WikiDer > Funktionsrechnung

Funktionsrechnung (Synonyme: Symbolrechnung, symbolische Berechnung mit Operatoren) ist eine Sammlung von Techniken aus der Mathematik, vor allem vom Mathematiker Analyse, zu gewöhnlich Funktionen gelten insbesondere für komplexere Objekte lineare Transformationen.

Als eine Funktion ${displaystyle f}$ ist definiert durch (Real oder Komplex) Zahlen, dann ist es nicht a priori garantiert, dass eine sinnvolle Bedeutung gegeben werden kann ${Anzeigestil f(A)}$ wenn ${Anzeigestil A}$ etwas anderes als eine Zahl, zum Beispiel a Matrix oder eine lineare Transformation.

Polynomfunktionen

mit jedem Polynom${Anzeigestil f(X)}$ kommt ein Polynomfunktion${displaystyle f}$ stimmt mit der Zahl überein ${Anzeigestil x}$ zeigt an ${Anzeigestil f(x).}$ Jedes Polynom wird gebildet durch die Variable ${Anzeigestil X,}$ konstante Zahlen und die Operationen Zusatz und Multiplikation. Das bedeutet, dass Polynomfunktionen auch in jeder algebraischen Struktur sinnvoll sind, in der eine Addition und eine Multiplikation definiert sind, wie in Ringe.

Beispielsweise ${Anzeigestil A}$ ist eine quadratische reelle 2x2-Matrix und ${displaystyle f}$ ist das Polynom ${Anzeigestil f(X)=X^{2}-5X 1,}$ dann ist

${Anzeigestil f(A)=Acdot A-5A 1}$

wo der punkt ${displaystyle cdot }$ es Matrixprodukt schlägt vor.

Analytische Funktionen

Analytische Funktionen sind Funktionen, die in einer Umgebung an einem beliebigen Punkt ihrer Domain kann dargestellt werden durch a Potenzreihe:

${displaystyle f(x)=f(x_{0}) sum _{n=1}^{infty }{frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x- x_{0})^{n}}$

In einer algebraischen Struktur, in der nicht nur eine Addition und eine Multiplikation existieren, sondern auch der Begriff von Konvergenz (von a Reihensumme) kann solchen Funktionen eine Bedeutung gegeben werden. Der natürliche Kontext dafür ist a Banach-Algebra.

Quadrat ${Anzeigestil n imes n}$Matrizen mit reellen oder komplexen Elementen bilden eine Banach-Algebra mit if Norm das Maximum der absolute Werte der Elemente. Zum Beispiel können wir das natürliche Exponentialfunktion um eine Matrix zu definieren:

${displaystyle exp(A)=sum _{n=0}^{infty }{frac {A^{n}}{n!}}}$

Solche Potenzreihen konvergieren, wenn die gegebene (komplexe) analytische Funktion in der Umgebung der Spektrum der Matrix ${Anzeigestil A}$ (die Menge des Komplexes Eigenwerte von ${Anzeigestil A}$). Die Exponentialfunktion ist auf der gesamten komplexen Ebene analytisch, so dass die obige Potenzreihe für jede quadratische Matrix konvergiert.

Das Spektrum einer kommutativen Banach-Algebra

Mit einem Kommutativkomplex Banach-Algebra ${Anzeigestil A}$ Gibt es einen eindeutigen Zusammenhang zwischen Maximum Ideale einerseits und Homomophismen von ${Anzeigestil A}$ zu den komplexen Zahlen andererseits. Diese Sammlung ${Anzeigestil Delta }$ heiß Spektrum von ${Anzeigestil A}$ und ist ausgestattet mit dem schwache Topologie (sehen topologischer Vektorraum). Es gibt jetzt eine Funktionalrechnung für kontinuierliche Funktionen von Δ zu den komplexen Zahlen. Das Gelfand-Transformation eines Elements ${Anzeigestil x}$ von ${Anzeigestil A}$ verbindet mit ${Anzeigestil x}$ das komplexwertige Funktion${displaystyle {Hut {x}}}$ auf ${Anzeigestil Delta ,}$ dass jeder Homomorphismus ${displaystyle h}$ auf seinem Funktionswert ${Anzeigestil h(x)}$ schildert.

Das wichtigste Ergebnis in diesem Zusammenhang ist die Satz von Gelfand-Naimark. Dies beschränkt sich auf eine spezielle Art der Banach-Algebra, B*-Algebra namens. Eine B*-Algebra ist eine Banach-Algebra mit einer Operation Involution, gekennzeichnet mit einem Stern (*), der die Eigenschaft erfüllt

${Anzeigestil für alle xin A:|xx^{*}|=|x|^{2}}$

Die Aussage lautet: Sie ${Anzeigestil A}$ eine kommutative B*-Algebra mit maximalem Idealabstand ${Anzeigestil Delta .}$ Die Gelfand-Transformation ist a isometrisch Isomorphismus zwischen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil C(Delta),}$ mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass

${displaystyle h(x^{*})={overline {h(x)}}}$

Die Funktionalrechnung erlaubt somit stetige komplexe Funktionen auf dem Spektrum von ${Anzeigestil A}$ identifiziere dich mit beliebigen Elementen von ${Anzeigestil A.}$

Das Spektrum eines Operators in einem Hilbertraum

wenn ${Anzeigestil A}$ ein normal, begrenzt Operator ist in einem Hilbert-Raum${Anzeigestil H,}$ kann Bedeutung gegeben werden ${Anzeigestil f(A)}$ für jedes messbar komplexe Funktion auf dem Spektrum von ${Anzeigestil A}$ (also nicht nur stetige oder analytische Funktionen). Zu diesem Zweck ist ein bedienerwürdiger messen definiert, ein sogenannter Auflösung der Identität.

Die Funktionalrechnung für normale Operatoren geht noch für selbst hinzugefügt unbegrenzte Betreiber. In diesem Fall ${Anzeigestil f(A)}$ begrenzt, wenn und nur wenn ${displaystyle f}$ ist eine beschränkte Funktion. Somit gilt für jeden selbstaddierten Operator, dessen (immer reelles) Spektrum nach oben beschränkt ist, a einparametrige Halbgruppe von Operatoren damit verbundenen:

${displaystyle mathbb {R} oder {mathcal {B}}(H):tmapsto exp(tA)}$