WikiDer > Число Якобсталя

Jacobsthal number

В математика, то Числа Якобсталя являются целочисленная последовательность названный в честь Немецкий математик Эрнст Якобсталь. Как и связанный Числа Фибоначчи, они представляют собой особый тип Последовательность Лукаса для которого п = 1 и Q = −2[1]- и определяются аналогичным отношение повторения: Проще говоря, последовательность начинается с 0 и 1, затем каждое следующее число находится путем добавления числа перед ним к удвоенному числу перед ним. Первые числа Якобсталя:

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525,… (последовательность A001045 в OEIS)

Числа Якобсталя

Числа Якобсталя определяются рекуррентным соотношением:

Следующее число Якобсталя также дается формулой рекурсии:

или по:

Приведенная выше первая формула рекурсии также удовлетворяется степенями двойки.

Число Якобсталя в определенной точке последовательности может быть вычислено непосредственно с использованием уравнения в закрытой форме:[2]

В производящая функция для чисел Якобсталя

Сумма обратных чисел Якобсталя составляет приблизительно 2,7186, что немного больше, чем е.

Числа Якобсталя могут быть расширены до отрицательных индексов с помощью рекуррентного соотношения или явной формулы, что дает

(видеть OEISA077925)

Имеет место следующее тождество

(видеть OEISA139818)

Числа Якобсталя-Лукаса

Числа Якобсталя-Лукаса представляют дополнительную последовательность Лукаса . Они удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению, что и числа Якобсталя, но имеют разные начальные значения:

Следующее число Якобсталя-Лукаса также удовлетворяет:[3]

Число Якобсталя-Лукаса в определенной точке последовательности может быть вычислено непосредственно с использованием уравнения в замкнутой форме:[3]

Первые числа Якобсталя-Лукаса:

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537, 131071, 262145, 524287, 1048577,… (последовательность A014551 в OEIS).

Якобсталя Продолговатые числа

Первые продолговатые числа Якобсталя: 0, 1, 3, 15, 55, 231,… (последовательность A084175 в OEIS)

Рекомендации

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Число Якобсталя». MathWorld.
  2. ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A001045 (последовательность Якобсталя)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
  3. ^ а б Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A014551 (числа Якобсталя-Лукаса)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.