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Snells Gesetz über a Mauer in Leiden

Das Snells Gesetz oder Brechungsgesetz ist ein Naturgesetz von dem Optik was anzeigt, wie Lichtstrahlen am Übergang von einem en gebrochen werden Mittel zu einem anderen, zum Beispiel von Himmel zu Glas in denen sich das Licht mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten bewegt. Das Gesetz ist nach dem benannt Niederländischlöschen- und AstronomWillebrord Snel van Royen.

Das Brechungsindex einer Substanz ist im Snellschen Gesetz das Verhältnis zwischen der Phasengeschwindigkeit des Lichts im Vakuum und der in diesem Medium. Dieses Gesetz steht im Einklang mit dem Prinzip von Fermat, die besagt, dass Licht den schnellsten Weg zwischen zwei Punkten wählt. Die Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichem Brechungsindex heißt a Dioptrie. In fast allen Fällen, in denen Lichtbrechung auftritt^[1] wird auch Teil des Lichts reflektiert.

Snellsches Gesetz:${displaystyle n_{1}sin heta _{1}=n_{2}sinheta _{3}}$.

Brechung (θ₁ = 60°)

Obwohl der Bleistift gerade ist, scheint er im Wasser-Luft-Grenzflächenkontakt gebrochen zu sein

Beschreibung

Ein Lichtstrahl fällt von einem Medium mit Brechungsindex (manchmal auch optische Dichte erwähnt) ${displaystyle n_{1}}$ Unter einer Ecke ${displaystyle heta_{1}}$ mit dem normal auf der Schnittstelle. Der Lichtstrahl bricht im anderen Medium mit Brechungsindex ${displaystyle n_{2}}$ und hat einen Austrittswinkel ${displaystyle heta_{2}}$. Es gilt:

${displaystyle {frac {sin heta _{1}}{sinheta _{2}}}={frac {n_{2}}{n_{1}}}}$

Der Lichtweg ist umkehrbar. Der größtmögliche Winkel beträgt im Medium mit dem niedrigsten Brechungsindex 90 Grad. Der entsprechende andere Winkel im Medium mit dem höheren Brechungsindex heißt Grenzwinkel. Für Winkel, die größer als der Grenzwinkel sind, Totalreflexion an der Grenzfläche kann der Lichtstrahl das Medium mit dem höheren Brechungsindex nicht verlassen. Das Verhältnis von gebrochenem und reflektiertem Licht ist gegeben durch Fresnel-Gleichungen.

In französischen Texten wird das Gesetz von Snell als Gesetz von . bezeichnet Descartes, der das Prinzip auch im 17. Jahrhundert erwähnte, aber der eigentliche Entdecker des Gesetzes war möglich Ibn Sahl im 984.

Ablenkungen

Unter der Annahme des Prinzips der kürzesten optischen Weglänge

Prinzip von Fermat

Die Geschwindigkeiten in Glas und Luft sind unterschiedlich. Es Prinzip von Fermat besagt, dass Licht den schnellsten Weg nimmt. Aus diesem Prinzip lässt sich ableiten, dass der Lichtstrahl, der von einem bestimmten Punkt ausgeht und an einem anderen Punkt ankommt, notwendigerweise dem Snellschen Gesetz genügen muss.

In der nebenstehenden Abbildung geht ein Lichtstrahl (grün) von der Quelle P zum Punkt Q. Dies ist der Weg, der am wenigsten Zeit benötigt. Auf dem roten und blauen Weg würde das Licht länger brauchen. Bei der roten Linie ist beispielsweise die Distanz PA kleiner als PB, aber der Zeitgewinn überwiegt nicht den längeren Weg von A nach Q.

In der Abbildung sind zwei Medien angegeben, z.B. Luft oben und Glas unten, mit einer ebenen Grenzfläche senkrecht zur Abbildung, mit Brechungsindizes ${displaystyle n_{1}}$ und ${displaystyle n_{2}}$. Der kürzeste Lichtweg verläuft sicherlich in der Ebene senkrecht zur Grenzfläche. Der Schnittpunkt beider Ebenen ist die Gerade durch ${displaystyle x_{P}}$ und ${displaystyle x_{Q}}$, die Projektionen von P bzw. Q an der Grenzfläche. Diese Schnittlinie dient als x-Achse.

Die Zeit, in der sich das Licht von P zu einem Punkt bewegt ${Anzeigestil x}$ auf der x-Achse ist:

${displaystyle t_{1}={frac {sqrt {(x-x_{P})^{2} y_{P}^{2}}}{v_{1}}}}$

Analog ist von ${Anzeigestil x}$ um in Q einzusteigen:

${displaystyle t_{2}={frac {sqrt {(x_{Q}-x)^{2} y_{Q}^{2}}}{v_{2}}}}$

Darin sind ${displaystyle v_{1}}$ und ${displaystyle v_{2}}$ die jeweiligen Geschwindigkeiten in den beiden Medien und ${displaystyle y_{P}}$ und ${displaystyle y_{Q}}$ die Abstände von P und Q zur Schnittstelle.

Die minimale Zeit, die benötigt wird, um von P nach Q zu gelangen, ergibt sich aus der Gleichung:

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(t_{1} t_{2})=0}$

Daraus folgt:

${displaystyle {frac {x-x_{P}}{v_{1}{sqrt {(x-x_{P})^{2} y_{P}^{2}}}}}={frac {x_{ Q}-x}{v_{2}{sqrt {(x_{Q}-x)^{2} y_{Q}^{2}}}}}}$

Das ist anders geschrieben:

${displaystyle {frac {sin(heta_{1})}{v_{1}}}={frac {sin(heta_{2})}{v_{2}}}}$,

mit ${displaystyle heta_{1}}$ und ${displaystyle heta_{2}}$ die Winkel, die der Lichtstrahl mit der Normalen zur Grenzfläche bildet.

Ergebnis:

${displaystyle {frac {n_{1}}{n_{2}}}={frac {v_{2}}{v_{1}}}={frac {sin(heta_{2})}{sin(heta _{1})}}}$

Analogie von Badegästen am Strand

Die Strategie der beiden Schwimmer.

der Physiker Richard Feynman kam auf die folgende Gleichung. Zwei Schwimmer müssen so schnell wie möglich eine Boje im Meer erreichen. Wer am Strand schnell, aber im Wasser langsamer ist als sein Konkurrent, wird die Strecke am Strand so weit wie möglich zurücklegen (Strategie 2). Der Schwimmer, der am schnellsten schwimmt, aber am Strand langsamer ist, legt am Strand so wenig Distanz wie möglich zurück (Strategie 1).

Bei gegebener Geschwindigkeit am Strand und im Meer erfüllt die schnellste Strecke das Gesetz von Snellius.

Basierend auf dem Wellenmodell von Huygens

Golffronten von einem Punktquelle Brechen im Medium mit dem höheren Brechungsindex nach der Huygensschen Wellentheorie.

Christian Huygens könnte das Gesetz mit seinem ablenken Wellentheorie, indem gezeigt wird, dass sich Wellen entlang der von Snellius vorhergesagten Flugbahn für einen gebrochenen Lichtstrahl gegenseitig verstärken, sich aber überall sonst aufheben.

Ausgehend von der elektromagnetischen Feldtheorie

Hendrik Anthony Lorentz bestätigte 1875 die Hypothese, dass Licht ein elektromagnetisches Wellenphänomen ist, durch die elektromagnetische Maxwells Gesetze an einer Schnittstelle zwischen zwei optischen Medien mit unterschiedlichen Werten für die magnetische Permeabilität und das Dielektrikum Permittivität. Diese physikalischen Größen bestimmen die Unterschiede in der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts in diesen Medien sowie die Beziehung zwischen Einfalls- und Brechungswinkel an der Grenzfläche, wie von Snellius vorhergesagt.

Anwendung

Sonnenhöhe

Eine Anwendung des Snellschen Gesetzes ist die Tatsache, dass man Sonne immer in einer höheren Position als seine tatsächliche Position. Dadurch können Sie die Sonne bei Sonnenuntergang länger sehen. Dies lässt sich wie folgt erklären. Tatsächlich ist die Atmosphäre kein homogenes Medium: Die Anzahl der Moleküle pro Volumeneinheit nimmt mit zunehmender Höhe ab. Es lässt sich zeigen, dass der Brechungsindex mit der Anzahl der Moleküle pro Volumeneinheit zunimmt, sodass man in höheren Lagen einen kleineren Brechungsindex hat. Dadurch werden die Sonnenstrahlen in Richtung der Schicht mit dem höchsten Wert von gebogen ${displaystyle n}$. Die Krümmung der Sonnenstrahlen kann auch ermittelt werden, indem man die Atmosphäre in aufeinanderfolgende homogene Luftschichten teilt und das Snell-Gesetz auf jede Dioptrie zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schichten anwendet.

Klang unter Wasser

Eine weitere Anwendung des Gesetzes sind akustische Unterwassermessungen (siehe Hydrographie). Licht oder elektromagnetische Wellen durchdringen das Wasser nur sehr schlecht, daher die Wahl für Schall. Ein Durchschnitt Schallgeschwindigkeit von ca. 1500 m/s schwankt um 6% aufgrund von Temperaturschwankungen und Salzgehalt. Wenn es viele sind Regen fällt, fließt viel Süßwasser ins Meer und die Schallgeschwindigkeit an der Meeresoberfläche ist geringer als bei trockenem Wetter. Danach kommt es bald wieder zum Mischen. Es entsteht eine gewisse horizontale Schichtung von Schichten mit mehr oder weniger gleicher Schallgeschwindigkeit. Wenn ein Schallsignal schräg durch diese Schichten läuft, tritt nach dem Snell-Gesetz Brechung auf. Um Entfernungen und Winkel richtig einschätzen zu können, müssen die Messungen dafür korrigiert werden.

Reflexion von Radiowellen in der Atmosphäre

Die Atmosphäre besteht aus mehreren Schichten, von denen einige ionisiert d.h. viele geladene Teilchen enthalten. Da sich diese geladenen Teilchen leicht bewegen können, ist eine solche Schicht etwas leitfähig. Dadurch können Funkwellen in bestimmten Frequenzbereichen teilweise oder vollständig durchdringen reflektiert einbiegen in. Denn diese ionisierten Schichten sind mehr oder weniger kugelförmig und betrachtet man das Innere dieser Kugel von der Erdoberfläche aus, wirkt sie wie ein Hohlspiegel. Dadurch können beispielsweise Kurzwellensender (ca. 3 MHz bis ca. 30 MHz) über deutlich größere Distanzen empfangen werden als beispielsweise Mittelwellensender (ca. 1 MHz) oder UKW-Sender (ca. 80 MHz bis ca. 100 MHz). Beispielsweise können unter günstigen Umständen bestimmte kleine Regionalprogramme in beispielsweise Amerika oder Fernost manchmal auch in Europa empfangen werden.

Neue Materialien

Neue optische Materialien mit negativem Brechungsindex wurden entwickelt.

Berechnung des Balkenbiegeschalls unter Wasser

Nach dem Snellius-Gesetz tritt die Brechung an der Grenzschicht zwischen zwei Wasserschichten mit unterschiedlichen Brechungsindizes, d. h. unterschiedlichen Schallgeschwindigkeiten, auf. Der Signalverlauf ist daher nicht gerade, sondern gekrümmt.

Beispiel

Angenommen, die Wassertiefe beträgt 1000 m und diese Tiefe besteht aus 1000 Schichten, die jeweils 1 m dick sind. Die Geschwindigkeit in der untersten Schicht beträgt 1550 m/s und nimmt pro Schicht um 0,1 m/s ab. Die Geschwindigkeit in der obersten Schicht beträgt dann 1450 m/s. Unten befindet sich eine Schallquelle, die einen Schallimpuls in einem Winkel von 45 Grad aussendet. Dieser Impuls erreicht die Wasseroberfläche am Punkt O.

Hier gilt dann: ${displaystyle v_{1}=1550,{ ext{m/s}},,v_{2}=1549{,}9,{ ext{m/s}},ldots ,v_{1000}=1450,{ ext {Frau}}}$

Mit ${displaystyle heta _{1}=45^{circ }}$ Folgt aus:

${displaystyle {frac {sin(heta_{1})}{v_{1}}}={frac {sin(heta_{2})}{v_{2}}}={ext{constant}}}$

Welche

${displaystyle heta _{2}=44{,}9963^{circ }}$ und analog ${displaystyle heta _{1000}=41{,}4134^{circ }}$

Der Weg, den der Schallimpuls in den verschiedenen Schichten zurücklegt, wird wie folgt berechnet.

${displaystyle L_{n}={frac {1}{cos( heta _{i})}},,n=1,ldots ,1000}$

und für die Gesamtlänge

${displaystyle L=1371{,}721,{ ext{m}}}$

Die horizontale Projektion ${Anzeigestil x}$ des zurückgelegten Weges pro Schicht folgt aus

${displaystyle x_{n}= eine heta _{n}}$

Für die gesamte horizontale Distanz ${Anzeigestil X}$zwischen S und O folgt ${displaystyle X=939{,}223,{ ext{m}}}$

Dann kann die Gesamtlaufzeit des Schallimpulses berechnet werden durch

${displaystyle t_{n}={frac {L_{n}}{v_{n}}}}$,

damit die Gesamtlaufzeit ${displaystyle Z_{ ext{to}}=0{,}9148275,{ ext{sec}}}$

Mit den folgenden Formeln für die Dauer ${Anzeigestil T}$ folgt:

${displaystyle T={frac {1}{g}}ln left(0{,}5cdot {frac { heta _{1}}{0{,}5 heta _{1000}}}ight)}$

Für den Krümmungsradius der Trajektorie gilt:

${displaystyle R={frac {1}{ag}}}$

mit

${displaystyle g}$ die Schallgeschwindigkeit (ändert sich mit der Tiefe pro Sekunde)

${Anzeigestil a}$ die Beugungskonstante

Der horizontale Abstand beträgt

${displaystyle X=R(cos heta _{1000}-cos heta _{1})}$,

Aus dem Brechungsgesetz von Snellius folgt:

${displaystyle a=0{,}00045620,{ ext{s/mg}}}$,

so dass

${Displaystil T=0{,}9148180,{ ext{s}}}$

${displaystyle R=21920,{ ext{m}}}$

${displaystyle X=939{,}3,{ ext{m}}}$

Die tatsächlich gemessene Pulsdauer betrug 0,9148275 s und stimmte damit gut mit dem berechneten Wert überein.

Fehler aufgrund von Balkenbiegungen sind oft vernachlässigbar, wie in diesem Beispiel, aber es gibt Umstände, unter denen dieses Problem berücksichtigt werden muss, z Fliegenpilze (Mehrstrahl-Echolote) in Wasser einiger Tiefe mit einem großen Geschwindigkeitsgradienten.

Auch Vermessungsingenieure sind sich dieses Problems bewusst. Die genaue Größe des sogenannten Brechung ist schwer zu bestimmen. Die genaue Größe des Fehlers nimmt quadratisch zu, ebenso wie der Fehler aufgrund der Erdkrümmung.

Referenzen und Hinweise

Externe Links

• Java-Applet UGent^{[toter Link]}
• Java