WikiDer > Zählgröße

In dem Maßtheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist der Zählmaß ein intuitiver Weg messen a auferlegen Sammlung: die "Größe" von a endlichTeilmenge ist die Zahl Elemente dieser Teilmenge. Von a unendlich Untermenge ist das Zählmaß ebenfalls unendlich.

Definition

spät ${Anzeigestil (Omega, Sigma)}$ ein messbarer Raum mit jemanden sein ${Anzeigestil Sigma }$ das Sigma-Algebra von alle Teilmengen von ${Anzeigestil Omega}$. Die Funktion ${Anzeigestil mu}$ auf diesem messbaren Raum, definiert durch:

${displaystyle mu (A)={ egin{cases}|A|&{mbox{für endliche Teilmengen}}Asubset Omega //infty &{mbox{für unendliche Teilmengen}}Asubset Omega /end{cases}}}$

heißt der Zählmaß, und ist ein messen auf ${Anzeigestil (Omega, Sigma)}$.

In Ergänzung, ${Anzeigestil |A|}$ das Kardinalität von ${Anzeigestil A}$, also für endliche Teilmengen die Anzahl der Elemente.

Das Zählmaß erlaubt viele Aussagen über ${displaystyle L^{p}}$-Räume, wie Cauchy-Schwarz-Ungleichung, das Hölder . Ungleichung oder der Minkowski-Ungleichung, in eine vertrautere Umgebung. wenn ${displaystyle Omega ={1,ldots,n}}$ und ${displaystyle S=(Omega, Sigma, mu)}$ der Maßraum ist mit Zählmaß ${Anzeigestil mu}$ auf ${Anzeigestil Omega}$, dann ist ${Anzeigestil L^{p}(S)}$ gleicht ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ (oder ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$), jetzt sofort Norm definiert von

${displaystyle |x|_{p}={ igg (}sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{ iggr )}^{1/p}}$

vor dem ${displaystyle x=(x_{1},ldots,x_{n})}$. Teilen des Zählmaßes ${Anzeigestil mu}$ nach der Zahl ${displaystyle n}$ von Elementen in ${Anzeigestil Omega}$ gibt dem diskrete Gleichverteilung.

wenn ${Anzeigestil Omega}$ die Sammlung von natürliche Zahlen ist und ${Anzeigestil S}$ der Taktraum mit Zähltakt auf ${Anzeigestil Omega}$, dann existiert ${Anzeigestil L^{p}(S)}$ von dem Reihen${Anzeigestil x=(x_{n})}$ für die

${displaystyle |x|_{p}={igg (}sum _{i=1}^{infty}|x_{i}|^{p}{iggr)}^{1/p}$

Dieser sogenannte Lp-Raum wird oft geschrieben als ${displaystyle ell^{p}}$.

Das Zählmaß an zählbar collections ist auch nützlich, um Theoreme zu machen Lebesgue-Integration Theorie auf Zeilen anwenden. Beispiele sind die Satz der monotonen Konvergenz, es Lemma von Fatou, das dominiertes Konvergenztheorem und der Satz von Fubini.