WikiDer > Messbare Funktion

In dem Maßtheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein messbare Funktion ein ordentliches' Funktion zwischen messbare Räume. Im Lieferumfang enthaltene Funktionen mathematische Analyse die nicht messbar sind, gelten im Allgemeinen als pathologisch. Die Messbarkeit hängt vom Kontext ab, in dem die Funktion angegeben wird. Messbarkeit ist eine relative Eigenschaft relativ zu gegebenen Systemen von Teilmengen der Räume, von denen eine durch die Funktion in der anderen abgebildet wird. In vielen Fällen wird unter Messbarkeit verstanden: lebesgue Messbarkeit, was Messbarkeit relativ zu lebesgue-messbaren Mengen impliziert; Dies sind Sammlungen, die auf „übliche“ Weise gemessen werden können.

Definition

spät ${Anzeigestil Sigma }$ ein σ-Algebra sind über die Sammlung${Anzeigestil X}$ und ${displaystyle mathrm {T} }$ eine σ-Algebra über ${Anzeigestil Y}$, dann heißt die Funktion ${Anzeigestil f:X oder Y}$${displaystyle (Sigma ,mathrm {T} }$)-messbar ab jeder Sammlung in ${displaystyle mathrm {T} }$ es Original im ${Anzeigestil Sigma }$ Lügen, so wie für alle ${displaystyle Binmathrm {T} }$

${Anzeigestil f^{-1}(B)in Sigma .}$

Wenn die Bildersammlung ${Anzeigestil Y}$ ein topologischer Raum ist, wie die reale Nummern${displaystyle mathbb {R} }$ oder der komplexe Zahlen${displaystyle mathbb {C} }$, dann ist die Messbarkeit stillschweigend mit der Borelalgebra, d.h. die σ-Algebra erzeugt durch die offene Sammlungen im ${Anzeigestil Y}$, Falls nicht anders angegeben.

Beispiel

EIN stochastische Variable ist per Definition eine messbare Funktion auf dem Ergebnisraum bezüglich der σ-Algebra der Ereignisse und der Borelschen Algebra über die reellen Zahlen.

Nicht messbare Funktionen

In den meisten Fällen ist die σ-Algebra ${Anzeigestil Sigma }$ von Teilmengen der Domäne nicht die Stromsammlung aller Teilmengen. Dann gibt es auch nicht messbar Teilmengen und nicht alle Funktionen sind messbar. Beispielsweise ${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R}}$ und ${Anzeigestil A}$ ist eine nicht messbare Teilmenge von ${displaystyle mathbb {R} }$, dann ist die Anzeigefunktion${Displaystil 1_{A}(x)}$ von ${Anzeigestil A}$ eine nicht messbare Funktion.

Siehe auch

• Vektorräume messbarer Funktionen: die l ^p-Räume.

Fußnoten