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Ein normales Siebeneck

Das siebeneckig oder siebeneckig ist ein Polygon mit siebzehnEcken und ebenso siebzehn Seiten.

Wenn alle Seiten des Siebenecks gleich lang und alle Winkel gleich sind und die Punkte daher regelmäßig auf a . verteilt sind umschriebener Kreis lügen, dann sprechen wir von a regulär siebeneckig. Das Besondere an diesem regulären Siebeneck ist, dass dies baubar mit Zirkel und Lineal ist. Dies wurde bewiesen durch Carl Friedrich Gauß im 1796. Dies folgt daraus, dass 17 a Fermat-Primzahl ist. In diesem Artikel wird nur das reguläre Heptadekagon diskutiert.

Eigenschaften

• Der Zentriwinkel α hat einen Wert von ${displaystyle {frac {360^{circ }}{17}}ca. 21{,}17647059^{circ }}$.
• Das Verhältnis zwischen Seitenlänge und Strahl des umschriebenen Kreises ist:

${displaystyle s=2cdot r_{u}cdot sin left({frac {alpha }{2}}ight)approx r_{u}cdot 0{,}3675}$

• Gauß' Beweis zeigte, dass die Kosinus des Zentriwinkels ist gleich:

${displaystyle cos {frac {360^{circ }}{17}}={frac {-1 {sqrt {17}} {sqrt {2left(17-{sqrt {17}}ight)}} 2{sqrt {17 3{Quadrat {17}}-{Quadrat {2links(17-{Quadrat {17}}ight)}}-2{Quadrat {2links(17 {Quadrat {17}}ight)}}}}}{16}} }$

Daraus lässt sich die Konstruierbarkeit ableiten.

Konstruktion

Im 1825 veröffentlicht Johannes Erchinger die erste ist eine Konstruktion für das reguläre Siebeneck in 64 Schritten.

1. Zeichne den umschriebenen Kreis k₁ des Siebenecks mit Center Ö;
2. Zeichne ein Durchmesser AB;
3. Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte ich das k₁ schneidet in C und D;
4. Konstruiere das Zentrum E von DO;
5. Konstruiere das Zentrum F von EO und zeichne FA;
6. Konstruieren Sie die Trennlinie w₁ des Winkels OFA;
7. Konstruiere die Winkelhalbierende w₂ des spitzen Winkels zwischen m und w₁. Der Schnittpunkt mit AB ist G;
8. Konstruiere die Senkrechte s zu w₂ von F;
9. Konstruiere die Winkelhalbierende w₃ des rechten Winkels zwischen s und w₂. Der Schnittpunkt mit AB ist H;
10. Konstruieren Sie die Kreis k₂ mit Durchmesser HA. Die Schnittpunkte mit CD sind J und K;
11. Konstruiere den Kreis k₃ mit Mittelpunkt G durch J und K. Die Schnittpunkte mit AB sind die Punkte L und N, wobei N nahe dem Mittelpunkt M von k . liegt₂;
12. Konstruiere a Tangente zu k₃ von N.
13. Die Schnittpunkte dieser Tangente mit k₁ sind die Punkte P₃ und P₁₄ des regulären Siebenecks. Mit A = P₀ und d₁ = |P₀p₃| wir können nun von einer neuen Ecke aus den Abstand d . wiederholen₁ Finde die verbleibenden Eckpunkte, die übereinstimmen.

Bau von Erchinger in 64 Schritten als Animation.

Siehe auch

• isoperimetrischer Quotient
• Carlyle-Kreis

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