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Reguläres Siebeneck

EIN Heptagon oder Heptagon oder Heptagon ist ein Polygon mit SiebenEcken und genauso viel Seiten. "Hepta - έπτα" ist griechisch vor dem Sieben, "gonia - γωνία" ist griechisch für Ecke. EIN regulär Siebeneck hat sieben gleiche Seiten und sieben gleiche Winkel. Die Scheitelpunkte des regelmäßigen Siebenecks liegen wie die jedes regelmäßigen Vielecks auf einem Kreis, dem sogenannten umschriebener Kreis. Die Mittelpunkte der Seiten sind auf der eingeschriebener Kreis; Sie sind die Berührpunkte der Seiten des eingeschriebenen Kreises.

Eigenschaften

Winkelformeln

Die Summe der Innenwinkel eines Siebenecks beträgt immer 900° und folgt aus einer allgemeinen Formel für Vielecke, wobei ${displaystyle n}$ die Anzahl der Scheitelpunkte gibt an:

${Displaystyle Summe Alpha =(n-2)cdot 180^{circ }=5 imes 180^{circ }=900^{circ }}$

Der Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten in einem regelmäßigen Siebeneck ist

${displaystyle alpha ={frac {(n-2)}{n}}cdot 180^{circ }={frac {5}{7}}imes 180^{circ }ungefähr 128{,}57^{circ }}$

Formel für die Fläche A

Die Fläche eines Heptagons kann berechnet werden, indem man das Heptagon in Dreiecke teilt. Bei einem regelmäßigen Heptagon kann die Fläche mit einer eindeutigen Formel in der Länge der Seite ausgedrückt werden ${Anzeigestil s}$:

${displaystyle A={ frac {7}{4}},s^{2},Kinderbett {frac {450^{circ }}{7}}ca. 3{,}63391,s^{2}}$

Oder ausgedrückt in der Strahl${Anzeigestil R}$ des umschriebenen Kreises:

${displaystyle A={ frac {7}{2}},R^{2},sin {frac {360^{circ }}{7}}ungefähr 2{,}73641,R^{2}}$

Seitenlängenformel

Man kann die Länge anpassen ${Anzeigestil s}$ berechne die Seite eines regelmäßigen Siebenecks aus dem Radius ${Anzeigestil R}$ des umschriebenen Kreises:

${displaystyle s=2,R,sin {frac {180^{circ }}{7}}ungefähr 0{,}868,R}$

Näherungskonstruktion regelmäßige Siebeneck

Das regelmäßige Siebeneck ist das regelmäßige Vieleck mit der kleinsten Anzahl von Ecken, für das no Konstruktion mit Zirkel und Lineal existiert. Dies liegt daran, dass 7 nicht Fermat-Primzahl ist.

Es gibt jedoch Näherungskonstruktionen, die für praktische Anwendungen ausreichend genau sind. Ein sehr einfaches Beispiel ist das folgende, das davon ausgeht, dass a Kreis der als umschriebener Kreis dient:

1. Von dem Center M one zeichnet eine Linie, die den Kreis in X schneidet;
2. Dann zeichnet man einen Kreis mit Mittelpunkt X durch M, der den Kreis wiederum in den Punkten A und Y schneidet;
3. AY und MX schneiden sich in der Mitte H von AY;
4. Das Rote Liniensegment AH ist eine gute Annäherung an die Seitenlänge eines regulären Siebenecks;
5. Durch Umkreisen finden wir die Scheitelpunkte B bis G des Siebenecks von A.

Um zu zeigen, wie gut die Näherung ist, leiten wir aus dem rechtwinkligen Dreieck AHM mit der Met Satz des Pythagoras:

${displaystyle AH={sqrt {MA^{2}-MH^{2}}}}$

Mit

${Anzeigestil MA=R}$ ; ${displaystyle MH={ frac {1}{2}}R}$ und ${displaystyle AH=s}$

man bekommt

${displaystyle s={sqrt {R^{2}-left({ frac {1}{2}}Right)^{2}}}={ frac {1}{2}}{sqrt {3}},Rapprox 0{,}8660254,R}$

In der Konstruktion ist der Fehler also:

${displaystyle f={frac {0{,}8660254-0{,}8677675}{0{,}8677675}}ungefähr -0{,}002}$

Die gefundene Seitenlänge ist daher etwas zu kurz und beträgt ca. 99,8 % der tatsächlichen Länge. Erst ab einem Radius von ca. 57,4 Zentimeter der fehler ist mehr als eins Millimeter.

Siebeneck im Alltag

50 Peseta Münze zu Ehren des Olympische Spiele 1992 in Barcelona.

Die Münze von 20 Euro-Cent hat sieben Kerben, die Eckpunkte eines regelmäßigen Siebecks, um Blinden und Sehbehinderten die Unterscheidung von anderen Euro-Münzen zu erleichtern. Ebenfalls britisch Münzen von 20 und 50 Pfennige haben eine siebeneckige Form sowie antike Spanisch 50 und 200. Münzen Peseta.

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