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Dedekind Schnitt dafür irrational Nummer ${displaystyle {sqrt {2}}}$ konstruieren

EIN dedekind schnitt, ebenfalls Schnitt von Dedekind oder kurz Schnitt genannt, ist etwas Besonderes Teilmenge des Rationale Zahlen Das hier reelle Zahl schlägt vor. Dedekind-Schnitte werden verwendet, um aus rationalen Zahlen zu extrahieren ${displaystyle mathbb {Q} }$ das reale Nummern${displaystyle mathbb {R} }$ konstruieren. Dedekind-Schnitte sind benannt nach Richard Dedekind.

Definition

EIN dedekind schnitt${displaystyle alpha }$ ist eine Teilmenge von ${displaystyle mathbb {Q} }$ das folgende Anforderungen erfüllt:

• ${displaystyle alpha eq varnothing }$
• ${displaystyle alpha eq mathbb {Q} }$
• wenn ${displaystyle pin alpha , qin mathbb {Q} }$ und ${displaystyle q$ dann ist ${Anzeigestil qin alpha }$ . Mit anderen Worten: ${displaystyle alpha }$ hat keine untere Grenze.
• Biene ${Displaystil-Pin Alpha }$ Ist da ein ${displaystyle rin alpha }$ so dass ${displaystyle r>p}$

Das Sammlung aller Schnitte entpuppt sich als äquivalent zu ${displaystyle mathbb {R} }$

Alternativ kann ein Dedekind-Schnitt auch als geordnetes Paar definiert werden ${Anzeigestil (Alpha, Eta)}$ von Teilmengen ${displaystyle alpha }$ und ${displaystyle eta }$ der rationalen Zahlen, die die Axiome erfüllen:

• ${displaystyle alpha eq varnothing }$ und ${displaystyle eta eq varnothing }$
• ${displaystyle alpha cup eta=Q}$
• für alle ${Anzeigestil ist Alpha}$ und ${Anzeigestil bin eta }$ gilt: ${Anzeigestil a$
• ${displaystyle alpha }$ hat keine größtes Element, d.h. für alle ${Anzeigestil ist Alpha}$ Ist da ein ${Anzeigestil cin alpha }$ mit ${Anzeigestil a$

Beispiel

Der Schnitt, der die wahre Zahl ist ${displaystyle {sqrt {2}}}$ schlägt vor:

${displaystyle {qin mathbb {Q} mid q<0 { ext{or}} q^{2}<2}}$

Dieser Schnitt ist definiert als die Menge aller rationalen Zahlen, die kleiner als Null sind oder deren Quadrat nicht größer als 2 ist. Diese Menge rationaler Zahlen ist ein Dedekind-Schnitt, weil sie die obige Definition erfüllt. Das Besondere an diesem Schnitt ist, dass er in Dedekinds Konstruktion der reellen Zahl entspricht ${displaystyle {sqrt {2}}}$.

Dedekind-Schnitte werden in diesem Lemma weiter mit griechischen Buchstaben und rationalen Zahlen mit gewöhnlichen Buchstaben angegeben.

Eigenschaften der reellen Zahlen

Wie die rationalen Zahlen bilden die reellen Zahlen a bestelltKörper (In Belgien spricht man von a Feld).

Kleinste obere Schrankeigenschaft

Was ${displaystyle mathbb {R} }$ macht es einzigartig im Vergleich zu ${displaystyle mathbb {Q} }$ ist das nach oben? begrenzt Teilmenge von ${displaystyle mathbb {R} }$ ein kleinstes Obergrenze hast. Die rationalen Zahlen haben diese Eigenschaft nicht. Nehmen Sie zum Beispiel die Kollektion

${displaystyle {qin mathbb {Q} Mitte q^{2}<2}}$.

Diese Menge hat keine kleinste obere Schranke in ${displaystyle mathbb {Q} }$, da zwischen jeder rationalen Zahl und der Zahl ${displaystyle {sqrt {2}}}$ finde eine andere rationale Zahl.

Das entsprechende Set in ${displaystyle mathbb {R} }$:

${displaystyle {rin mathbb {R} Mitte r^{2}<2}}$

hat eine kleinste obere Schranke in ${displaystyle mathbb {R} }$ und ... nun ja ${displaystyle {sqrt {2}}}$.

Aus der Tatsache, dass ${displaystyle mathbb {R} }$ hat die kleinste obere Schrankeigenschaft und ${displaystyle mathbb {Q} }$ nein, folgt auch das ${displaystyle mathbb {R} }$völlig ist und ${displaystyle mathbb {Q} }$ nicht.

Dedekind-Schnitte und die Eigenschaften der reellen Zahlen

Es stellt sich heraus, dass Schnitte die Eigenschaften der reellen Zahlen erfüllen. Dazu wird Folgendes definiert:

Auftragsbeziehung für Schnitte

${displaystyle alpha < eta }$ wenn ${displaystyle alpha }$ eine echte Teilmenge von ${displaystyle eta }$.

Dann ist klar, oder ${displaystyle alpha < eta }$ oder ${displaystyle alpha = eta }$ oder ${displaystyle eta$. Aus dieser Definition folgt auch die kleinste obere Schrankeigenschaft von Abschnitten.

Hinzufügen von Schnitten

Für Abschnitte definiert man die Addition, neutrales Element zur Ergänzung und inverses Element. Diese Definitionen scheinen mit den AxiomVor Zusatz.

Zusatz

wenn ${displaystyle alpha }$ und ${displaystyle eta }$ schneidet, ist mit der Summe gemeint ${displaystyle alpha eta }$ die Menge aller Summen ${Anzeigestil a b}$ in welchem ${Anzeigestil ist Alpha}$ und ${Anzeigestil bin eta .}$ Die Summe entpuppt sich wieder als Kürzung.

Neutrales Element zur Ergänzung

Das neutrale Element 0 für die Addition ist die Menge aller negativen rationalen Zahlen, die ebenfalls ein Schnitt ist. Es ist klar, dass der Schnitt 0 die gleiche Rolle spielt wie die Zahl 0 für ${displaystyle mathbb {Q} .}$

Inverse für Addition

Am Schnitt ${displaystyle alpha }$ man definiert ${displaystyle -alpha }$ als die Menge aller ${displaystyle pin mathbb {Q} }$ mit der Eigenschaft, dass es a . gibt ${displaystyle rin mathbb {Q} ,r>0}$ ist was das hält ${displaystyle -p-rotin alpha }$. Das invers ist ein Schnitt.

Multiplikation für Schnitte

Die Multiplikation ist etwas schwieriger zu definieren, daher wird zuerst das Produkt der positiven Schnitte definiert, also für Schnitte ${Anzeigestil Alpha >0.}$ Die Definition wird später abgeschlossen. Die Definitionen scheinen die Axiome für die Multiplikation zu erfüllen und die verteilend Recht.

Multiplikation

wenn ${displaystyle alpha }$ und ${displaystyle eta }$ sind positive Schnitte, wird unter dem Produkt verstanden ${displaystyle alpha eta }$ die Sammlung von allen ${displaystyle qin mathbb {Q} }$ auf was trifft das zu ${displaystyle q$ bei welchem ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ so gewählt werden, dass ${displaystyle ain alpha ,a>0}$ und ${displaystyle bin eta ,b>0.}$ Das Produkt ist ein Schnitt.

Neutrales Element für die Multiplikation

Das neutrale Element 1 für die Multiplikation ist die Menge aller negativen rationalen Zahlen kleiner als 1. Die so definierte 1 ist ein Schnitt. Es ist klar, dass der Schnitt 1 die gleiche Rolle spielt wie die Zahl 1 für ${displaystyle mathbb {Q} .}$

Komplette Multiplikation

Vervollständigt wird die Multiplikation durch die Definitionen

• ${displaystyle alpha cdot 0=0cdot alpha =0}$
• ${displaystyle alpha cdot eta = (-alpha )cdot (-eta )}$ wenn ${Anzeigestil Alpha <0}$ und ${displaystyle eta <0}$
• ${displaystyle alpha cdot eta =-(-alpha )cdot eta }$ wenn ${Anzeigestil Alpha <0}$ und ${displaystyle eta >0}$
• ${displaystyle alpha cdot eta =-(alpha cdot(-eta ))}$ wenn ${Anzeigestil Alpha >0}$ und ${displaystyle eta <0}$

Einbettung der rationalen Zahlen

Die rationalen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen. Es muss also eine Teilmenge von Schnitten existieren, die ${displaystyle mathbb {Q} }$ repräsentiert. Daher assoziiert man mit jedem ${displaystyle qin mathbb {Q} }$ die Sammlung ${displaystyle q^{*}}$ bestehend aus allen ${displaystyle pin mathbb {Q} }$ so dass ${Anzeigestil p$ Es ist klar, dass ${displaystyle q^{*}}$ ist ein Schnitt.

Begründung für Dedekind-Kürzungen

Innerhalb der Algebra Es gibt den Satz, dass zwei geordnete Körper mit der kleinsten-Obergrenze-Eigentum isomorph zusammen sein. Es ist klar, dass der Dedekind schneidet und ${displaystyle mathbb {R} }$ beide sind geordnete Körper mit der kleinsten oberen Schrankeigenschaft. Da sie isomorph sind, haben sie also die gleichen algebraischen Eigenschaften. Daher sind Dedekind-Schnitte als Konstruktion der reellen Zahlen gerechtfertigt.

Cauchy-Reihen

Eine andere Methode, um rauszukommen ${displaystyle mathbb {Q} }$ die reellen Zahlen ${displaystyle mathbb {R} }$ konstruiert werden mit kauzige Reihen. Auch diese Methode liefert einen geordneten Körper mit der kleinsten oberen Schrankeneigenschaft und ist damit äquivalent zur Methode der Dedekind-Schnitte.

Literatur

Die folgenden Bücher befassen sich mit der Konstruktion der reellen Zahlen aus rationalen Zahlen inklusive Beweisen:

• (und) Rudin, W. - Prinzipien der mathematischen Analysis
• (und) Landau, E.G.H. - Grundlagen der Analyse
• (und) Thurston, H. A. - Das Zahlensystem
• (und) Knopp, K. - Theorie und Anwendung unendlicher Reihen
• (und) Hewitt, E & Stromberg, K - Reale und abstrakte Analyse