WikiDer > Интеграл Бохнера

Bochner integral

В математика, то Интеграл Бохнера, названный в честь Саломон Бохнер, расширяет определение Интеграл Лебега к функциям, которые принимают значения в Банахово пространство, как предел интегралов от простые функции.

Определение

Позволять (Икс, Σ, μ) - измерить пространство и B банахово пространство. Интеграл Бохнера определяется почти так же, как интеграл Лебега. Во-первых, простая функция - это любая конечная сумма вида

где Eя являются непересекающимися членами σ-алгебры Σ, бя являются отдельными элементами B, и χE это характеристическая функция из E. Если μ(Eя) конечно, когда бя ≠ 0, то простая функция интегрируемый, и тогда интеграл определяется как

точно так же, как и для обычного интеграла Лебега.

Измеримая функция ƒ: Икс → B является Интегрируемый по Бохнеру если существует последовательность интегрируемых простых функций sп такой, что

где интеграл в левой части - обычный интеграл Лебега.

В этом случае Интеграл Бохнера определяется

Можно показать, что функция интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда она лежит в Пространство Бохнера .

Характеристики

Многие из известных свойств интеграла Лебега сохраняются и для интеграла Бохнера. Особенно полезен критерий Бохнера интегрируемости, который гласит, что если (Икс, Σ, μ) - пространство с мерой, то измеримая по Бохнеру функция ƒ : Икс → B интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда

Функция ƒ : Икс → B называется измеримой по Бохнеру, если она μ-почти всюду равна функции грамм принимая значения в сепарабельном подпространстве B0 из B, и такой, что прообраз грамм−1(U) каждого открытого множества U в B принадлежит Σ. Эквивалентно, ƒ является предельным µ-почти всюду последовательности простых функций.

Если - линейный непрерывный оператор, а интегрируем по Бохнеру, то интегрируется по Бохнеру и интегрирует можно поменять местами:

Это верно и для замкнутых операторов, если быть интегрируемым (что по упомянутому выше критерию тривиально верно для ограниченного ).

Версия теорема о доминируемой сходимости справедливо и для интеграла Бохнера. В частности, если ƒп : Икс → B представляет собой последовательность измеримых функций на полном пространстве с мерой, почти всюду стремящуюся к предельной функции ƒ, и если

почти для каждого Икс ∈ Икс, и грамм ∈ L1(μ), тогда

в качестве п → ∞ и

для всех E ∈ Σ.

Если ƒ интегрируема по Бохнеру, то неравенство

относится ко всем E ∈ Σ. В частности, заданная функция

определяет счетно-аддитивную B-значен векторная мера на Икс который абсолютно непрерывный по μ.

Радон – Никодим свойство

Важный факт об интеграле Бохнера заключается в том, что Теорема Радона – Никодима терпит неудачу держать в общем. Это приводит к важному свойству банаховых пространств, известному как свойство Радона – Никодима. В частности, если μ - мера на (Икс, Σ), то B обладает свойством Радона – Никодима относительно μ, если для каждого счетно-аддитивного векторная мера на (Икс, Σ) со значениями в B у которого есть ограниченная вариация и абсолютно непрерывна по μ, существует μ-интегрируемая функция грамм : ИксB такой, что

для каждого измеримого множества E ∈ Σ.[1]

Банахово пространство B имеет Радон – Никодим свойство если B обладает свойством Радона – Никодима относительно любой конечной меры. Известно, что космос обладает свойством Радона – Никодима, но и пространства , , за открытое ограниченное подмножество , и , за K бесконечное компактное пространство, не надо. Пространства со свойством Радона – Никодима включают сепарабельные сопряженные пространства (это Теорема Данфорда – Петтиса) и рефлексивные пространства, которые включают, в частности, Гильбертовы пространства.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Барсенас, Диомедес (2003). "Теорема Радона – Никодима для рефлексивных банаховых пространств" (PDF). Divulgaciones Matemáticas. 11 (1): 55–59 [стр. 55–56].