WikiDer > Kappenhalternummer

EIN Kaprekar-Nummer ist in der Mathematik ein gerade Zahl welches die unten beschriebene Eigenschaft besitzt. Die Kaprekar-Zahlen sind nach dem indischen Mathematiker benannt DR. Kaprekar (1905–1986).

Eine ganze Zahl heißt bei gegebenem Base, eine Kaprekar-Zahl, wenn ihr Quadrat in zwei Zahlen geteilt werden kann, die bei liegen Zusatz kehren Sie zur ursprünglichen Nummer zurück. Zum Beispiel ist die 3-stellige Zahl 703, in der üblichen Basis 10, eine Kaprekar-Zahl, denn 703² = 494209 und 494209 können in 494 und 209 und 494 209 = 703 aufgeteilt werden.

Definition

Die natürliche Zahl k heißt a Kaprekar-Nummer an der Wurzel ${displaystyle bin mathbb {N} ,bgeq 1}$, wenn es Zahlen gibt ${displaystyle n,m_{1},m_{2}in Mathbb {N} }$ mit jemanden sein ${displaystyle n>0, 0$, so dass:

${displaystyle k^{2}=m_{1}cdot b^{n} m_{2}}$

${displaystyle k=m_{1} m_{2}}$

Kappenträgernummern bis 533170

Die ersten 39 Kaprekar-Zahlen zur Basis 10 sind:^[1]

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

Überprüfen Sie die ersten 9 davon:

${displaystyle 1:quad 1^{2}=0cdot 10^{n} 1;quad 1=0 1}$

${displaystyle 9:Quad 9^{2}=81;Quad 8 1=9}$

${displaystyle 45:Quad 45^{2}=2025;Quad 20 25=45}$

${displaystyle 55:Quad 55^{2}=3025;Quad 30 25=55}$

${displaystyle 99:Quad 99^{2}=9801;Quad 98 1=99}$

${displaystyle 297:Quad 297^{2}=88209;Quad 88 209=297}$

${displaystyle 703:vierer 703^{2}=494209;vierer 494 209=703}$

${Displaystyle 999:Quad 999^{2}=998001;Quad 998 1=999}$

${displaystyle 2223:Quad 2223^{2}=4941729;Quad 494 1729=2223}$

Wie zu sehen ist, erscheinen die Zahlen ${displaystyle 99ldots 9=10^{n}-1}$ alle Kaprekar-Nummern. Auch das lässt sich belegen. Paar

${displaystyle k^{2}=10^{n}m_{1} 1=(m_{1} 1)^{2}}$,

dann ist

${displaystyle 10^{n}m_{1} 1=m_{1}^{2} 2m_{1} 1}$,

So

${displaystyle m_{1}=10^{n}-2}$

und

${Anzeigestil k=m_{1} 1=10^{n}-1}$

In der Tat ist

${displaystyle 99ldots 9^{2}=(10^{n}-1)^{2}=10^{2n}-2cdot 10^{n} 1=99ldots 9800ldots 01}$

und

${Anzeigestil 99ldots 9=99ldots 98 (00ldots 0)1}$

6174

• Vor dem 6174, Kaprekar .s Konstante, hält das für gegeben Warteschlange Zahlen, die mit einigen speziellen Operationen für diese Zahlen definiert wurden, enden immer bei 6174.