WikiDer > Produkt von Ringen

In dem Ringtheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist es möglich, verschiedene zu verwenden? Ringe zu einem großen zusammenfügen Produktring. Dies geschieht wie folgt: wenn ich eine zufällige Indexsammlung ist und wenn R_ich ein ring ist für jeden ich im ich, dann ist es möglich kartesisches Produkt Π_{ich im ich}R_ich in einen Ring verwandelt werden durch die Operation koordinativ zu definieren, d.h.

(ein_ich) (b_ich) = (ein_ichb_ich)

(ein_ich) · (b_ich) = (ein_ich · b_ich)

Der resultierende Ring wird a Direktprodukt der Ringe R_ich erwähnt. Das direkte Produkt einer endlichen Anzahl von Ringen R₁,...,R_k wird auch geschrieben als R₁ × R₂ × ... × R_k.

Beispiele

Das wichtigste Beispiel ist der Ring z/neinz von ganze Zahlenmodularnein. wenn nein wird als Produkt von written geschrieben Ahle Kräfte (siehe Hauptsatz der Arithmetik):

${displaystyle n={p_{1}}^{n_{1}} {p_{2}}^{n_{2}} cdots {p_{k}}^{n_{k}}}$

Wert p_ich verschiedene Primzahlen sind, dann ist z/neinz natürlich isomorph mit dem Produktring

${displaystyle mathbf {Z} /{p_{1}}^{n_{1}}mathbf {Z} imes mathbf {Z} /{p_{2}}^{n_{2}}mathbf {Z} imes cdots imes mathbf {Z} /{p_{k}}^{n_{k}}mathbf {Z} }$

Dies folgt aus dem Chinesischer Restsatz.

Eigenschaften

wenn R =_{ich im ich}R_ich ist ein Produkt von Ringen, dann für jedes Gewicht ich im ich ein surjektivRinghomomorphismusp_ich: R → R_ich, dass das Produkt auf dem ich-projiziert die Koordinate. Das Produkt R hat zusammen mit den Projektionen p_ich, der nächste universelle Eigenschaft:

wenn so ist ein beliebiger Ring und f_ich: so → R_ich ein Ringhomomorphismus ist für alle ich im ich, dann existiert genau einerRinghomomorphismusf: so → R, so dass p_ich Ö f = f_ich für alle ich im ich.

Dies zeigt, dass das Produkt von Ringen eine Instanz von . ist Produkte im Sinne der Kategorientheorie ist.

wenn ein_ich im R_ich ein ideal für alle ich im ich, dann ist ein =_{ich im ich}ein_ich ein Ideal von R. wenn ichendlich wahr ist, dann gilt das Umgekehrte, also jedes Ideal von R hat diese Form. Aber falls ichunendlich ist und die Ringe R_ich nicht null sind, dann ist die Umkehrung falsch; das Sammlung aller Elemente mit allen außer einer endlichen Anzahl von Nicht-Null-Koordinaten bildet ein Ideal, das kein direktes Produkt von Idealen der R_ich ist. das Ideal ein ist ein Primideal im R wenn alle bis auf einen ein_ich, gleich sein R_ich und die restlichen ein_ich ein Primideal in R_ich sein. Das Umgekehrte gilt jedoch nicht, wenn ich ist unendlich. Das direkte Summe des R_ich zum Beispiel ein Ideal bilden, das in keinem solchen enthalten ist ein, aber es Axiom der Wahl zeigt an, dass es in jedem enthalten ist maximal ideal, Das vom Stärkeren herAhle ist.

Ein Element X im R ist genau dann eine Einheit, wenn alle ihre Komponenten auch Einheiten sind, d. h. genau dann, wenn p_ich(X) eine Einheit in R _ich ist für jeden ich im ich. Die Einheitengruppe von R ist der Produkt des Gruppen von Einheiten von R_ich. Ein Produkt von mehr als einem Ring ungleich Null hat immer always Nullteiler: wenn X ist ein Element des Produkts, von dem alle Koordinaten außer p_ich(X), Null sein und ja ist ein Element des Produkts, bei dem alle Koordinaten null sind, außer p_ja(ja) (mit ich ≠ ja), dann xy = 0 im Produktring.

Siehe auch

• Direktprodukt