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In dem kommutative Algebra, ein Zweig der höheren Mathematik, ist ein Bewertungsring eine besondere art Kommutativer Ring mit Einheitselement.

Definition

Ein Bewertungsring ist a Integritätsdomäne von denen es Quotientenfeld besteht aus Elementen der Ring und ihre invers.

Beispiele und Gegenbeispiele

• Jeder Körper ist ein eigenes Quotientenfeld, also ein Bewertungsring.
• der Ring von ganze Zahlen ist kein Bewertungsring. Das Quotientenfeld wird gebildet durch Rationale Zahlen, aber weder der Bruch 2/3 noch sein Kehrwert 3/2 ist eine ganze Zahl.
• Der Ring ${displaystyle mathbb {Z}_{(2)}}$, von Brüchen, deren Nenner ein ungerade Zahl ist ein Bewertungsring. Jeder Bruch kann zu einem Bruch mit einem ungeraden Zähler oder einem ungeraden Nenner vereinfacht werden.
• Allgemeiner gesagt, sie p eine zufällige Primzahl. Der Ring ${displaystyle mathbb {Z} _{(p)}}$ besteht aus den Brüchen, deren einfachster Nenner nicht durchgeht p ist teilbar. Jeder Bruch ist entweder eine solche Zahl oder der Kehrwert einer solchen Zahl. ${displaystyle mathbb {Z} _{(p)}}$ ist der Lokalisierung vom Ring der ganzen Zahlen zum Primideal (p).

Eigenschaften

• In einem Bewertungsring gilt für jedes Paar Ideale dass das eine im anderen enthalten ist. Die Relation "ist ein Teil von" bildet also a Gesamtbestellung über die Sammlung von Idealen.
• Daraus folgt, dass es nur ein maximales Ideal geben kann: Ein Bewertungsring ist ein is lokaler Ring. Das eindeutige maximale Ideal besteht aus (Null und) den Elementen, deren Inverse (im Quotientenkörper) nicht gehört zum Ring. Zum Beispiel: in ${displaystyle mathbb {Z} _{(p)}}$ das maximale Ideal besteht aus den Brüchen, deren Zähler durch . teilbar ist s.
• Für jeden Integritätsbereich R mit einem Primideal p Gibt es einen Bewertungsring? V mit dem gleichen Quotientenfeld wie R, so dass p das Überschneidung ist von R mit dem maximalen Ideal von V. Das ist wie ${displaystyle mathbb {Z} _{(p)}}$ aus dem Ring der ganzen Zahlen und dem Primideal (p).
• Jeder Bewertungsring ist ganz geschlossen.
• In einem Bewertungsring ist jedes endlich erzeugte Ideal a Hauptideal.

Wertegruppe

Sie R ein Bewertungsring mit Quotientenfeld k. Für jedes Element X von k wir stellen fest

${displaystyle xR={x.r|rin R}}$

Die Sammlung

${displaystyle H=links{xR|xin Ksetminus {0}ight}}$

ist vollständig nach der Relation "ist ein Teil von" geordnet. Sie bildet a abelsche Gruppe für die Multiplikation, und die Gruppenoperation ist mit der Ordnung kompatibel.

wenn huhisomorph mit der Gruppe der ganzen Zahlen ist, dann heißt R ein diskreter Bewertungsring. Für einen zufälligen Bewertungsring R die folgenden drei Aussagen sind äquivalent:

1. R ist ein diskreter Bewertungsring.
2. R ist ein Noetherischer Ringd.h. jedes Ideal von R ist endlich produziert.
3. R ist ein Hauptidealbereichd.h. jedes Ideal von R ist ein Hauptideal.

Beispiel

${displaystyle mathbb {Z} _{(p)}}$ ist ein diskreter Bewertungsring. Der Isomorphismus zwischen huh und ${displaystyle mathbb {Z} }$ zeigt die Kollektion xR aus auf dem Exponent wodurch p in der Pause X auftritt (negativ als einfachster Nenner von X ist teilbar durch p).