WikiDer > Projektive Ebene

In dem Mathematik ist ein projektive Ebene ein Geometer Struktur wer versteht das eben erweitert. Zwei Linien schneiden sich nach den Regeln der euklidische Geometrie in einem besonderen Punkt, ihr Überschneidung, aber es gibt auch Linienpaare, nämlich parallel Zeilen, die nicht übereinstimmen schneiden. Eine projektive Ebene kann als gewöhnliche Ebene betrachtet werden, zu der zusätzlich 'Punkte im Unendlichen' wurden hinzugefügt, wo sich parallele Linien schneiden. Jedes Linienpaar in einer projektiven Ebene schneidet sich in genau einem Punkt.

Die Grundlage für dieses mathematische Fach wurde in der Renaissance durch Künstler die sich mit der Entwicklung von Techniken beschäftigten, Perspektive zeichnen zu können.

Das typische Beispiel ist der echte projektive ebene, die auch als erweiterte euklidische Ebene bekannt ist, aber es gibt noch mehr, beides unendlich, mag ich komplexe projektive Ebene so endlich, wie es Fan-Flugzeug. Die reale projektive Ebene, immer in etwas anderer Gestalt, ist wichtig in der algebraische Geometrie, das Topologie und der projektive Geometrie und wird in diesen Bereichen der Mathematik mit wiskunde . bezeichnet ${displaystyle mathrm {PG} (2,mathbb {R} ),mathrm {RP} ^{2}}$ oder ${displaystyle mathrm {P} _{2}(mathbb {R} ).}$ Eine projektive Ebene ist eine zweidimensionale projektiver Raum, aber nicht alle projektiven Ebenen können eingebettet in dreidimensionalen projektiven Räumen. Die Einbettungseigenschaft ist eine Folge eines Ergebnisses, das als bekannt ist Satz von Desargues.

Definition

Eine projektive Ebene besteht aus a Sammlung Linien, eine Menge von Punkten und a Beziehung zwischen diesen Punkten und Linien. Die Relation legt fest, dass zwei Punkte davon auf einer Geraden liegen.^[1]

1. Bei einem beliebigen Paar von zwei verschiedenen Punkten existiert genau eine Linie, die durch diese beiden Punkte geht.
2. Bei einem beliebigen Paar von zwei verschiedenen Geraden haben sie genau einen Schnittpunkt.
3. Es gibt vier Punkte, so dass keine Linie durch mehr als zwei dieser Punkte verläuft.

Die zweite Bedingung bedeutet, dass es keine parallelen Linien gibt. Die letzte Bedingung schließt die sogenannten „entarteten“ Fälle aus. Die Beziehung zwischen Punkten und Linien ist symmetrischer Natur.

Unterschiedlich pro Bereich

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die projektive Ebene zu definieren, die sich je nach Bereich der Mathematik unterscheiden. In dem Lineare Algebra zum Beispiel definiert man eine projektive Ebene so, dass sie leicht het Flugzeuge produziert, die auch homogene Räume für einige von klassische Gruppen sind, dies einschließlich der echte projektive ebene${displaystyle mathbb {P} ^{2}}$.

Menschen verwenden in der endliche Geometrie eine projektive Ebene, mit der untersucht werden kann, welche Eigenschaften innerhalb der euklidischen Geometrie die erwähnten Beziehungen haben.