WikiDer > Pisot-Nummer

EIN Piot-Nummer oder Pisot-vijayaraghavan-Nummer ist positiv Realalgebraische ganze Zahl${displaystyle alpha }$, größer als 1, davon die absolute Werte von allen Elemente konjugieren (das sind alle anderen Wurzeln der minimales Polynom von ${displaystyle alpha }$) kleiner als 1 sind. Mit anderen Worten: alle konjugierten Elemente von ${displaystyle alpha }$ liegen innerhalb der Einheitskreis.

Es gibt unendlich viele Pisot-Zahlen. Die Menge aller Pisot-Zahlen wird traditionell als ${Anzeigestil S}$.

Pisot-Zahlen sind nach dem französischen Mathematiker benannt Charles Pisot (1910-1984), der diese Zahlen 1938 und später in seiner Dissertation weiter untersuchte, ebenso wie der indische Mathematiker Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902-1955). Es war Raphael Salem der 1943 den Begriff "Pisot-Nummer" einführte. Pisot war jedoch nicht der Entdecker dieser Zahlen; Axel Thue und später Godfrey Harold Hardy sie hatten bereits im Studium von . entdeckt diophantische Ansätze.

Wenn mindestens ein konjugiertes Element von ${displaystyle alpha }$ gleich 1 (und der andere kleiner als 1) ist, dann ist α a Salem-Nummer. Die Menge der Salem-Zahlen wird traditionell als bezeichnet ${Anzeigestil T}$.

Beispiele

• Jeder gerade Zahl größer als 1 ist eine Piot-Zahl. EIN Rationale Zahl was nicht ganz ist, ist nie eine Piot-Zahl.
• Jede positive Wurzel der algebraischen Gleichung

${displaystyle x^{n}-x^{n-1}-x^{n-2}-ldots -x-1=0}$,
vor dem ${Anzeigestil n=2,3,ldots}$ ist eine Piot-Nummer.

• Die beiden kleinsten Piotzahlen sind:

${displaystyle heta _{1}=1{,}32471795724474602596ldots }$,^[1]
(Das ist es Plastiknummer, die wahre Wurzel von ${Anzeigestil x^{3}-x-1=0}$), und

${displaystyle heta _{2}=1{,}38027756909761411567ldots }$,^[2]
(die positive reelle Wurzel von ${Anzeigestil x^{4}-x^{3}-1=0}$).

• Die Zahl der Goldener Schnitt${displaystyle varphi = 1{,}61803398874989484820ldots}$ ist eine Piot-Nummer, sowie ${Displaystil-Varphi ^{2}}$; ihre minimalen Polynome sind jeweils ${displaystyle x^{2}-x-1}$ und ${displaystyle x^{2}-3x1}$.

David Boyd entwickelte a Algorithmus dass alle Piotzahlen in einem gegebenen endlichen Intervall der echte Linie findet.^[3]

Eigenschaften

Ein Merkmal der nicht ganzzahligen Piotzahlen ist, dass je höher the Kräfte immer näher an eine ganze Zahl herankommen; sie sind "near-integers". Je höher die Potenz einer Piotzahl ${displaystyle alpha }$, desto näher ist es einer ganzen Zahl:

${displaystyle lim _{n o infty }|alpha ^{n}|=0}$

(${Anzeigestil |x|}$ ist die Entfernung von ${Anzeigestil x}$ auf die nächste ganze Zahl). Zum Beispiel für die Zahl des Goldenen Schnitts:

${displaystyle varphi ^{10}=122{,}99186dots , varphi ^{15}=1364{,}0007331dots }$ usw.

wenn ${displaystyle alpha }$ eine reelle algebraische Zahl ${Anzeigestil >1}$ ist dann ${displaystyle alpha }$ eine Piot-Nummer dann und nur dann, wenn es gibt eine nummer ${Anzeigestil Lambda >0}$ existiert so, dass:

${displaystyle |lambda alpha ^{n}| o 0, quad n o infty }$

Die Zahl des Goldenen Schnitts ist die kleinste Sammelpunkt in der Sammlung ${Anzeigestil S}$ von Piot-Nummern. Vijayaraghavan hat bewiesen, dass es unendlich viele Akkumulationspunkte in gibt ${Anzeigestil S}$. Salem hat bewiesen, dass die Menge der Pisot-Zahlen alle ihre Häufungspunkte enthält und daher a geschlossene Sammlung ist. Salem hat auch bewiesen, dass jede Pisot-Zahl de Grenze ist eine absteigende und aufsteigende Folge von Salem-Zahlen.

Eine Piot-Nummer ${displaystyle alpha }$ ist ein Besondere oder Besondere Piot-Nummer, wenn ${displaystyle alpha /(alpha -1)}$ ist auch eine Piot-Nummer. Lagarias, Porta und Stolarsky (1993-1994) fanden elf solcher Zahlen. C. J. Smyth bewies später, dass es keine anderen speziellen Pisot-Nummern gibt.^[4] Die beiden kleinsten Pisot-Zahlen, die goldene Zahl und die Zahl 2, sind spezielle Pisot-Zahlen.

Anwendungen

Pisot- und Salem-Zahlen treten in einer Vielzahl von Studienbereichen auf, darunter:^[5]

• Zahlentheorie (diophantischer Ansatz);
• Harmonische Analyse (beispielsweise Bernoulli-Windungen);
• Mathematische Physik (Quasikristalle, aperiodische Strukturen);
• fraktal Geometrie, wie beim Bau von selbstähnlichGrafiken ("pisotgraphs") und Fliesen von dem komplexe Ebene^[6] und das Studium von Hausdorff-Abmessungen.

Externer Link

• Wolfram MathWorld: Pisot-Nummer