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In dem Mathematik ist der modulare Gruppe Γ eine grundlegende Objekt des Studiums in der Zahlentheorie, das Geometrie, das abstrakte Algebra und viele andere Bereiche der höheren Mathematik. Die modulare Gruppe kann dargestellt werden als a Gruppe geometrischer Transformationen oder als Gruppe von Matrizen.

Definition

Das modulare Gruppe Γ ist die Gruppe von lineare Bruchtransformationen des obere Hälfte der komplexen Ebene, und das der Form

${displaystyle zmapsto {frac {az b}{cz d}}}$

wahr ein, b, c, und dganze Zahlen sind und wo Anzeige − bc = 1. Die Gruppenbearbeitung wird von der gegeben Zusammensetzung der Funktionen.

Diese Gruppe von Transformationen ist isomorph zu projektive spezielle lineare Gruppe PSL (2, z), was wiederum der Quotient aus zweidimensionalspezielle lineare Gruppe über die ganze Zahlen von seinem Center {ich, −ich). Mit anderen Worten PSL (2, z) besteht aus allem Matrizen

${displaystyle { egin{pmatrix}a&b/c&dend{pmatrix}}}$

wahr ein, b, c und d sind ganze Zahlen und wobei Anzeige − bc = 1, und wobei Matrizenpaare ein undein als identisch angesehen werden. Die Gruppenbearbeitung ist die übliche Matrix-Multiplikation.

Einige Autoren definieren die modulare Gruppe als PSL (2, z), und wieder andere beschreiben die modulare Gruppe als die größere Gruppe SL(2, z). Selbst diejenigen, die die modulare Gruppe als PSL betrachten (2, z) definieren nutze die Notation von SL(2, z), mit dem Verständnis, dass Matrizen nur bis zum Schild.

Einige mathematische Beziehungen erfordern die Berücksichtigung der Gruppe S^*L(2, z) von Matrizen mit Determinante plus oder minus eins. Beachten Sie, dass SL(2, z) ist eine Untergruppe dieser Gruppe. In ähnlicher Weise ist PS^*L(2,z) die Quotientengruppe S^*L(2,z)/{ich, −ich}. Beachten Sie, dass eine 2x2-Matrix mit Einheitsdeterminante a symplektische Matrix ist, und das ist SL(2,z) = Sp(2,z), das symplektische Gruppe von 2x2 Matrizen.

Man kann auch die Schreibweise GL (2,z) für S^*L(2,z), da eine invertierbare ganzzahlige Matrix eine Determinante /-1 haben muss.

Geschichte

Die modulare Gruppe und ihre Untergruppen wurden erstmals in den 1870er Jahren von Dedekind Und durch Felix Klein, als Teil seiner Erlanger Programm. Die eng verwandten elliptische Funktionen wurden jedoch bereits 1785 von Lagrange untersucht und weitere Ergebnisse zu elliptischen Funktionen wurden eingereicht von Carl Gustav Jakob Jacobic und Niels Henrik Abel 1827 veröffentlicht.

Siehe auch

• Modulare Funktion
• Modulare Form

Verweise

• (und) Tom M. Apostol, Modulare Funktionen und Dirichlet-Reihen in der Zahlentheorie, 2. Auflage (Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Zweite Auflage) (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 . Siehe Kapitel 2.