Фреше Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры α ∈ ( 0 , ∞ ) { Displaystyle альфа в (0, infty)} форма . (По желанию, еще два параметра) s ∈ ( 0 , ∞ ) { displaystyle s in (0, infty)} шкала (дефолт: s = 1 { Displaystyle s = 1 ,} ) м ∈ ( − ∞ , ∞ ) { Displaystyle м в (- infty, infty)} место расположения минимального (по умолчанию: м = 0 { Displaystyle м = 0 ,} )Поддерживать Икс > м { displaystyle x> m} PDF α s ( Икс − м s ) − 1 − α е − ( Икс − м s ) − α { displaystyle { frac { alpha} {s}} ; left ({ frac {xm} {s}} right) ^ {- 1- alpha} ; e ^ {- ({ frac {xm} {s}}) ^ {- alpha}}} CDF е − ( Икс − м s ) − α { Displaystyle е ^ {- ({ гидроразрыва {х-м} {s}}) ^ {- альфа}}} Иметь в виду { м + s Γ ( 1 − 1 α ) за α > 1 ∞ иначе { displaystyle { begin {case} m + s Gamma left (1 - { frac {1} { alpha}} right) & { text {for}} alpha> 1 infty & { text {иначе}} end {case}}} Медиана м + s бревно е ( 2 ) α { displaystyle m + { frac {s} { sqrt [{ alpha}] { log _ {e} (2)}}}} Режим м + s ( α 1 + α ) 1 / α { displaystyle m + s left ({ frac { alpha} {1+ alpha}} right) ^ {1 / alpha}} Дисперсия { s 2 ( Γ ( 1 − 2 α ) − ( Γ ( 1 − 1 α ) ) 2 ) за α > 2 ∞ иначе { Displaystyle { begin {case} s ^ {2} left ( Gamma left (1 - { frac {2} { alpha}} right) - left ( Gamma left (1- { frac {1} { alpha}} right) right) ^ {2} right) & { text {for}} alpha> 2 infty & { text {else}} конец {case}}} Асимметрия { Γ ( 1 − 3 α ) − 3 Γ ( 1 − 2 α ) Γ ( 1 − 1 α ) + 2 Γ 3 ( 1 − 1 α ) ( Γ ( 1 − 2 α ) − Γ 2 ( 1 − 1 α ) ) 3 за α > 3 ∞ иначе { displaystyle { begin {cases} { frac { Gamma left (1 - { frac {3} { alpha}} right) -3 Gamma left (1 - { frac {2}) { alpha}} right) Gamma left (1 - { frac {1} { alpha}} right) +2 Gamma ^ {3} left (1 - { frac {1} { alpha}} right)} { sqrt { left ( Gamma left (1 - { frac {2} { alpha}} right) - Gamma ^ {2} left (1 - { frac {1} { alpha}} right) right) ^ {3}}}} & { text {for}} alpha> 3 infty & { text {else}} end {case }}} Бывший. эксцесс { − 6 + Γ ( 1 − 4 α ) − 4 Γ ( 1 − 3 α ) Γ ( 1 − 1 α ) + 3 Γ 2 ( 1 − 2 α ) [ Γ ( 1 − 2 α ) − Γ 2 ( 1 − 1 α ) ] 2 за α > 4 ∞ иначе { displaystyle { begin {cases} -6 + { frac { Gamma left (1 - { frac {4} { alpha}} right) -4 Gamma left (1 - { frac {3} { alpha}} right) Gamma left (1 - { frac {1} { alpha}} right) +3 Gamma ^ {2} left (1 - { frac {2 } { alpha}} right)} { left [ Gamma left (1 - { frac {2} { alpha}} right) - Gamma ^ {2} left (1 - { frac {1} { alpha}} right) right] ^ {2}}} & { text {for}} alpha> 4 infty & { text {else}} end {case} }} Энтропия 1 + γ α + γ + пер ( s α ) { displaystyle 1 + { frac { gamma} { alpha}} + gamma + ln left ({ frac {s} { alpha}} right)} , куда γ { displaystyle gamma} это Константа Эйлера – Маскерони .MGF [1] Примечание: момент k { displaystyle k} существует если α > k { displaystyle alpha> k} CF [1]
В Распределение фреше , также известное как обратное распределение Вейбулла,[2] [3] это частный случай обобщенное распределение экстремальных значений . Имеет кумулятивную функцию распределения
Pr ( Икс ≤ Икс ) = е − Икс − α если Икс > 0. { displaystyle Pr (X Leq x) = e ^ {- x ^ {- alpha}} { text {if}} x> 0.} куда α > 0 - это параметр формы . Его можно обобщить, чтобы включить параметр местоположения м (минимум) и параметр масштаба s > 0 с кумулятивной функцией распределения
Pr ( Икс ≤ Икс ) = е − ( Икс − м s ) − α если Икс > м . { displaystyle Pr (X leq x) = e ^ {- left ({ frac {xm} {s}} right) ^ {- alpha}} { text {if}} x> m. } Названный для Морис Фреше который написал соответствующую статью в 1927 году,[4] дальнейшая работа была проделана Фишер и Типпетт в 1928 г. и к Гамбель в 1958 г.[5] [6]
Характеристики
Единственный параметр Фреше с параметром α { displaystyle alpha} имеет стандартизированный момент
μ k = ∫ 0 ∞ Икс k ж ( Икс ) d Икс = ∫ 0 ∞ т − k α е − т d т , { displaystyle mu _ {k} = int _ {0} ^ { infty} x ^ {k} f (x) dx = int _ {0} ^ { infty} t ^ {- { frac {k} { alpha}}} e ^ {- t} , dt,} (с т = Икс − α { Displaystyle т = х ^ {- альфа}} ) определен только для k < α { Displaystyle к < альфа} :
μ k = Γ ( 1 − k α ) { displaystyle mu _ {k} = Gamma left (1 - { frac {k} { alpha}} right)} куда Γ ( z ) { Displaystyle Гамма влево (г вправо)} это Гамма-функция .
Особенно:
За α > 1 { displaystyle alpha> 1} то ожидание является E [ Икс ] = Γ ( 1 − 1 α ) { displaystyle E [X] = Gamma (1 - { tfrac {1} { alpha}})} За α > 2 { displaystyle alpha> 2} то отклонение является Вар ( Икс ) = Γ ( 1 − 2 α ) − ( Γ ( 1 − 1 α ) ) 2 . { displaystyle { text {Var}} (X) = Gamma (1 - { tfrac {2} { alpha}}) - { big (} Gamma (1 - { tfrac {1} { альфа}}) { big)} ^ {2}.} В квантиль q у { displaystyle q_ {y}} порядка у { displaystyle y} можно выразить через обратное распределение,
q у = F − 1 ( у ) = ( − бревно е у ) − 1 α { displaystyle q_ {y} = F ^ {- 1} (y) = left (- log _ {e} y right) ^ {- { frac {1} { alpha}}}} .В частности медиана является:
q 1 / 2 = ( бревно е 2 ) − 1 α . { displaystyle q_ {1/2} = ( log _ {e} 2) ^ {- { frac {1} { alpha}}}.} В Режим распределения ( α α + 1 ) 1 α . { displaystyle left ({ frac { alpha} { alpha +1}} right) ^ { frac {1} { alpha}}.}
Специально для трехпараметрического Фреше первый квартиль q 1 = м + s бревно ( 4 ) α { displaystyle q_ {1} = m + { frac {s} { sqrt [{ alpha}] { log (4)}}}} и третий квартиль q 3 = м + s бревно ( 4 3 ) α . { displaystyle q_ {3} = m + { frac {s} { sqrt [{ alpha}] { log ({ frac {4} {3}})}}}.}.
Также квантили для среднего и режима:
F ( м е а п ) = exp ( − Γ − α ( 1 − 1 α ) ) { Displaystyle F (среднее) = ехр влево (- Гамма ^ {- альфа} влево (1 - { гидроразрыва {1} { альфа}} вправо) вправо)} F ( м о d е ) = exp ( − α + 1 α ) . { displaystyle F (режим) = exp left (- { frac { alpha +1} { alpha}} right).} Приложения
Кумулятивное распределение Фреше, адаптированное к экстремальным однодневным осадкам
Однако в большинстве гидрологических приложений распределительная арматура осуществляется через обобщенное распределение экстремальных значений поскольку это позволяет избежать предположения, что у распределения нет нижней границы (как того требует распределение Фреше).[нужна цитата ]
Один из тестов для оценки того, является ли многомерное распределение асимптотически зависимым или независимым, состоит из преобразования данных в стандартные поля Фреше с использованием преобразования Z я = − 1 / бревно F я ( Икс я ) { displaystyle Z_ {i} = - 1 / log F_ {i} (X_ {i})} а затем отображение из декартовых координат в псевдополярные ( р , W ) = ( Z 1 + Z 2 , Z 1 / ( Z 1 + Z 2 ) ) { Displaystyle (R, W) = (Z_ {1} + Z_ {2}, Z_ {1} / (Z_ {1} + Z_ {2}))} . Ценности р ≫ 1 { Displaystyle R gg 1} соответствуют экстремальным данным, для которых хотя бы один компонент большой, а W { displaystyle W} приблизительно 1 или 0 соответствует только одному экстремальному компоненту. Связанные дистрибутивы
Если Икс ∼ U ( 0 , 1 ) { Displaystyle X сим U (0,1) ,} (Равномерное распределение (непрерывное) ) тогда м + s ( − бревно ( Икс ) ) − 1 / α ∼ Frechet ( α , s , м ) { Displaystyle м + s (- log (X)) ^ {- 1 / alpha} sim { textrm {Frechet}} ( alpha, s, m) ,} Если Икс ∼ Frechet ( α , s , м ) { Displaystyle X sim { textrm {Frechet}} ( alpha, s, m) ,} тогда k Икс + б ∼ Frechet ( α , k s , k м + б ) { displaystyle kX + b sim { textrm {Frechet}} ( alpha, ks, km + b) ,} Если Икс я ∼ Frechet ( α , s , м ) { Displaystyle X_ {я} sim { textrm {Frechet}} ( alpha, s, m) ,} и Y = Максимум { Икс 1 , … , Икс п } { Displaystyle Y = макс {, X_ {1}, ldots, X_ {n} , } ,} тогда Y ∼ Frechet ( α , п 1 α s , м ) { Displaystyle Y sim { textrm {Frechet}} ( alpha, n ^ { tfrac {1} { alpha}} s, m) ,} В кумулятивная функция распределения распределения Фреше решает максимум постулат стабильности уравнение Если Икс ∼ Frechet ( α , s , м = 0 ) { Displaystyle X sim { textrm {Frechet}} ( alpha, s, m = 0) ,} тогда его обратная величина Распределенный по Вейбуллу : Икс − 1 ∼ Weibull ( k = α , λ = s − 1 ) { Displaystyle X ^ {- 1} sim { textrm {Weibull}} (k = alpha, lambda = s ^ {- 1}) ,} Характеристики
Смотрите также
Рекомендации
^ а б Муралидхаран. Г., К. Гедес Соарес и Клаудиа Лукас (2011). «Характеристические и порождающие моменты функции обобщенного распределения экстремальных значений (GEV)». В Линде. Л. Райт (ред.), Повышение уровня моря, прибрежная инженерия, береговые линии и приливы , Глава 14, стр. 269–276. Издательство Nova Science. ISBN 978-1-61728-655-1 ^ Хан М.С .; Паша Г.Р .; Паша А.Х. (февраль 2008 г.). «Теоретический анализ обратного распределения Вейбулла» (PDF) . СДЕЛКИ WSEAS по МАТЕМАТИКЕ . 7 (2). С. 30–38. ^ де Гужман, ФелипеР.С. и Ортега, Эдвин М.М. и Cordeiro, GaussM. (2011). «Обобщенное обратное распределение Вейбулла». Статистические статьи . 52 (3). Springer-Verlag. С. 591–619. Дои :10.1007 / s00362-009-0271-3 . ISSN 0932-5026 . CS1 maint: использует параметр авторов (связь ) ^ Фреше, М. (1927). "Sur la loi de probabilité de l'écart maximum". Анна. Soc. Полон. Математика . 6 : 93. ^ Фишер, Р. А .; Типпетт, Л. Х. С. (1928). «Предельные формы частотного распределения наибольшего и наименьшего члена выборки». Proc. Кембриджское философское общество . 24 (2): 180–190. Дои :10.1017 / S0305004100015681 . ^ Гамбель, Э. Дж. (1958). Статистика крайностей . Нью-Йорк: издательство Колумбийского университета. OCLC 180577 . ^ Коулз, Стюарт (2001). Введение в статистическое моделирование экстремальных значений . Springer-Verlag. ISBN 978-1-85233-459-8 . дальнейшее чтение
Kotz, S .; Надараджа, С. (2000) Распределения экстремальных значений: теория и приложения , World Scientific. ISBN 1-86094-224-5 внешняя ссылка
Дискретный одномерный с конечной опорой Дискретный одномерный с бесконечной поддержкой Непрерывный одномерный поддерживается на ограниченном интервале Непрерывный одномерный поддерживается на полубесконечном интервале Непрерывный одномерный поддерживается на всей реальной линии Непрерывный одномерный с поддержкой, тип которой варьируется Смешанная непрерывно-дискретная одномерная Многовариантный (совместный) Направленный Вырожденный и единственное число Семьи