WikiDer > Идеальное число

Perfect number
Иллюстрация идеального числа, статус числа 6

В теория чисел, а идеальное число это положительное число что равно сумме положительных делители, за исключением самого числа. Например, 6 имеет делители 1, 2 и 3 (исключая себя), а 1 + 2 + 3 = 6, поэтому 6 - идеальное число.

Сумма делителей числа, исключая само число, называется его аликвотная сумма, поэтому совершенное число - это число, равное его аликвотной сумме. Точно так же совершенное число - это число, равное половине суммы всех его положительных делителей, включая само себя; в символах, σ1(п) = 2п куда σ1 это функция суммы делителей. Например, 28 идеально подходит как 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28.

Это древнее определение появилось еще Евклида Элементы (VII.22) где это называется τέλειος ἀριθμός (идеально, идеальный, или же полный номер). Евклид также доказал правило формирования (IX.36), согласно которому четное идеальное число, когда простое число вида для премьер - то, что сейчас называется Мерсенн прайм. Два тысячелетия спустя Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют этот вид.[1] Это известно как Теорема Евклида – Эйлера.

Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа и существует ли бесконечно много совершенных чисел. Первые несколько совершенных чисел 6, 28, 496 и 8128 (последовательность A000396 в OEIS).

История

Примерно за 300 г. до н.э. Евклид показал, что если 2п - 1 простое, тогда 2п−1(2п - 1) идеально. Первые четыре совершенных числа были единственными, известными раннему Греческая математика, а математик Никомах отметил 8128 год примерно в 100 году нашей эры.[2] Выражаясь современным языком, Никомах без доказательств заявляет, что каждый идеальное число имеет форму куда простое.[3][4] Кажется, он не знает, что п сам должен быть простым. Он также говорит (ошибочно), что идеальные числа поочередно заканчиваются на 6 или 8. (Первые 5 совершенных чисел оканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; шестое также оканчивается цифрами 6.) Филон Александрийский в своей книге первого века «О сотворении» упоминает совершенные числа, утверждая, что мир был создан за 6 дней, а Луна вращается по орбите за 28 дней, потому что 6 и 28 являются совершенными. За Филоном следует Ориген,[5] и по Дидим Слепой, который добавляет наблюдение о том, что всего четыре совершенных числа меньше 10 000. (Комментарий к Бытию 1. 14-19).[6] Святой Августин определяет идеальные числа в Город Бога (Книга XI, Глава 30) в начале 5-го века нашей эры, повторяя утверждение, что Бог создал мир за 6 дней, потому что 6 - наименьшее совершенное число. Египетский математик Исмаил ибн Фаллус (1194–1252) упомянул следующие три совершенных числа (33 550 336, 8 589 869 056 и 137 438 691 328) и перечислил еще несколько, которые, как теперь известно, неверны.[7] Первое известное европейское упоминание о пятом совершенном числе - это рукопись, написанная между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком.[8] В 1588 г. итальянский математик Пьетро Катальди определила шестое (8,589,869,056) и седьмое (137,438,691,328) совершенных чисел, а также доказала, что каждое совершенное число, полученное из правила Евклида, заканчивается на 6 или 8.[9][10][11]

Даже идеальные числа

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
Бесконечно много совершенных чисел?
(больше нерешенных задач по математике)

Евклид доказал, что 2п−1(2п - 1) является четным совершенным числом всякий раз, когда 2п - 1 простое число (Элементы, Предложение IX.36).

Например, первые четыре совершенных числа генерируются по формуле 2п−1(2п - 1), с п а простое число, следующее:

за п = 2:   21(22 − 1) = 2 × 3 = 6
за п = 3:   22(23 − 1) = 4 × 7 = 28
за п = 5:   24(25 − 1) = 16 × 31 = 496
за п = 7:   26(27 − 1) = 64 × 127 = 8128.

Простые числа вида 2п - 1 известен как Простые числа Мерсенна, после монаха семнадцатого века Марин Мерсенн, который учился теория чисел и идеальные числа. Для 2п - 1, чтобы быть простым, необходимо, чтобы п Сам быть первоклассным. Однако не все числа вида 2п - 1 со штрихом п простые; например, 211 - 1 = 2047 = 23 × 89 не является простым числом.[12] На самом деле простые числа Мерсенна очень редки - из 2 610 944 простых чисел п вплоть до 43,112,609,[13] 2п - 1 является простым только для 47 из них.

Несмотря на то что Никомах заявил (без доказательств), что все идеальные числа имели форму куда простое (хотя он высказал это несколько иначе), Ибн аль-Хайсам (Альхазен) около 1000 г. н.э. предположил только, что каждый четное идеальное число имеет такую ​​форму.[14] Только в 18 веке Леонард Эйлер доказал, что формула 2п−1(2п - 1) даст все четные совершенные числа. Таким образом, существует индивидуальная переписка между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна; каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот. Этот результат часто называют Теорема Евклида – Эйлера.

Исчерпывающий поиск GIMPS Проект распределенных вычислений показал, что первые 47 четных чисел равны 2п−1(2п - 1) для

п = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701 , 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667 (последовательность, 431603809) A000043 в OEIS).[15]

Также были обнаружены четыре высших совершенных числа, а именно те, для которых п = 57885161, 74207281, 77232917 и 82589933, хотя в этом диапазоне могут быть и другие. По состоянию на декабрь 2018 г., Известно 51 простое число Мерсенна,[16] и, следовательно, 51 четное совершенное число (наибольшее из которых 282589932 × (282589933 - 1) с 49 724 095 цифрами). это Неизвестный есть ли бесконечно много совершенные числа, а также то, существует ли бесконечно много простых чисел Мерсенна.

А также имеющий форму 2п−1(2п - 1) каждое четное совершенное число является (2п - 1) й треугольное число (и, следовательно, равняется сумме целых чисел от 1 до 2п − 1) и 2п−1th шестиугольное число. Кроме того, каждое четное совершенное число, кроме 6, является ((2п + 1) / 3) ое центрированное неагональное число и равен сумме первых 2(п−1)/2 нечетные кубики:

Даже совершенные числа (кроме 6) имеют вид

с каждым полученным треугольным числом T7 = 28, т31 = 496, т127 = 8128 (после вычитания 1 из совершенного числа и деления результата на 9), заканчивающегося на 3 или 5, последовательность, начинающаяся с T2 = 3, Т10 = 55, Т42 = 903, Т2730 = 3727815, ...[17] Это можно переформулировать следующим образом: добавление цифр любого четного совершенного числа (кроме 6), затем сложение цифр полученного числа и повторение этого процесса до единственной цифры (называемой цифровой корень) всегда дает число 1. Например, цифровой корень 8128 равен 1, потому что 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10 и 1 + 0 = 1. Это работает со всеми идеальными числа 2п−1(2п - 1) с нечетным простым числом п и, по сути, с все числа формы 2м−1(2м - 1) для нечетного целого числа (не обязательно простого) м.

Благодаря своей форме 2п−1(2п - 1), каждое четное совершенное число представлено в двоичной форме как п те, за которыми следуютп - 1 нули; Например,

610 = 22 + 21 = 1102
2810 = 24 + 23 + 22 = 111002
49610 = 28 + 27 + 26 + 25 + 24 = 1111100002

и

812810 = 212 + 211 + 210 + 29 + 28 + 27 + 26 = 11111110000002.

Таким образом, каждое четное совершенное число является вредоносное число.

Каждое четное идеальное число также является практический номер (ср. Связанные понятия).

Нечетные идеальные числа

Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в математике:
Есть ли идеальные нечетные числа?
(больше нерешенных задач по математике)

Неизвестно, существует ли какое-нибудь нечетное совершенное число, хотя были получены разные результаты. В 1496 г. Жак Лефевр заявил, что правило Евклида дает все совершенные числа,[18] таким образом подразумевая, что не существует нечетного совершенного числа. Эйлер заявил: «Существуют ли какие-нибудь нечетные совершенные числа - это самый трудный вопрос».[19] В последнее время, Карл Померанс представил эвристический аргумент предполагая, что на самом деле не должно существовать нечетного совершенного числа.[20] Все совершенные числа тоже Гармонические числа руды, и также было высказано предположение, что не существует нечетных гармонических чисел Оре, кроме 1.

Любое нечетное совершенное число N должны удовлетворять следующим условиям:

  • N > 101500.[21]
  • N не делится на 105.[22]
  • N имеет форму N ≡ 1 (мод. 12) или N ≡ 117 (мод. 468) или N ≡ 81 (обр. 324).[23]
  • N имеет форму
куда:
  • qп1, ..., пk различные простые числа (Эйлер).
  • q ≡ α ≡ 1 (мод 4) (Эйлер).
  • Наименьший простой фактор N меньше чем (2k + 8) / 3.[24]
  • Либо qα > 1062, или же пj2еj  > 1062 для некоторых j.[21]
  • [25][26]
  • .[27][28]
  • .[29]
  • Наибольший простой фактор N больше 108[30] и меньше чем [31]
  • Второй по величине простой фактор больше 104, и меньше чем .[32][33]
  • Третий по величине простой фактор больше 100.[34]
  • N имеет не менее 101 простого делителя и не менее 10 различных простых множителей.[21][35] Если 3 не является одним из факторов N, тогда N имеет не менее 12 различных простых делителей.[36]

Кроме того, известно несколько второстепенных результатов, касающихся показателей степение1, ..., еk в

  • Не все ея ≡ 1 (мод 3).[37]
  • Не все ея ≡ 2 (мод 5).[38]
  • Я упал ея ≡ 1 (мод 3) или 2 (мод 5), то наименьший простой делитель N должно быть между 108 и 101000.[38]
  • В общем, если все 2ея+1 имеют простой делитель в данном конечном множестве S, то наименьший простой делитель N должен быть меньше эффективно вычислимой константы, зависящей только от S.[38]
  • Если (е1, ..., еk) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) с т те и ты двое, тогда .[39]
  • (е1, ..., еk) ≠ (1, ..., 1, 3),[40] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).[41]
  • Если е1= ...= еkе, тогда
  • е не может быть 3,[42] 5, 24,[43] 6, 8, 11, 14 или 18.[41]
  • и N < 242e2 + 8e + 3.[44]

В 1888 г. Сильвестр заявил:[45]

... длительное размышление на эту тему убедило меня в том, что существование любого такого [нечетного совершенного числа] - его выход, так сказать, из сложной сети условий, сужающих его со всех сторон, - было бы немного недолгим. чуда.

Многие из доказанных свойств нечетных совершенных чисел также применимы к подделка нечетных совершенных чисел, а Пейс Нильсен предположил, что достаточное изучение этих чисел может привести к доказательству отсутствия нечетных совершенных чисел. [46]

Незначительные результаты

Все даже совершенные числа имеют очень точную форму; нечетные совершенные числа либо не существуют, либо встречаются редко. Есть ряд результатов об идеальных числах, которые на самом деле довольно легко доказать, но, тем не менее, внешне они впечатляют; некоторые из них также подпадают под Ричард Гайс сильный закон малых чисел:

  • Единственное четное идеальное число формы Икс3 +1 это 28 (Маковски 1962).[47]
  • 28 также является единственным четным совершенным числом, которое представляет собой сумму двух положительных кубов целых чисел (Галлардо 2010).[48]
  • В взаимные делителей совершенного числа N должно складываться до 2 (чтобы получить это, возьмите определение идеального числа, , и разделите обе стороны на п):
    • Для 6 имеем ;
    • Для 28 у нас есть , так далее.
  • Количество делителей совершенного числа (четного или нечетного) должно быть четным, потому что N не может быть идеальным квадратом.[49]
  • Даже идеальные числа не трапециевидные числа; то есть, они не могут быть представлены как разность двух положительных непоследовательных треугольные числа. Существует всего три типа нетрапецеидальных чисел: четные числа, степени двойки и числа вида сформированный как продукт Ферма Прайм со степенью двойки аналогично построению четных совершенных чисел из простых чисел Мерсенна.[50]
  • Количество совершенных чисел меньше п меньше чем , куда c > 0 - постоянная величина.[51] На самом деле это , с помощью маленькая нотация.[52]
  • Каждое четное совершенное число оканчивается на 6 или 28 с основанием десять; и, за исключением 6, оканчивается на 1, основание 9.[53][54] Поэтому, в частности, цифровой корень каждого четного совершенного числа, кроме 6, равно 1.
  • Единственный без квадратов идеальное число - 6.[55]

Связанные понятия

Сумма собственных делителей дает различные другие типы чисел. Числа, сумма которых меньше самого числа, называются неполноценный, а где оно больше числа, обильный. Эти условия вместе с идеально сам, происходит от греческого нумерология. Пара чисел, являющихся суммой собственных делителей друг друга, называется дружелюбный, а большие циклы чисел называются общительный. Положительное целое число такое, что каждое меньшее положительное целое число является суммой различных его делителей, является практический номер.

По определению совершенное число - это фиксированная точка из ограниченная функция делителей s(п) = σ(п) − п, а аликвотная последовательность с совершенным числом связана постоянная последовательность. Все совершенные числа тоже -совершенные числа, или Числа Гранвилля.

А полусовершенное число натуральное число, равное сумме всех или некоторых собственных делителей. Полусовершенное число, равное сумме всех собственных делителей, является совершенным числом. Наиболее распространенные числа также полусовершенны; обильные числа, которые не являются полусовершенными, называются странные числа.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Колдуэлл, Крис, «Доказательство того, что все даже совершенные числа являются степенью двойного простого числа Мерсенна».
  2. ^ Диксон, Л.Э. (1919). История теории чисел, Vol. я. Вашингтон: Институт Карнеги Вашингтона. п. 4.
  3. ^ «Совершенные числа». www-groups.dcs.st-and.ac.uk. Получено 9 мая 2018.
  4. ^ В Введение в арифметикуВ главе 16 он говорит о совершенных числах: «Существует метод получения их, аккуратный и надежный, который не проходит мимо ни одного из совершенных чисел и не делает невозможным дифференцировать ни одно из тех, которые не являются таковыми, который осуществляется в следующим образом ". Затем он продолжает объяснять процедуру, которая эквивалентна поиску треугольное число на основе простого числа Мерсенна.
  5. ^ Комментарий к Евангелию от Иоанна 28.1.1-4, с дальнейшими ссылками в Источники Chrétiennes издание: т. 385, 58–61.
  6. ^ http://torreys.org/sblpapers2015/S22-05_philonic_arithmological_exegesis.pdf
  7. ^ Рошди Рашед, Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994), стр. 328–329.
  8. ^ Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14908. См. Дэвид Юджин Смит (1925). История математики: Том II. Нью-Йорк: Дувр. п. 21. ISBN 0-486-20430-8.
  9. ^ Диксон, Л.Э. (1919). История теории чисел, Vol. я. Вашингтон: Институт Карнеги Вашингтона. п. 10.
  10. ^ Пиковер, С. (2001). Чудеса чисел: приключения в математике, разуме и значении. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 360. ISBN 0-19-515799-0.
  11. ^ Петерсон, я (2002). Математические пути: от сюрреалистических чисел к волшебным кругам. Вашингтон: Математическая ассоциация Америки. п. 132. ISBN 88-8358-537-2.
  12. ^ Все факторы 2п - 1 соответствует 1 мод 2п. Например, 211 - 1 = 2047 = 23 × 89, и 23 и 89 дают остаток 1 при делении на 11. Кроме того, всякий раз, когда п это Софи Жермен прайм- то есть 2п + 1 также простое число, а 2п +1 совпадает с 1 или 7 по модулю 8, тогда 2п +1 будет множителем 2п - 1, что имеет место для п = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, ... OEISA002515.
  13. ^ «Количество простых чисел <= 43112609». вольфрам Альфа. Получено 2018-10-28.
  14. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайтам», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
  15. ^ Отчет о вехах GIMPS. Проверено 27 февраля 2018 г.
  16. ^ «GIMPS Home». Mersenne.org. Получено 2018-12-21.
  17. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Идеальное число». MathWorld.
  18. ^ Диксон, Л.Э. (1919). История теории чисел, Vol. я. Вашингтон: Институт Карнеги Вашингтона. п. 6.
  19. ^ http://www.math.harvard.edu/~knill/seminars/perfect/handout.pdf
  20. ^ Oddperfect.org. В архиве 2006-12-29 на Wayback Machine
  21. ^ а б c Очем, Паскаль; Рао, Михаэль (2012). "Нечетные совершенные числа больше 101500" (PDF). Математика вычислений. 81 (279): 1869–1877. Дои:10.1090 / S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005.
  22. ^ Кюнель, У (1949). "Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen". Mathematische Zeitschrift. 52: 201–211. Дои:10.1515 / crll.1941.183.98.
  23. ^ Робертс, Т. (2008). «О форме нечетного совершенного числа» (PDF). Австралийский математический вестник. 35 (4): 244.
  24. ^ Грюн, О (1952). "Über ungerade vollkommene Zahlen". Mathematische Zeitschrift. 55 (3): 353–354. Дои:10.1007 / BF01181133.
  25. ^ Чен, Юн-Гао; Тан, Цуй-Э (2014). «Улучшены верхние границы для нечетных мультисовершенных чисел». Бюллетень Австралийского математического общества. 89 (3): 353-359.
  26. ^ Нильсен, PP (2003). «Верхняя граница нечетных совершенных чисел». Целые числа. 3: A14 – A22. Архивировано из оригинал 21 февраля 2003 г.. Получено 30 марта 2011.
  27. ^ Зелинский, Джошуа (25 мая 2018 г.). «Улучшение неравенства Очема и Рао относительно нечетных совершенных чисел». Целые числа. 18. arXiv:1706.07009. Bibcode:2017arXiv170607009Z. Получено 23 мая 2018.
  28. ^ Очем, Паскаль; Рао, Михаэль (2014). «О количестве простых делителей нечетного совершенного числа». Математика вычислений. 83 (289): 2435–2439. Дои:10.1090 / S0025-5718-2013-02776-7.
  29. ^ Померанс, Карл; Лука, Флориан (2010). «О радикале совершенного числа». Нью-Йоркский математический журнал. 16: 23–30. Получено 7 декабря 2018.
  30. ^ Гото, Т; Оно, Y (2008). "Нечетные совершенные числа имеют простой множитель больше 108" (PDF). Математика вычислений. 77 (263): 1859–1868. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. Дои:10.1090 / S0025-5718-08-02050-9. Получено 30 марта 2011.
  31. ^ Конягин Сергей; Акваа, Питер (2012). «О простых факторах нечетных совершенных чисел». Международный журнал теории чисел. 8 (6): 1537–1540. Дои:10.1142 / S1793042112500935.
  32. ^ Зелинский, Джошуа (июль 2019 г.). «Верхние оценки второго по величине простого множителя нечетного совершенного числа». Международный журнал теории чисел. 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734. Дои:10.1142 / S1793042119500659..
  33. ^ Яннуччи, DE (1999). «Второй по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает десять тысяч» (PDF). Математика вычислений. 68 (228): 1749–1760. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. Дои:10.1090 / S0025-5718-99-01126-6. Получено 30 марта 2011.
  34. ^ Яннуччи, DE (2000). «Третий по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает сотню» (PDF). Математика вычислений. 69 (230): 867–879. Bibcode:2000MaCom..69..867I. Дои:10.1090 / S0025-5718-99-01127-8. Получено 30 марта 2011.
  35. ^ Нильсен, ПП (2015). «Нечетные совершенные числа, диофантовы уравнения и оценки сверху» (PDF). Математика вычислений. 84 (295): 2549–2567. Дои:10.1090 / S0025-5718-2015-02941-X. Получено 13 августа 2015.
  36. ^ Нильсен, П.П. (2007). «Нечетные совершенные числа имеют как минимум девять различных простых множителей» (PDF). Математика вычислений. 76 (260): 2109–2126. arXiv:математика / 0602485. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. Дои:10.1090 / S0025-5718-07-01990-4. Получено 30 марта 2011.
  37. ^ Макдэниел, Уэйн Л. (1970). «Отсутствие нечетных совершенных чисел определенной формы». Archiv der Mathematik. 21 (1): 52–53. Дои:10.1007 / BF01220877. ISSN 1420-8938. МИСТЕР 0258723.
  38. ^ а б c Флетчер, С. Адам; Nielsen, Pace P .; Очем, Паскаль (2012). «Методы сита для нечетных совершенных чисел» (PDF). Математика вычислений. 81 (279): 1753?1776. Дои:10.1090 / S0025-5718-2011-02576-7. ISSN 0025-5718. МИСТЕР 2904601.
  39. ^ Коэн, Г. Л. (1987). «О наибольшей составляющей нечетного совершенного числа». Журнал Австралийского математического общества, серия A. 42 (2): 280–286. Дои:10.1017 / S1446788700028251. ISSN 1446-8107. МИСТЕР 0869751.
  40. ^ Канольд, Ханс-Иоахим (1950). "Satze uber Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlentheoretisehe Probleme. II". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 188 (1): 129–146. Дои:10.1515 / crll.1950.188.129. ISSN 1435-5345. МИСТЕР 0044579.
  41. ^ а б Cohen, G.L .; Уильямс, Р. Дж. (1985). «Расширение некоторых результатов, касающихся нечетных совершенных чисел» (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 23 (1): 70–76. ISSN 0015-0517. МИСТЕР 0786364.
  42. ^ Хагис, Питер младший; Макдэниел, Уэйн Л. (1972). «Новый результат о структуре нечетных совершенных чисел». Труды Американского математического общества. 32 (1): 13–15. Дои:10.1090 / S0002-9939-1972-0292740-5. ISSN 1088-6826. МИСТЕР 0292740.
  43. ^ McDaniel, Wayne L .; Хагис, Питер младший (1975). "Некоторые результаты о несуществовании нечетных совершенных чисел вида " (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 13 (1): 25–28. ISSN 0015-0517. МИСТЕР 0354538.
  44. ^ Ямада, Томохиро (2019). «Новая верхняя оценка нечетных совершенных чисел особого вида». Математический коллоквиум. 156 (1): 15–21. arXiv:1706.09341. Дои:10,4064 / см 7339-3-2018. ISSN 1730-6302.
  45. ^ Сборник математических работ Джеймса Джозефа Сильвестра с. 590, тр. из "Sur les nombres dits de Hamilton", Compte Rendu de l'Association Française (Тулуза, 1887 г.), стр. 164–168.
  46. ^ Надис, Стив (10 сентября 2020 г.). «Математики открывают новый фронт в решении древней числовой проблемы». Журнал Quanta. Получено 10 сентября 2020.
  47. ^ Маковский, А. (1962). «Замечание о совершенных числах». Elem. Математика. 17 (5): 109.CS1 maint: ref = harv (связь)
  48. ^ Галлардо, Луис Х. (2010). «О замечании Маковского о совершенных числах». Elem. Математика. 65: 121–126. Дои:10.4171 / EM / 149.CS1 maint: ref = harv (связь).
  49. ^ Ян, Сонг Ю. (2012), Вычислительная теория чисел и современная криптография, John Wiley & Sons, Раздел 2.3, Упражнение 2 (6), ISBN 9781118188613.
  50. ^ Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999). «Характеризуя нетрапециевидные числа». Математический вестник. Математическая ассоциация. 83 (497): 262–263. Дои:10.2307/3619053. JSTOR 3619053.
  51. ^ Хорнфек, Б. (1955). "Zur Dichte der Menge der vollkommenen zahlen". Arch. Математика. 6 (6): 442–443. Дои:10.1007 / BF01901120.
  52. ^ Канольд, HJ (1956). "Eine Bemerkung ¨uber die Menge der vollkommenen zahlen". Математика. Анна. 131 (4): 390–392. Дои:10.1007 / BF01350108.
  53. ^ Х. Новарезе. Note sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16.
  54. ^ Диксон, Л.Э. (1919). История теории чисел, Vol. я. Вашингтон: Институт Карнеги Вашингтона. п. 25.
  55. ^ Редмонд, Дон (1996). Теория чисел: введение в чистую и прикладную математику. Чепмен и Холл / CRC Чистая и прикладная математика. 201. CRC Press. Задача 7.4.11, п. 428. ISBN 9780824796969..

Рекомендации

  • Евклид, Элементы, Книга IX, Предложение 36. См. D.E. Сайт Джойс за перевод и обсуждение этого предложения и его доказательства.
  • Канольд, Х.-Дж. (1941). "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 183: 98–109.
  • Штойервальд, Р."Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl". С.-Б. Байер. Акад. Wiss. 1937: 69–72.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка