WikiDer > Глоссарий топологии

Это глоссарий некоторых терминов, используемых в отрасли математика известный как топология. Хотя нет абсолютного различия между разными областями топологии, здесь основное внимание уделяется общая топология. Следующие определения также важны для алгебраическая топология, дифференциальная топология и геометрическая топология.

Предполагается, что все пробелы в этом глоссарии топологические пространства если не указано иное.

А

Абсолютно закрыто

Видеть H-закрыто

Доступный

Видеть ${displaystyle T_ {1}}$.

Точка накопления

Видеть предельная точка.

Топология Александрова

Топология пространства Икс является Топология Александрова (или есть конечно порожденный), если произвольные пересечения открытых множеств в Икс открыты, или, что то же самое, если замкнуты произвольные объединения замкнутых множеств, или, что снова эквивалентно, если открытые множества являются верхние наборы из посеть.^[1]

Почти дискретный

Пространство почти дискретно, если каждое открытое множество замкнуто (следовательно, открыто). Почти дискретные пространства - это в точности конечно порожденные нульмерные пространства.

α-закрытый, α-открытый

Подмножество А топологического пространства Икс α-открыто, если ${displaystyle Asubseteq имя оператора {Int} _ {X} влево (имя оператора {Cl} _ {X} влево (имя оператора {Int} _ {X} влево (вправо) в полёт)}$, и дополнение такого множества α-замкнуто.^[2]

Пространство подхода

An подходящее пространство - это обобщение метрического пространства, основанное на расстояниях от точки до множества, а не от точки до точки.

B

Пространство Бэра

У этого есть два различных общих значения:

1. Пространство - это Пространство Бэра если пересечение любого счетный набор плотных открытых множеств плотный; видеть Пространство Бэра.
2. Пространство Бэра - множество всех функций от натуральных чисел до натуральных чисел с топологией поточечной сходимости; видеть Пространство Бэра (теория множеств).

Основание

Коллекция B открытых множеств - это основание (или же основа) для топологии ${displaystyle au}$ если каждый открытый ${displaystyle au}$ представляет собой объединение множеств в ${displaystyle B}$. Топология ${displaystyle au}$ наименьшая топология на ${displaystyle X}$ содержащий ${displaystyle B}$ и считается порожденным ${displaystyle B}$.

Основа

Видеть Основание.

β-открытый

Видеть Полуоткрытый.

б-открыт, б-закрыт

Подмножество А топологического пространства Икс b-открытый, если ${displaystyle Asubseteq имя оператора {Int} _ {X} left (имя оператора {Cl} _ {X} left (Aight) ight) имя оператора чашки {Int} _ {X} left (имя оператора {Cl} _ {X} left (Aight) ight)}$. Дополнение к b-открытому множеству b-замкнуто.^[2]

Борелевская алгебра

В Борелевская алгебра на топологическом пространстве ${displaystyle (X, au)}$ самый маленький ${displaystyle sigma}$-алгебра содержащий все открытые множества. Он получается пересечением всех ${displaystyle sigma}$-алгебры на ${displaystyle X}$ содержащий ${displaystyle au}$.

Набор Бореля

Множество Бореля - это элемент борелевской алгебры.

Граница

В граница (или же граница) множества - это его закрытие за вычетом его внутренней части. Эквивалентно, граница множества - это пересечение его замыкания с замыканием его дополнения. Граница множества ${displaystyle A}$ обозначается ${displaystyle partial A}$ или же ${displaystyle bd}$ ${displaystyle A}$.

Ограниченный

Множество в метрическом пространстве есть ограниченный если у него есть конечный диаметр. Эквивалентно множество ограничено, если оно содержится в некотором открытом шаре конечного радиуса. А функция принимать значения в метрическом пространстве - это ограниченный если это изображение - ограниченное множество.

C

Категория топологических пространств

В категория Вершина имеет топологические пространства в качестве объекты и непрерывные карты в качестве морфизмы.

Последовательность Коши

А последовательность {Икс_п} в метрическом пространстве (M, d) это Последовательность Коши если для каждого положительный настоящий номер р, существует целое число N так что для всех целых чисел м, п > N, у нас есть d(Икс_м, Икс_п) < р.

Clopen набор

Набор есть прищемить если он одновременно открыт и закрыт.

Закрытый мяч

Если (M, d) это метрическое пространство, замкнутый шар - это множество вида D(Икс; р) := {у в M : d(Икс, у) ≤ р}, куда Икс в M и р это положительный настоящий номер, то радиус мяча. Замкнутый шар радиуса р это закрыто р-мяч. Каждый замкнутый шар является замкнутым множеством в топологии, индуцированной на M к d. Обратите внимание, что закрытый шар D(Икс; р) может не совпадать с закрытие открытого бала B(Икс; р).

Закрытый набор

Набор есть закрыто если его дополнение является членом топологии.

Закрытая функция

Функция из одного пространства в другое закрывается, если изображение каждого закрытого множества закрыто.

Закрытие

В закрытие набора - это наименьшее замкнутое множество, содержащее исходное множество. Он равен пересечению всех замкнутых множеств, которые его содержат. Элемент закрытия набора S это точка закрытия из S.

Оператор закрытия

Видеть Аксиомы замыкания Куратовского.

Более грубая топология

Если Икс это множество, а если Т₁ и Т₂ топологии на Икс, тогда Т₁ является грубее (или же меньше, слабее) чем Т₂ если Т₁ содержится в Т₂. Остерегайтесь, некоторые авторы, особенно аналитики, используйте термин сильнее.

Comeagre

Подмножество А пространства Икс является прийти (пришелец) если это дополнять ИксА является скудный. Также называемый остаточный.

Компактный

Пространство компактный если на каждой открытой обложке есть конечный под прикрытием. Всякое компактное пространство линделёфово и паракомпактно. Следовательно, каждый компакт Пространство Хаусдорфа это нормально. Смотрите также квазикомпактный.

Компактная открытая топология

В компактно-открытая топология на съемочной площадке C(Икс, Y) всех непрерывных отображений между двумя пространствами Икс и Y определяется следующим образом: для компактного подмножества K из Икс и открытое подмножество U из Y, позволять V(K, U) обозначим множество всех отображений ж в C(Икс, Y) такие, что ж(K) содержится в U. Тогда собрание всех таких V(K, U) является подбазой для компактно-открытой топологии.

Полный

Метрическое пространство полный если каждая последовательность Коши сходится.

Полностью метризуемый / полностью метризуемый

Видеть полное пространство.

Совершенно нормально

Пробел считается нормальным, если в любых двух разделенных наборах есть непересекающийся окрестности.

Совершенно нормальный Хаусдорф

Совершенно нормальное хаусдорфово пространство (или Т₅ Космос) является вполне нормальным T₁ Космос. (Полностью нормальное пространство Хаусдорфово если и только если это Т₁, поэтому терминология последовательный.) Всякое вполне нормальное хаусдорфово пространство нормально хаусдорфово.

Полностью обычный

Пространство полностью обычный если, когда C замкнутое множество и Икс это точка не в C, тогда C и {Икс} функционально разделены.

Полностью Т₃

Видеть Тихонов.

Компонент

Видеть Подключенный компонент/Компонент, связанный с путями.

Связаны

Пространство связаны если это не объединение пары непересекающийся непустые открытые множества. Точно так же пространство связано, если единственные закрытые множества - это все пространство и пустой набор.

Подключенный компонент

А связный компонент пространства - это максимальный непустое связное подпространство. Каждая компонента связности замкнута, а набор компонент связности пространства представляет собой раздел этого пространства.

Непрерывный

Функция из одного пространства в другое непрерывный если прообраз каждого открытого набора открыт.

Continuum

Пространство называется континуумом, если это компактное связное хаусдорфово пространство.

Сжимаемый

Пространство Икс является стягиваемым, если карта идентичности на Икс гомотопно постоянному отображению. Каждое сжимаемое пространство просто связано.

Топология копродукта

Если {Икс_я} - это набор пробелов и Икс является (теоретико-множественным) несвязный союз из {Икс_я}, то топология копроизведения (или дизъюнктная топология объединения, топологическая сумма из Икс_я) на Икс - тончайшая топология, для которой все карты инъекции непрерывны.

Космическое пространство

А непрерывный изображение некоторых отделяемый метрическое пространство.^[3]

Состояние счетной цепи

Пространство Икс удовлетворяет условию счетной цепи, если каждое семейство непустых попарно непересекающихся открытых множеств счетно.

Счетно компактный

Пространство счетно компактно, если каждое счетный открытая крышка имеет конечный под прикрытием. Всякое счетно компактное пространство псевдокомпактно и слабо счетно компактно.

Счетно локально конечный

Набор подмножеств пространства Икс является счетно локально конечный (или же σ-локально конечный), если это объединение счетный совокупность локально конечных наборов подмножеств Икс.

Крышка

Совокупность подмножеств пространства - это крышка (или покрытие) этого пространства, если объединением коллекции является все пространство.

Покрытие

Видеть Крышка.

Точка отсечки

Если Икс является связным пространством с более чем одной точкой, то точка Икс из Икс является точкой разреза, если подпространство Икс − {Икс} отключен.

D

δ-точка скопления, δ-замкнутая, δ-открытая

Точка Икс топологического пространства Икс является δ-кластерной точкой подмножества А если ${displaystyle Acap operatorname {Int} _ {X} left (operatorname {Cl} _ {X} (U) ight) eq emptyset}$ для каждого открытого района U из Икс в Икс. Подмножество А является δ-замкнутым, если он равен множеству своих точек δ-кластера, и δ-открытым, если его дополнение является δ-замкнутым.^[4]

Плотный набор

Множество является плотным, если оно имеет непустое пересечение с любым непустым открытым множеством. Эквивалентно множество плотно, если его закрытие - все пространство.

Плотный в себе набор

Множество плотно в себе, если у него нет изолированная точка.

Плотность

минимальная мощность плотного подмножества топологического пространства. Набор плотности ℵ₀ это отделяемое пространство.^[5]

Производный набор

Если Икс это пространство и S это подмножество Икс, производный набор S в Икс - множество предельных точек S в Икс.

Развитое пространство

Топологическое пространство с разработка.^[6]

Разработка

А счетный коллекция открытые крышки топологического пространства, такое, что для любого замкнутого множества C и любой момент п в его дополнении существует такое покрытие в коллекции, что каждая окрестность п в обложке непересекающийся из C.^[6]

Диаметр

Если (M, d) - метрическое пространство и S это подмножество M, диаметр S это супремум расстояний d(Икс, у), куда Икс и у диапазон более S.

Дискретная метрика

Дискретная метрика на множестве Икс это функция d : Икс × Икс  →  р такой, что для всех Икс, у в Икс, d(Икс, Икс) = 0 и d(Икс, у) = 1, если Икс ≠ у. Дискретная метрика индуцирует дискретную топологию на Икс.

Дискретное пространство

Пространство Икс является дискретный если каждое подмножество Икс открыт. Мы говорим что Икс несет дискретная топология.^[7]

Дискретная топология

Видеть дискретное пространство.

Топология дизъюнктного объединения

Видеть Топология копродукта.

Точка дисперсии

Если Икс является связным пространством с более чем одной точкой, то точка Икс из Икс является точкой дисперсии, если подпространство Икс − {Икс} наследственно несвязно (его единственными связными компонентами являются одноточечные множества).

Расстояние

Видеть метрическое пространство.

Тупица (топология)

E

Антураж

Видеть Единое пространство.

Внешний вид

Внешний вид набора - это интерьер его дополнения.

F

F_σ набор

An F_σ набор это счетный объединение замкнутых множеств.^[8]

Фильтр

Смотрите также: Фильтры в топологии. Фильтр в пространстве Икс непустая семья F подмножеств Икс такое, что выполняются следующие условия:

1. В пустой набор не в F.
2. Пересечение любого конечный количество элементов F снова в F.
3. Если А в F и если B содержит А, тогда B в F.

Окончательная топология

На съемочной площадке Икс относительно семейства функций в ${displaystyle X}$, это лучшая топология на Икс что делает эти функции непрерывный.^[9]

Тонкая топология (теория потенциала)

На Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, самая грубая топология, делающая все субгармонические функции (то есть все супергармонические функции) непрерывны.^[10]

Более тонкая топология

Если Икс это множество, а если Т₁ и Т₂ топологии на Икс, тогда Т₂ является тоньше (или же больше, сильнее) чем Т₁ если Т₂ содержит Т₁. Остерегайтесь, некоторые авторы, особенно аналитики, используйте термин слабее.

Конечно порожденный

Видеть Топология Александрова.

Первая категория

Видеть Скудный.

С первым счетом

Пространство исчисляемый первым если каждая точка имеет счетный местная база.

Фреше

Видеть Т₁.

Граница

Видеть Граница.

Полный набор

А компактный подмножество K из комплексная плоскость называется полный если это дополнять подключен. Например, закрытый единичный диск заполнен, а единичный круг не является.

Функционально разделены

Два набора А и B в пространстве Икс функционально разделены, если существует непрерывное отображение ж: Икс → [0, 1] такие, что ж(А) = 0 и ж(B) = 1.

грамм

грамм_δ набор

А грамм_δ набор или же внутренний ограничивающий набор это счетный пересечение открытых множеств.^[8]

грамм_δ Космос

Пространство, в котором каждое замкнутое множество является грамм_δ набор.^[8]

Общая точка

А общая точка для закрытого набора - это точка, для которой закрытое множество является закрытием одноэлементного набора, содержащего эту точку.^[11]

ЧАС

Хаусдорф

А Пространство Хаусдорфа (или же Т₂ Космос) - это точка, в которой каждые две различные точки имеют непересекающийся окрестности. Каждое хаусдорфово пространство - это T₁.

H-закрыто

Пространство H-замкнуто, или Хаусдорф закрыт или же абсолютно закрытый, если он замкнут во всех содержащих его хаусдорфовых пространствах.

По наследству п

Пространство по наследству п для некоторой собственности п если каждое подпространство также п.

Наследственный

Свойство пространств называется наследственным, если всякий раз, когда пространство обладает этим свойством, то же самое происходит и с каждым его подпространством.^[12] Например, счетность до второго - наследственное свойство.

Гомеоморфизм

Если Икс и Y пробелы, a гомеоморфизм из Икс к Y это биективный функция ж : Икс → Y такой, что ж и ж⁻¹ непрерывны. Пространства Икс и Y тогда говорят, что они гомеоморфный. С точки зрения топологии гомеоморфные пространства идентичны.

Однородный

Пространство Икс является однородный если для каждого Икс и у в Икс, существует гомеоморфизм ж : Икс  →  Икс такой, что ж(Икс) = у. Интуитивно пространство выглядит одинаково во всех точках. Каждый топологическая группа однородна.

Гомотопические карты

Две непрерывные карты ж, грамм : Икс  →  Y находятся гомотопный (в Y), если существует непрерывное отображение ЧАС : Икс × [0, 1]  →  Y такой, что ЧАС(Икс, 0) = ж(Икс) и ЧАС(Икс, 1) = грамм(Икс) для всех Икс в Икс. Здесь, Икс × [0, 1] задана топология продукта. Функция ЧАС называется гомотопия (в Y) между ж и грамм.

Гомотопия

Видеть Гомотопические карты.

Гиперподключен

Пространство гиперсвязно, если никакие два непустых открытых множества не пересекаются.^[13] Каждое гиперсвязное пространство связано.^[13]

я

Карта идентификации

Видеть Факторная карта.

Пространство идентификации

Видеть Факторное пространство.

Бездискретное пространство

Видеть Тривиальная топология.

Бесконечномерная топология

Видеть Гильбертово многообразие и Q-многообразия, т.е. (обобщенные) многообразия, моделируемые на гильбертовом пространстве и на гильбертовом кубе соответственно.

Внутренний ограничительный набор

А грамм_δ набор.^[8]

Интерьер

В интерьер набора - это самый большой открытый набор, содержащийся в исходном наборе. Он равен объединению всех содержащихся в нем открытых множеств. Элемент интерьера набора S является внутренняя точка из S.

Внутренняя точка

Видеть Интерьер.

Изолированная точка

Точка Икс является изолированная точка если одиночка {Икс} открыт. В более общем смысле, если S это подмножество пространства Икс, и если Икс это точка S, тогда Икс изолированная точка S если {Икс} открыто в топологии подпространств на S.

Изометрический изоморфизм

Если M₁ и M₂ метрические пространства, изометрический изоморфизм из M₁ к M₂ это биективный изометрия ж : M₁  →  M₂. В этом случае метрические пространства называются изометрически изоморфный. С точки зрения теории метрических пространств изометрически изоморфные пространства тождественны.

Изометрия

Если (M₁, d₁) и (M₂, d₂) - метрические пространства, изометрия из M₁ к M₂ это функция ж : M₁  →  M₂ такой, что d₂(ж(Икс), ж(у)) = d₁(Икс, у) для всех Икс, у в M₁. Каждая изометрия инъективный, хотя не всякая изометрия сюръективный.

K

Аксиома колмогорова

Видеть Т₀.

Аксиомы замыкания Куратовского

В Аксиомы замыкания Куратовского это набор аксиомы удовлетворяется функцией, которая принимает каждое подмножество Икс к его закрытию:

1. Изотоничность: Каждый набор содержится в его закрытии.
2. Идемпотентность: Закрытие закрытия набора равно закрытию этого набора.
3. Сохранение бинарных союзов: Замыкание объединения двух множеств - это объединение их замыканий.
4. Сохранение аннулированных союзов: Закрытие пустого множества пусто.

Если c является функцией от набор мощности из Икс себе, тогда c это оператор закрытия если он удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского. Затем аксиомы замыкания Куратовского можно использовать для определения топологии на Икс объявив закрытые множества фиксированные точки этого оператора, т.е. множество А закрыто если и только если c(А) = А.

Колмогоровская топология

Т_Кол = {R, ${displaystyle varnothing}$} ∪ {(a, ∞): a действительное число}; пара (R, T_Кол) назван Колмогорова прямая.

L

L-пространство

An L-пространство это по наследству Пространство Линделёфа который не передается по наследству отделяемый. А Линия Суслина будет L-пространством.^[14]

Большая топология

Видеть Более тонкая топология.

Предельная точка

Точка Икс в пространстве Икс это предельная точка подмножества S если каждый открытый набор, содержащий Икс также содержит точку S Кроме как Икс сам. Это эквивалентно требованию, чтобы каждая окрестность Икс содержит точку S Кроме как Икс сам.

Компактный предел

Видеть Слабо счетно компактный.

Линделёф

Пространство Линделёф если на каждой открытой обложке есть счетный под прикрытием.

Местная база

Множество B окрестностей точки Икс пространства Икс местная база (или местная основа, база соседства, основа соседства) в Икс если каждый район Икс содержит некоторых членов B.

Местная основа

Видеть Местная база.

Локально (P) пространство

Существует два определения пространства как «локально (P)», где (P) - топологическое или теоретико-множественное свойство: каждая точка имеет окрестность со свойством (P) или каждая точка имеет соседнюю базу, для которой у каждого члена есть свойство (P). Первое определение обычно используется для локально компактных, счетно компактных, метризуемых, сепарабельных, счетных; второй - для локального подключения.^[15]

Локально замкнутое подмножество

Подмножество топологического пространства, являющееся пересечением открытого и закрытого подмножества. Эквивалентно, это относительно открытое подмножество его закрытия.

Локально компактный

Пространство локально компактный если каждая точка имеет компактную окрестность: иногда используется альтернативное определение, что каждая точка имеет локальную базу, состоящую из компактных окрестностей: они эквивалентны для хаусдорфовых пространств.^[15] Каждое локально компактное хаусдорфово пространство тихоново.

Локально подключен

Пространство локально связанный если у каждой точки есть локальная база, состоящая из связных окрестностей.^[15]

Локально плотный

видеть Preopen.

Локально конечный

Набор подмножеств пространства локально конечный если у каждой точки есть окрестность, которая имеет непустое пересечение только с конечно многие из подмножеств. Смотрите также счетно локально конечный, точка конечная.

Локально метризуемый/Местно метризуемый

Пространство локально метризуемо, если каждая точка имеет метризуемую окрестность.^[15]

Локально подключено по пути

Пространство локально соединенный путём если у каждой точки есть локальная база, состоящая из линейно связанных окрестностей.^[15] Локально линейно связное пространство связано если и только если это связано с путями.

Локально просто подключено

Пространство является локально односвязным, если каждая точка имеет локальную базу, состоящую из односвязных окрестностей.

Петля

Если Икс это точка в пространстве Икс, а петля в Икс в Икс (или петля в Икс с базовой точкой Икс) это путь ж в Икс, так что ж(0) = ж(1) = Икс. Эквивалентно петля в Икс является непрерывным отображением из единичный круг S¹ в Икс.

M

Скудный

Если Икс это пространство и А это подмножество Икс, тогда А скуден в Икс (или из первая категория в Икс) если это счетный объединение нигде не плотных множеств. Если А не скуден в Икс, А имеет вторая категория в Икс.^[16]

Метакомпакт

Пространство называется метакомпактным, если каждое открытое покрытие имеет точечное конечное открытое измельчение.

Метрическая

Видеть Метрическое пространство.

Метрический инвариант

Метрический инвариант - это свойство, которое сохраняется при изометрическом изоморфизме.

Метрическая карта

Если Икс и Y метрические пространства с метрикой d_Икс и d_Y соответственно, тогда a метрическая карта это функция ж из Икс к Y, такое, что для любых точек Икс и у в Икс, d_Y(ж(Икс), ж(у)) ≤ d_Икс(Икс, у). Метрическая карта строго метрический если указанное неравенство строго для всех Икс и у в Икс.

Метрическое пространство

А метрическое пространство (M, d) - это множество M оснащен функцией d : M × M → р удовлетворяющие следующим аксиомам для всех Икс, у, и z в M:

1. d(Икс, у) ≥ 0
2. d(Икс, Икс) = 0
3. если d(Икс, у) = 0, тогда Икс = у     (идентичность неразличимых)
4. d(Икс, у) = d(у, Икс)     (симметрия)
5. d(Икс, z) ≤ d(Икс, у) + d(у, z)     (неравенство треугольника)

Функция d это метрика на M, и d(Икс, у) это расстояние между Икс и у. Сбор всех открытых шаров M является базой для топологии на M; это топология на M индуцированный d. Каждое метрическое пространство хаусдорфово и паракомпактно (а значит, нормально и тихоново). Каждое метрическое пространство счетно первым.

Метризуемый/Metrisable

Пространство метризуемый если оно гомеоморфно метрическому пространству. Всякое метризуемое пространство хаусдорфово и паракомпактно (а значит, нормально и тихоново). Каждое метризуемое пространство счетно до первого.

Монолит

Всякий непустой сверхсвязный компакт Икс имеет наибольшее собственное открытое подмножество; это подмножество называется монолит.

Пространство Мура

А Пространство Мура это развивающийся регулярное хаусдорфово пространство.^[6]

N

Почти открыто

видеть предварительно открыть.

Район/Район

Окрестности точки Икс - это набор, содержащий открытый набор, который, в свою очередь, содержит точку Икс. В более общем смысле, окрестность множества S - это набор, содержащий открытый набор, который, в свою очередь, содержит набор S. Окрестности точки Икс таким образом, является окрестностью одиночка набор {Икс}. (Обратите внимание, что согласно этому определению, сама окрестность не обязательно должна быть открытой. Многие авторы требуют, чтобы окрестности были открытыми; будьте осторожны, чтобы соблюдать соглашения.)

База микрорайона/ основа

Видеть Местная база.

Система соседства для точки Икс

А система соседства в какой-то момент Икс в пространстве - это совокупность всех окрестностей Икс.

Сеть

А сеть в космосе Икс это карта из направленный набор А к Икс. Сеть от А к Икс обычно обозначается (Икс_α), где α - индексная переменная в пределах А. Каждый последовательность это сеть, принимающая А быть направленным набором натуральные числа при обычном заказе.

Нормальный

Пространство нормальный если любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности.^[8] Каждое нормальное пространство допускает разбиение единицы.

Нормальный Хаусдорф

А нормальный Хаусдорф пробел (или Т₄ Космос) является нормальным T₁ Космос. (Нормальное пространство хаусдорфово если и только если это Т₁, поэтому терминология непротиворечива.) Каждое нормальное хаусдорфово пространство тихоновское.

Нигде не плотный

А нигде плотный набор есть множество, замыкание которого имеет пустую внутренность.

О

Открытая крышка

An открытая крышка это крышка, состоящая из открытых множеств.^[6]

Открытый мяч

Если (M, d) - метрическое пространство, открытый шар - это множество вида B(Икс; р) := {у в M : d(Икс, у) < р}, куда Икс в M и р это положительный настоящий номер, то радиус мяча. Открытый шар радиуса р является открыто р-мяч. Каждый открытый шар является открытым множеством в топологии на M индуцированный d.

Открытое состояние

Видеть открытая собственность.

Открытый набор

An открытый набор является членом топологии.

Открытая функция

Функция из одного пространства в другое открыто если изображение каждого открытого набора открыт.

Открыть недвижимость

Свойство точек в топологическое пространство называется «открытым», если те точки, которые обладают им, образуют открытый набор. Такие условия часто принимают обычную форму, и эту форму можно назвать открытое состояние; например, в метрические пространства, каждый определяет открытый шар, как указано выше, и говорит, что «строгое неравенство является открытым условием».

п

Паракомпакт

Пространство паракомпакт если каждое открытое покрытие имеет локально конечное открытое измельчение. Паракомпакт - это метакомпакт.^[17] Паракомпактные хаусдорфовы пространства нормальны.^[18]

Раздел единства

Разбиение единства пространства Икс представляет собой набор непрерывных функций из Икс в [0, 1], так что любая точка имеет окрестность, в которой все, кроме конечный количество функций тождественно равно нулю, а сумма всех функций на всем пространстве тождественно 1.

Дорожка

А дорожка в космосе Икс это непрерывное отображение ж из закрытого блока интервал [0, 1] в Икс. Смысл ж(0) - начальная точка ж; смысл ж(1) - конечная точка ж.^[13]

Связанный по пути

Пространство Икс является соединенный путём если за каждые два очка Икс, у в Икс, есть путь ж из Икс к у, т.е. путь с начальной точкой ж(0) = Икс и конечная точка ж(1) = у. Каждое линейно связное пространство связано.^[13]

Компонент, связанный с путями

Компонента линейной связности пространства - это максимальное непустое линейно связное подпространство. Набор компонент линейной связности пространства - это раздел этого пространства, которое тоньше чем разбиение на связанные компоненты.^[13] Множество компонент линейной связности пространства Икс обозначается π₀(Икс).

Совершенно нормально

нормальное пространство, которое также является G_δ.^[8]

π-основание

Коллекция B непустых открытых множеств является π-базой для топологии τ, если каждое непустое открытое множество в τ содержит множество из B.^[19]

Точка

Точка - это элемент топологического пространства. В более общем смысле точка - это элемент любого набора с базовой топологической структурой; например элемент метрического пространства или топологической группы также является «точкой».

Точка закрытия

Видеть Закрытие.

Польский

Пространство называется польским, если оно сепарабельно и вполне метризуемо, т. Е. Гомеоморфно сепарабельному и полному метрическому пространству.

Полиадический

Пространство полиадично, если оно является непрерывным образом мощности одноточечная компактификация локально компактного некомпактного хаусдорфова пространства.

P-точка

Точка топологического пространства называется P-точкой, если ее фильтр окрестностей замкнут относительно счетных пересечений.

Предварительно компактный

Видеть Относительно компактный.

Предварительно открытый набор

Подмножество А топологического пространства Икс открывается заранее, если ${displaystyle Asubseteq operatorname {Int} _ {X} left (имя оператора {Cl} _ {X} left (Aight) ight)}$.^[4]

Продискретная топология

Продискретная топология на изделии А^грамм топология продукта, когда каждый фактор А задана дискретная топология.^[20]

Топология продукта

Если {Икс_я} - это набор пробелов и Икс является (теоретико-множественным) товар из {Икс_я}, затем топология продукта на Икс является самой грубой топологией, для которой все отображения проекций непрерывны.

Правильная функция / отображение

Непрерывная функция ж из космоса Икс в космос Y правильно, если ж⁻¹(C) - компакт в Икс для любого компактного подпространства C из Y.

Близкое пространство

Пространство близости (Икс, δ) - это множество Икс оснащен бинарное отношение δ между подмножествами Икс удовлетворяющие следующим свойствам:

Для всех подмножеств А, B и C из Икс,

1. А δ B подразумевает B δ А
2. А δ B подразумевает А не пусто
3. Если А и B имеют непустое пересечение, то А δ B
4. А δ (B ∪ C) если и только если (А δ B или же А δ C)
5. Если для всех подмножеств E из Икс, у нас есть (А δ E или же B δ E), то мы должны иметь А δ (Икс − B)

Псевдокомпактный

Пространство псевдокомпактно, если каждое ценный непрерывная функция на пространстве ограничена.

Псевдометрический

Видеть Псевдометрическое пространство.

Псевдометрическое пространство

Псевдометрическое пространство (M, d) - это множество M оснащен функцией d : M × M → р удовлетворяющее всем условиям метрического пространства, кроме, возможно, тождества неразличимых. То есть точки в псевдометрическом пространстве могут быть «бесконечно близкими», но не идентичными. Функция d это псевдометрический на M. Каждая метрика является псевдометрикой.

Проколотый район/Проколотый район

Проколотая окрестность точки Икс это район Икс, минус {Икс}. Например, интервал (−1, 1) = {у : −1 < у <1} является окрестностью Икс = 0 в реальная линия, поэтому набор (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) - {0} является проколотой окрестностью 0.

Q

Квазикомпактный

Видеть компактный. Некоторые авторы определяют «компактный», чтобы включать Хаусдорф аксиома разделения, и они используют термин квазикомпактный означать то, что мы называем в этом глоссарии просто «компактным» (без аксиомы Хаусдорфа). Это соглашение чаще всего встречается во французском языке, и разделы математики находятся под сильным влиянием французов.

Факторная карта

Если Икс и Y пробелы, а если ж это сюрприз из Икс к Y, тогда ж является фактор-картой (или идентификационная карта), если для каждого подмножества U из Y, U открыт в Y если и только если ж ^-1(U) открыт в Икс. Другими словами, Y имеет ж-сильная топология. Эквивалентно, ${displaystyle f}$ фактор-отображение тогда и только тогда, когда это трансфинитная композиция отображений ${displaystyle Xightarrow X / Z}$, куда ${displaystyle Zsubset X}$ является подмножеством. Обратите внимание, что это не означает, что ж это открытая функция.

Факторное пространство

Если Икс это пространство, Y это набор, и ж : Икс → Y есть ли сюръективный функция, то факторная топология на Y индуцированный ж лучшая топология, для которой ж непрерывно. Космос Икс факторное пространство или пространство идентификации. По определению, ж - факторное отображение. Самый распространенный пример этого - рассмотрение отношение эквивалентности на Икс, с Y набор классы эквивалентности и ж карта естественной проекции. Эта конструкция двойственна конструкции топологии подпространства.

р

Уточнение

Укрытие K это уточнение обложки L если каждый член K является подмножеством некоторого члена L.

Обычный

Пространство обычный если, когда C замкнутое множество и Икс это точка не в C, тогда C и Икс имеют непересекающийся окрестности.

Обычный Хаусдорф

Пространство обычный хаусдорф (или же Т₃), если это регулярный T₀ Космос. (Регулярное пространство хаусдорфово если и только если это Т₀, поэтому терминология согласована.)

Обычный открытый

Подмножество пространства Икс нормально открытый, если он равен внутренней части его закрытия; вдвойне регулярное замкнутое множество равно замкнутости его внутренней части.^[21] Примером нерегулярного открытого множества является множество U = (0,1) ∪ (1,2) в р с его нормальной топологией, так как 1 находится внутри замыкания U, но не в U. Регулярные открытые подмножества пространства образуют полная булева алгебра.^[21]

Относительно компактный

Подмножество Y пространства Икс является относительно компактный в Икс если закрытие Y в Икс компактный.

Остаточный

Если Икс это пространство и А это подмножество Икс, тогда А остается в Икс если дополнение А скуден в Икс. Также называемый прийти или же пришелец.

Разрешимый

А топологическое пространство называется разрешимый если это выражается как объединение двух непересекающийся плотные подмножества.

Обод компактный

Пространство является ободно-компактным, если у него есть база открытых множеств, границы которых компактны.

S

S-пространство

An S-пространство это по наследству отделяемое пространство который не передается по наследству Линделёф.^[14]

Разбросанный

Пространство Икс является разбросанный если каждое непустое подмножество А из Икс содержит точку, изолированную в А.

Скотт

В Топология Скотта на посеть это то, в котором открытые множества те Верхние наборы недоступен для направленных объединений.^[22]

Вторая категория

Видеть Скудный.

Второй счет

Пространство счетный или же идеально отделяемый если у него есть счетный база для его топологии.^[8] Каждое второсчетное пространство является первым счетным, сепарабельным и линделёфским.

Полулокально односвязный

Пространство Икс является полулокально односвязный если за каждую точку Икс в Икс, есть район U из Икс так что каждый цикл в Икс в U гомотопен в Икс в постоянный цикл Икс. Каждое односвязное пространство и каждое локально односвязное пространство полулокально односвязно. (Сравните с локально односвязным; здесь гомотопия может жить в Икс, тогда как в определении локально односвязного гомотопия должна жить в U.)

Полуоткрытый

Подмножество А топологического пространства Икс называется полуоткрытым, если ${displaystyle Asubseteq operatorname {Cl} _ {X} left (имя оператора {Int} _ {X} left (Aight) ight)}$.^[23]

Полуоткрытый

Подмножество А топологического пространства Икс называется полуоткрытым, если ${displaystyle Asubseteq имя оператора {Cl} _ {X} влево (имя оператора {Int} _ {X} влево (имя оператора {Cl} _ {X} влево (вправо) в полёт)}$^[2]

Полурегулярный

Пространство является полуправильным, если регулярные открытые множества образуют основу.

Отделяемый

Пространство отделяемый если у него есть счетный плотное подмножество.^[8][16]

Отдельно

Два набора А и B находятся отделенный если каждый непересекающийся от закрытия другого.

Последовательно компактный

Пространство секвенциально компактно, если каждое последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность. Каждое секвенциально компактное пространство счетно компактно, и каждое счетное пространство, имеющее первую счетность, секвенциально компактно.

Краткая карта

Видеть метрическая карта

Просто подключено

Пространство односвязный если он линейно связан и каждый цикл гомотопен постоянному отображению.

Меньшая топология

Видеть Более грубая топология.

Трезвый

В трезвое пространство, каждый несводимый закрытое подмножество закрытие ровно одной точки: то есть имеет уникальный общая точка.^[24]

Звезда

Звезда точки в данном крышка из топологическое пространство - это объединение всех множеств покрытия, содержащих точку. Видеть звездная утонченность.

${displaystyle f}$-Сильная топология

Позволять ${displaystyle fcolon Xightarrow Y}$ - карта топологических пространств. Мы говорим что ${displaystyle Y}$ имеет ${displaystyle f}$-сильная топология, если для каждого подмножества ${displaystyle Usubset Y}$, есть это ${displaystyle U}$ открыт в ${displaystyle Y}$ если и только если ${displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ открыт в ${displaystyle X}$

Более сильная топология

Видеть Более тонкая топология. Остерегайтесь, некоторые авторы, особенно аналитики, используйте термин более слабая топология.

Подбаза

Набор открытых множеств - это подоснование (или же суббазис) для топологии, если каждое непустое собственное открытое множество в топологии является объединением конечный пересечения множеств в подоснове. Если B является любой набор подмножеств набора Икс, топология на Икс создано B наименьшая топология, содержащая B; эта топология состоит из пустого множества, Икс и все объединения конечных пересечений элементов B.

Суббазис

Видеть Подбаза.

Подкрытие

Укрытие K под прикрытием (или подкрытие) крышки L если каждый член K является членом L.

Подкрытие

Видеть Подкрытие.

Субмаксимальное пространство

А топологическое пространство как говорят субмаксимальный если каждое его подмножество локально замкнуто, то есть каждое подмножество является пересечением открытый набор и закрытый набор.

Вот некоторые факты о субмаксимальности как свойстве топологических пространств:

• Каждый дверное пространство субмаксимальный.
• Каждое субмаксимальное пространство слабо субмаксимальный а именно каждое конечное множество локально замкнуто.
• Каждое субмаксимальное пространство неразрешимый^[25]

Подпространство

Если Т топология в пространстве Икс, и если А это подмножество Икс, то топология подпространства на А индуцированный Т состоит из всех пересечений открытых множеств в Т с А. Эта конструкция двойственна построению фактор-топологии.

Т

Т₀

Пространство Т₀ (или же Колмогоров), если для каждой пары различных точек Икс и у в пространстве либо есть открытое множество, содержащее Икс но нет у, или есть открытый набор, содержащий у но нет Икс.

Т₁

Пространство Т₁ (или же Фреше или же доступный), если для каждой пары различных точек Икс и у в пространстве есть открытый набор, содержащий Икс но нет у. (Сравните с T₀; здесь нам разрешено указать, какая точка будет содержаться в открытом наборе.) Эквивалентно, пространство - это T₁ если все это синглтоны закрыты. Каждые Т₁ пространство T₀.

Т₂

Видеть Пространство Хаусдорфа.

Т₃

Видеть Обычный Хаусдорф.

Т_3½

Видеть Тихоновское пространство.

Т₄

Видеть Нормальный Хаусдорф.

Т₅

Видеть Совершенно нормальный Хаусдорф.

Вершина

Видеть Категория топологических пространств.

θ-точка скопления, θ-замкнутая, θ-открытая

Точка Икс топологического пространства Икс является θ-кластерной точкой подмножества А если ${displaystyle Acap operatorname {Cl} _ {X} (U) eq emptyset}$ для каждого открытого района U из Икс в Икс. Подмножество А является θ-замкнутым, если он равен множеству его точек θ-кластера, и θ-открытым, если его дополнение является θ-замкнутым.^[23]

Топологический инвариант

Топологический инвариант - это свойство, сохраняющееся при гомеоморфизме. Например, компактность и связность являются топологическими свойствами, а ограниченность и полнота - нет. Алгебраическая топология изучение топологически инвариантных абстрактная алгебра конструкции на топологических пространствах.

Топологическое пространство

А топологическое пространство (Икс, Т) - это множество Икс оснащен коллекцией Т подмножеств Икс удовлетворяющий следующим аксиомы:

1. Пустой набор и Икс находятся в Т.
2. Объединение любого набора множеств в Т также в Т.
3. Пересечение любой пары множеств в Т также в Т.

Коллекция Т это топология на Икс.

Топологическая сумма

Видеть Топология копродукта.

Топологически полный

Полностью метризуемые пространства (т. е. топологические пространства, гомеоморфные полным метрическим пространствам), часто называют топологически полный; иногда этот термин также используется для Чех-полные пространства или же полностью униформизируемые пространства.

Топология

Видеть Топологическое пространство.

Полностью ограниченный

Метрическое пространство M вполне ограничен, если для каждого р > 0 существует конечный обложка M открытыми шарами радиуса р. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.

Полностью отключен

Пространство полностью отключено, если у него нет связанного подмножества с более чем одной точкой.

Тривиальная топология

В тривиальная топология (или же недискретная топология) на множестве Икс состоит в точности из пустого множества и всего пространства Икс.

Тихонов

А Тихоновское пространство (или же полностью обычный Хаусдорф Космос, полностью T₃ Космос, Т_3.5 пространство) является вполне регулярным T₀ Космос. (Полностью регулярное пространство хаусдорфово если и только если это Т₀, поэтому терминология непротиворечива.) Каждое тихоновское пространство регулярно Хаусдорфово.

U

Сверхсвязанный

Пространство сверхсвязно, если никакие два непустых замкнутых множества не пересекаются.^[13] Каждое сверхсвязное пространство линейно связано.

Ультраметрический

Метрика является ультраметрикой, если она удовлетворяет следующей более сильной версии неравенство треугольника: для всех Икс, у, z в M, d(Икс, z) ≤ макс (d(Икс, у), d(у, z)).

Равномерный изоморфизм

Если Икс и Y находятся равномерные пространства, равномерный изоморфизм из Икс к Y является биективной функцией ж : Икс → Y такой, что ж и ж⁻¹ находятся равномерно непрерывный. Тогда говорят, что пространства равномерно изоморфны и имеют одинаковые однородные свойства.

Унифицированный/ Uniformisable

Пространство униформизуемо, если оно гомеоморфно равномерному пространству.

Единое пространство

А однородное пространство это набор Икс снабженный непустым набором Φ подмножеств Декартово произведение Икс × Икс удовлетворяющий следующим аксиомы:

1. если U принадлежит Φ, то U содержит { (Икс, Икс) | Икс в Икс }.
2. если U принадлежит Φ, то {(у, Икс) | (Икс, у) в U } также находится в Φ
3. если U находится в Φ и V это подмножество Икс × Икс который содержит U, тогда V находится в Φ
4. если U и V лежат в Φ, то U ∩ V находится в Φ
5. если U принадлежит Φ, то существует V в Φ такое, что всякий раз, когда (Икс, у) и (у, z) находятся в V, тогда (Икс, z) в U.

Элементы Φ называются свита, а сама Φ называется единообразная структура на Икс. Равномерная структура индуцирует топологию на Икс где основные окрестности Икс являются множествами вида {у : (Икс,у)∈U} за U∈Φ.

Единая структура

Видеть Единое пространство.

W

Слабая топология

В слабая топология на множестве по отношению к набору функций из этого множества в топологические пространства - это самая грубая топология на множестве, которая делает все функции непрерывными.

Более слабая топология

Видеть Более грубая топология. Остерегайтесь, некоторые авторы, особенно аналитики, используйте термин более сильная топология.

Слабо счетно компактный

Пространство слабо счетно компактно (или предельная точка компактная) если каждые бесконечный подмножество имеет предельную точку.

Слабо наследственный

Свойство пространств называется слабо наследственным, если всякий раз, когда пространство обладает этим свойством, то же самое происходит и с каждым его замкнутым подпространством. Например, компактность и свойство Линделёфа являются слабо наследственными свойствами, хотя ни одно из них не является наследственным.

Масса

В вес помещения Икс самый маленький количественное числительное κ такой, что Икс имеет базу кардинала κ. (Обратите внимание, что такое кардинальное число существует, потому что вся топология образует основу, и потому что класс кардинальных чисел хорошо организованный.)

Хорошо связан

Видеть Сверхсвязанный. (Некоторые авторы используют этот термин строго для сверхсвязных компактных пространств.)

Z

Нульмерный

Пространство нульмерный если он имеет основу из закрытых наборов.^[26]

Смотрите также

• Наивная теория множеств, Аксиоматическая теория множеств, и Функция для определений, касающихся множеств и функций.
• Топология для краткой истории и описания предметной области
• Топологические пространства для основных определений и примеров
• список общих тем топологии
• список примеров по общей топологии

Конкретные концепции топологии

• Компактное пространство
• Подключенное пространство
• Непрерывность
• Метрическое пространство
• Отдельные наборы
• Аксиома разделения
• Топологическое пространство
• Единое пространство

Другие глоссарии

• Глоссарий алгебраической топологии
• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
• Глоссарий по разделам математики
• Глоссарий римановой и метрической геометрии

Рекомендации

• Харт, Клаас (2004). Энциклопедия общей топологии. Амстердам Бостон: Эльзевир / Северная Голландия. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277.
• Харт, Клаас Питер; Нагата, Джун-ити; Воан, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии. Эльзевир. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Кунен, Кеннет; Воан, Джерри Э. (ред.). Справочник по теоретико-множественной топологии. Северная Голландия. ISBN 0-444-86580-2.
• Нагата, Джун-ити (1985). Современная общая топология. Математическая библиотека Северной Голландии. 33 (2-е изд. Перераб.). Амстердам-Нью-Йорк-Оксфорд: Северная Голландия. ISBN 0080933793. Zbl 0598.54001.
• Стин, Линн Артур; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. МИСТЕР 0507446.
• Викерс, Стивен (1989). Топология через логику. Кембриджские тракты в теоретической информатике. 5. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Ряд Аддисона-Уэсли по математике. Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-08707-9. Zbl 0205.26601. Также имеется в виде переиздания Dover.

внешняя ссылка

• Глоссарий определений в топологии