dat een unitaire matrix het exponentiële is van i maal een Hermitische matrix, zodat de additief geconserveerde reële grootheid, de fase, slechts goed gedefinieerd is tot een geheel veelvoud van 2π . Alleen wanneer de unitaire symmetriematrix deel uitmaakt van een familie die willekeurig dicht bij de identiteit komt, worden de geconserveerde reële hoeveelheden enkelvoudig gewaardeerd, en dan wordt de eis dat ze behouden blijven een veel veeleisender beperking.

Symmetrieën die continu kunnen worden verbonden met de identiteit worden continu genoemd, en vertalingen, rotaties en boosts zijn voorbeelden. Symmetrieën die niet continu verbonden kunnen worden met de identiteit zijn discreet , en de werking van ruimte-inversie, of pariteit, en ladingconjugatie zijn voorbeelden.

De interpretatie van de matrices als generatoren van canonieke transformaties is te danken aan Paul Dirac.^[25] De overeenstemming tussen symmetrieën en matrices werd door Eugene Wigner als volledig aangetoond, als antiunitaire matrices die symmetrieën omvatten die tijd omvatten omkering zijn inbegrepen.

Selectieregels

Het was Heisenberg fysiek duidelijk dat de absolute vierkanten van de matrixelementen van ${displaystyle X}$, de Fourier-coëfficiënten van de oscillatie, de emissiesnelheid van elektromagnetische straling zouden opleveren.

In de klassieke limiet van grote banen, als een lading met positie ${displaystyle X(t)}$ en lading ${displaystyle q}$ oscilleert naast een gelijke en tegengestelde lading op positie 0, het momentane dipoolmoment is ${displaystyle qX(t)}$, en de tijdsvariatie van dit moment vertaalt zich direct in de ruimte-tijdvariatie van het vectorpotentiaal, wat resulteert in genest uitgaande sferische golven.

Voor atomen is de golflengte van het uitgezonden licht ongeveer 10.000 keer de atoomstraal en het dipoolmoment is de enige bijdrage aan het stralingsveld, terwijl alle andere details van de atomaire ladingsverdeling kunnen worden genegeerd.

Het negeren van terugreactie, het vermogen uitgestraald in elke uitgaande modus is een som van afzonderlijke bijdragen van het kwadraat van elke onafhankelijke tijd Fourier-modus van ${displaystyle d}$,

${displaystyle P(omega )={2 over 3}{omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.}$

In de weergave van Heisenberg zijn de Fourier-coëfficiënten van het dipoolmoment de matrixelementen van ${displaystyle X}$. Deze correspondentie stelde Heisenberg in staat om de regel te geven voor de overgangsintensiteiten, de fractie van de tijd dat, vanaf een begintoestand ${displaystyle i}$, een foton wordt uitgezonden en het atoom naar een eindtoestand springt ${displaystyle j}$,

${displaystyle P_{ij}={2 over 3}(E_{i}-E_{j})^{4}|X_{ij}|^{2},.}$

Hierdoor kon de grootte van de matrixelementen statistisch worden geïnterpreteerd: ze geven de intensiteit van de spectraallijnen, de kans op kwantumsprongen door de emissie van dipoolstraling .

Aangezien de overgangssnelheden worden gegeven door de matrixelementen van ${displaystyle X}$, waar ${displaystyle X$_ij} nul is, mag de bijbehorende overgang afwezig zijn. Deze werden de selectieregels genoemd, die een puzzel waren tot de komst van matrixmechanica.

Een willekeurige toestand van het waterstofatoom, spin negeren, wordt aangeduid met | n ; ℓ, m ⟩, waarbij de waarde van ℓ een maat is voor het totale orbitale impulsmoment en m is de z - component, die de oriëntatie van de baan definieert. De componenten van het impulsmoment pseudovector zijn

${displaystyle L_{i}=epsilon _{ijk}X^{j}P^{k},}$

waarbij de producten in deze uitdrukking onafhankelijk zijn van orde en echt, omdat verschillende componenten van X en P pendelen.

De commutatierelaties van 'L' met alle drie de coördinaatmatrices X, Y, Z (of met een willekeurige vector) zijn gemakkelijk te vinden,

${displaystyle [L_{i},X_{j}]=iepsilon _{ijk}X_{k},}$ ,

wat bevestigt dat de operator 'L' rotaties genereert tussen de drie componenten van de vector van coördinaatmatrices 'X' .

Hieruit kan de commutator van L _z en de coördinaatmatrices X, Y, Z worden afgelezen,

${displaystyle [L_{z},X]=iY,}$ ,

${displaystyle [L_{z},Y]=-iX,}$ .

Dit betekent dat de hoeveelheden X iY , X − iY hebben een eenvoudige afkoopregel

${displaystyle [L_{z},X iY]=(X iY),}$ ,

${displaystyle [L_{z},X-iY]=-(X-iY),}$ .

Net als de matrixelementen van X iP en X − iP voor de harmonische oscillator Hamiltonian, impliceert deze commutatiewet dat deze operatoren alleen bepaalde niet-diagonale matrixelementen hebben in toestanden van bepaalde m ,

${displaystyle L_{z}((X iY)|mangle )=(X iY)L_{z}|mangle (X iY)|mangle =(m 1)(X iY)|mangle ,}$

wat betekent dat de matrix (X iY) een eigenvector van L _z neemt met eigenwaarde m naar een eigenvector met eigenwaarde m 1. Op dezelfde manier ( X − iY ) verlaag m met één eenheid, terwijl Z de waarde van m niet verandert.

Dus in een basis van | ℓ, m⟩ staat waar L ² en L _z hebben bepaalde waarden, de matrixelementen van een van de drie componenten van de positie zijn nul, behalve wanneer ${displaystyle m}$ hetzelfde is of verandert met één eenheid.

Dit legt een beperking op de verandering in het totale impulsmoment. Elke toestand kan zo worden gedraaid dat het impulsmoment zoveel mogelijk in de z - richting is, waarbij m = ℓ. Het matrixelement van de positie die inwerkt op | ℓ, m⟩ kan alleen waarden van m produceren die groter zijn met één eenheid, zodat als de coördinaten worden geroteerd zodat de eindtoestand | is ℓ ', ℓ' ⟩, de waarde van ℓ 'kan maximaal één groter zijn dan de grootste waarde van ℓ die in de begintoestand voorkomt. Dus ℓ ’is maximaal ℓ 1.

De matrixelementen verdwijnen voor ℓ ’> ℓ 1, en het omgekeerde matrixelement wordt bepaald door Hermiticiteit, dus deze verdwijnen ook wanneer ℓ’ <ℓ − 1: dipoolovergangen zijn verboden met een verandering in impulsmoment van meer dan één eenheid.

Somregels

De bewegingsvergelijking van Heisenberg bepaalt de matrixelementen van P in de Heisenberg-basis uit de matrixelementen van X .

${displaystyle P_{ij}=m{d over dt}X_{ij}=im(E_{i}-E_{j})X_{ij},}$,

die het diagonale deel van de commutatierelatie verandert in een somregel voor de grootte van de matrixelementen:

${displaystyle sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=isum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=i,}$ .

Dit levert een relatie op voor de som van de spectroscopische intensiteiten van en naar een bepaalde toestand, hoewel om absoluut correct te zijn, bijdragen van de stralingsopvangkans voor ongebonden verstrooiingstoestanden moeten in de som worden opgenomen:

${displaystyle sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=1,}$