WikiDer > Скошенное нормальное распределение

Skew normal distribution
Перекос нормальный
Функция плотности вероятности
Графики плотности вероятности косых нормальных распределений
Кумулятивная функция распределения
Графики кумулятивной функции распределения косых нормальных распределений
Параметры расположение (настоящий)
масштаб (положительный, настоящий)
форма (настоящий)
Поддержка
PDF
CDF
является T функция Оуэна
Значить где
Режим
Дисперсия
Асимметрия
Ex. эксцесс
MGF
CF

В теория вероятности и статистика, то асимметричное нормальное распределение это непрерывное распределение вероятностей это обобщает нормальное распределение разрешить ненулевое перекос.

Определение

Позволять обозначить стандартный нормальный функция плотности вероятности

с кумулятивная функция распределения данный

,

где "erf" - функция ошибки. Тогда функция плотности вероятности (pdf) косонормального распределения с параметром дан кем-то

Это распределение было впервые введено О'Хаганом и Леонардом (1976).[1] Аппроксимации этого распределения, которыми легче манипулировать математически, были даны Ашуром и Абдель-Хамидом.[2] и Мудхолкаром и Хатсоном.[3]

Стохастический процесс, лежащий в основе распределения, был описан Анделем, Нетука и Звара (1984).[4] И распределение, и его стохастические процессы, лежащие в основе, были следствием аргумента симметрии, развитого в Chan and Tong (1986),[5] который применяется к многомерным случаям за пределами нормального, например косое многомерное t-распределение и другие. Распределение является частным случаем общего класса распределений с функциями плотности вероятности вида f (x) = 2 φ (x) Φ (x) где φ () есть ли PDF симметричный относительно нуля и Φ () есть ли CDF чья PDF симметрична относительно нуля.[6]

Добавить расположение и масштаб параметры к этому, делается обычное преобразование . Можно убедиться, что нормальное распределение восстанавливается, когда , и что абсолютное значение перекос увеличивается с увеличением абсолютного значения увеличивается. Распределение смещено вправо, если и остается скошенным, если . Функция плотности вероятности с местоположением , масштаб , а параметр становится

Однако обратите внимание, что асимметрия () распределения ограничивается интервалом .

Как было показано,[7] режим (максимум) раздачи уникален. Для общего нет аналитического выражения для , но довольно точное (численное) приближение:

где и

Предварительный расчет

Максимальная вероятность оценки для , , и можно вычислить численно, но нет выражения в закрытой форме для оценок, если только . Если требуется выражение в закрытой форме, метод моментов может применяться для оценки от перекоса образца путем обращения уравнения перекоса. Это дает оценку

где , и - перекос образца. Знак это то же самое, что и знак . Вследствие этого, .

Максимальный (теоретический) перекос получается при установке в уравнении асимметрии, давая . Однако возможно, что асимметрия образца больше, и тогда не могут быть определены из этих уравнений. При использовании метода моментов в автоматическом режиме, например, чтобы дать начальные значения для итерации максимального правдоподобия, следует, таким образом, позволить (например) .

Была выражена озабоченность по поводу влияния методов искаженной нормальности на надежность основанных на них выводов.[8]

Связанные дистрибутивы

В экспоненциально модифицированное нормальное распределение - еще одно трехпараметрическое распределение, которое является обобщением нормального распределения на искаженные случаи. Нормаль перекоса по-прежнему имеет хвост, похожий на нормальный, в направлении перекоса, с более коротким хвостом в другом направлении; то есть его плотность асимптотически пропорциональна для некоторых положительных . Таким образом, с точки зрения семь состояний случайности, это показывает "правильную умеренную случайность". Напротив, экспоненциально измененная нормаль имеет экспоненциальный хвост в направлении перекоса; его плотность асимптотически пропорциональна . В тех же терминах он показывает «пограничную умеренную случайность».

Таким образом, косая нормаль полезна для моделирования перекошенных распределений, которые, тем не менее, имеют не больше выбросов, чем нормальное, в то время как экспоненциально измененная нормаль полезна для случаев с повышенной частотой выбросов в (только) одном направлении.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ О'ХАГАН, А .; ЛЕОНАРД, Том (1976). «Байесовская оценка с учетом неопределенности в отношении ограничений параметров». Биометрика. 63 (1): 201–203. Дои:10.1093 / biomet / 63.1.201. ISSN 0006-3444.
  2. ^ Ашур, Самир К .; Абдель-Хамид, Махмуд А. (октябрь 2010 г.). «Приблизительное косое нормальное распределение». Журнал перспективных исследований. 1 (4): 341–350. Дои:10.1016 / j.jare.2010.06.004. ISSN 2090-1232.
  3. ^ Mudholkar, Govind S .; Хатсон, Алан Д. (февраль 2000 г.). «Эпсилон – косое – нормальное распределение для анализа данных, близких к нормальным». Журнал статистического планирования и вывода. 83 (2): 291–309. Дои:10.1016 / s0378-3758 (99) 00096-8. ISSN 0378-3758.
  4. ^ Андел Дж., Нетука И. и Звара К. (1984) О пороговых процессах авторегрессии. Кибернетика, 20, 89-106
  5. ^ Chan, K. S .; Тонг, Х. (март 1986 г.). «Заметка о некоторых интегральных уравнениях, связанных с нелинейным анализом временных рядов». Теория вероятностей и смежные области. 73 (1): 153–158. Дои:10.1007 / bf01845999. ISSN 0178-8051. S2CID 121106515.
  6. ^ Аззалини, А. (1985). «Класс дистрибутивов, в который входят нормальные». Скандинавский статистический журнал. 12: 171–178.
  7. ^ Аззалини, Адельчи; Капитанио, Антонелла (2014). Асимметричные и родственные семейства. С. 32–33. ISBN 978-1-107-02927-9.
  8. ^ Пьюси, Артур. «Проблемы вывода для косого распределения Аззалини». Журнал прикладной статистики 27.7 (2000): 859-870

внешние ссылки