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Graph der Anzahl der Zwillingsprimzahlen

EIN Zwillingsprime ist ein Zahlenpaar ${displaystyle(p,p2)}$ wo beides ${displaystyle p}$ wenn ${displaystyle p2}$ ein Primzahl ist. Beispiele dafür sind ${Anzeigestil (3,5)}$, ${Anzeigestil (5,7)}$ und ${Anzeigestil (17,19)}$. Man spricht von Primzahlen mit einer Lücke von 2. A Spalt${displaystyle h}$ ist der Abstand zwischen einer Primzahl ${displaystyle p}$ und eine andere Primzahl ${displaystyle ph}$. Zwischen diesen beiden Primzahlen gibt es keine andere Primzahl.

Verdacht

Es Zwillings-Prime-Vermutung bedeutet, dass es unendlich viele Zwillingsprimzahlen gibt. Darüber spekulieren Mathematiker seit Hunderten von Jahren, noch ohne Beweis finden zu können. Alphonse de Polignac erweiterte dies 1849 zu einer Vermutung, dass jederEin bisschen Spalt unendlich üblich, aber anderthalb Jahrhunderte lang konnte die Existenz eines bestaan ​​best nicht nachgewiesen werden begrenzte Lücke (begrenzte Lücke) zu beweisen. Bewährt im Jahr 2005 Daniel Goldston, Janos Pintz und Cem Yıldırım, in einem Artikel bekannt als GPY, dass beliebig kleine Lücken in Bezug auf den zu erwartenden Wert aus der globalen Verteilung der Primzahlen bestehen.^[1][2]

Darauf aufbauend hat der chinesische Mathematiker Yitang Zhang im April 2013, dass es eine unendlich häufige Lücke von weniger als 70 Millionen gibt, d. h. dass es eine Zahl gibt ${displaystyle d}$ muss kleiner als 70 Millionen sein, für die es unendlich viele Paare von Primzahlen der Form . gibt ${displaystyle p}$ und ${displaystyle pd}$. Dies überraschte die Mathematiker und führte zu enormer Aktivität bei Zahlentheoretiker.^[2] Im Juli 2014 wurde gezeigt, dass eine solche Zahl ${displaystyle d}$ muss kleiner oder gleich 246 sein.^[3] Unter der Annahme der Elliott-Halberstam-Vermutung ist ${displaystyle d}$ höchstens 12 und unter der verallgemeinerten Elliott-Halberstam-Vermutung beträgt der Wert höchstens 6.^[4]

Kriterium

Die Zahlen ${displaystyle p}$ und ${displaystyle p2}$ sind beide Primzahlen dann und nur dann, wenn${displaystyle p4 4,(p-1)!}$ ist durch beide teilbar ${displaystyle p}$ wenn ${displaystyle p2}$. Dieses Kriterium ist nicht einfach anzuwenden, denn Fakultäten bald riesig sein.

Brun .s Konstante

Auch wenn wir nicht wissen, ob es unendlich viele Zwillingsprimzahlen gibt, wissen wir doch, dass die Summe the

${displaystyle B_{2}=sum _{p{ ext{ and }}p 2{ ext{ prime}}}left({frac {1}{p}} {frac {1}{p 2}}ight)}$

konvergiert. Dies während

${displaystyle sum _{p{ ext{ prime}}}{frac {1}{p}}}$

divergiert (nicht konvergiert).

Die Nummer ${Displaystil B_{2}}$ wird der Brun .s Konstante erwähnt.^[5]

Größte bekannte Zwillingsprimzahlen

Am 15. Januar 2007 wurde eine neue Zwillings-Primzahl gefunden. Mit 58.711 Stellen ist dies seit 2,5 Jahren die größte bekannte Zwillings-Primzahl:

2 003 663 613 × 2^{195 000} – 1 und 2 003 663 613 × 2^{195 000} 1.

Ein weiterer Rekord wurde am 25. Juli 2009 von den Benutzern eines Projekts namens . aufgestellt PrimeGrid. Es hat 100 355 Ziffern

65 516 468 355 × 2^{333 333} – 1 und 65 516 468 355 × 2^{333 333} 1.

Am 25. Dezember 2011 wurde von PrimeGrid eine noch größere Zwillings-Primzahl gefunden. Es handelt sich um die 200 700 stelligen Zahlen:

3 756 801 695 685 × 2^{666 669} – 1 und 3 756 801 695 685 × 2^{666 669} 1.

Im September 2016 entdeckte der Amerikaner Tom Greer eine neue Kombination (beide Primzahlen zählen jeweils 388.342 Stellen).^[6]):

2.996.863.034.895 × 2^1.290.000 – 1 und 2.996.863.034.895 × 2^1.290.000 1.

Liste der ersten Zwillingsprimzahlen

Die ersten Zwillingsprimzahlen sind:

• 3, 5
• 5, 7
• 11, 13
• 17, 19
• 29, 31
• 41, 43
• 59, 61
• 71, 73
• 101, 103
• 107, 109

Wissenswertes

Dreifache Primzahlen – drei aufeinanderfolgende Primzahlen mit nur geraden Zahlen dazwischen – geschweige denn Vierlinge existieren nicht (mit Ausnahme der Tripel 3-5-7). Schließlich enthält eine zufällige Folge von drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen immer ein (aber nie mehr als ein) Vielfaches von 3. Einer Zwillings-Primzahl (mit Ausnahme der Zwillinge 3-5) folgt daher immer eine ungerade Zahl, die durch 3 teilbar ist.

Die Summe der beiden Zahlen einer Zwillings-Primzahl ist (mit Ausnahme der Zwillinge 3-5) immer durch 12 teilbar; denn aus den Eigenschaften der Folge der Vielfachen von 3 folgt, dass neben der vorhergehenden und der nächsten ungeraden Zahl auch die Zahl zwischen den beiden Zwillingsprimzahlen ein Vielfaches von 3 und auch eine gerade Zahl ist, also immer teilbar durch 6. Die Summe ist doppelt so groß wie der Durchschnitt, also durch 12 teilbar.

Zwillingsprimzahlen in Büchern

• Die Einsamkeit der Primzahlen (2008) Paolo Giordano

Externer Link

• (und) Die zwanzig besten Prime-Twins