WikiDer > Нормальный конус (функциональный анализ)

Normal cone (functional analysis)

В математике, особенно в теория порядка и функциональный анализ, если C конус в 0 в топологическое векторное пространство Икс такое, что 0 ∈ C и если это фильтр соседства в начале координат, затем C называется нормальный если , куда и где для любого подмножества S из Икс, [S]C : = (S + C) ∩ (S - C) - это C-насыщение из S.[1]

Нормальные конусы играют важную роль в теории упорядоченные топологические векторные пространства и топологические векторные решетки.

Характеристики

Если C конус в ТВС Икс тогда для любого подмножества S из Икс позволять быть C-насыщенный корпус S из Икс и для любой коллекции подмножеств Икс позволять . Если C конус в ТВС Икс тогда C является нормальный если , куда фильтр окрестности в начале координат.[1]

Если представляет собой набор подмножеств Икс и если это подмножество тогда это фундаментальное подсемейство из если каждый содержится как подмножество некоторого элемента . Если семейство подмножеств ТВС Икс затем конус C в Икс называется -конус если является фундаментальным подсемейством и C это строгий -конус если является фундаментальным подсемейством .[1] Позволять обозначим семейство всех ограниченных подмножеств Икс.

Если C конус в ТВС Икс (над действительными или комплексными числами), то следующие значения эквивалентны:[1]

  1. C нормальный конус.
  2. Для каждого фильтра в Икс, если тогда .
  3. Существует база соседства в Икс такой, что подразумевает .

и если Икс является векторным пространством над вещественными числами, то мы можем добавить к этому списку:[1]

  1. В начале координат существует база окрестностей, состоящая из выпуклых, сбалансированный, C-насыщенный наборы.
  2. Существует производящая семья полунорм на Икс такой, что для всех и .

и если Икс является локально выпуклым пространством и если двойственный конус к C обозначается тогда мы можем добавить к этому списку:[1]

  1. Для любого равностепенно непрерывного подмножества , существует равноконкурентная такой, что .
  2. Топология Икс является топологией равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах .

и если Икс является непонятный локально выпуклое пространство и если семейство всех сильно ограниченных подмножеств тогда мы можем добавить к этому списку:[1]

  1. Топология Икс - топология равномерной сходимости на сильно ограниченных подмножествах .
  2. это -конус в .
    • это означает, что семья является фундаментальным подсемейством .
  3. это строгий -конус в .
    • это означает, что семья является фундаментальным подсемейством .

и если Икс - упорядоченная локально выпуклая ТВП над вещественными числами, положительный конус которых равен C, то мы можем добавить к этому списку:

  1. существует хаусдорф локально компактный топологическое пространство S такой, что Икс изоморфна (как упорядоченная ТВП) с подпространством р(S), куда р(S) - пространство всех действительнозначных непрерывных функций на Икс в топологии компактной сходимости.[2]

Если Икс это локально выпуклый ТВС, C конус в Икс с двойной конус , и это насыщенная семья слабо ограниченных подмножеств , тогда[1]

  1. если это -конус тогда C нормальный конус для -топология на Икс;
  2. если C нормальный конус для -топология на Икс в соответствии с тогда это строгий -конус в .

Если Икс - банахово пространство, C замкнутый конус в Икс,, и семейство всех ограниченных подмножеств затем двойной конус нормально в если и только если C это строгий -конус.[1]

Если Икс является банаховым пространством и C конус в Икс то следующие эквиваленты:[1]

  1. C это -конус в Икс;
  2. ;
  3. это строгий -конус в Икс.

Характеристики

  • Если Икс является ТВП Хаусдорфа, то каждый нормальный конус в Икс - собственный конус.[1]
  • Если Икс является нормируемым пространством и если C нормальный конус в Икс тогда .[1]
  • Предположим, что положительный конус упорядоченной локально выпуклой ТВП Икс слабо нормально в Икс и это Y - упорядоченная локально выпуклая ТВП с положительным конусом D. Если Y = D - D тогда ЧАС - ЧАС плотно в куда ЧАС канонический положительный конус и это пространство с топологией простой сходимости.[3]
    • Если семейство ограниченных подмножеств Икс, то, по-видимому, нет простых условий, гарантирующих, что ЧАС это -конус в , даже для самых распространенных типов семей ограниченных подмножеств (за исключением очень особых случаев).[3]

Достаточные условия

Если топология на Икс является локально выпуклым, то замыкание нормального конуса - нормальный конус.[1]

Предположим, что семейство локально выпуклых ТВП и что конус в .Если является локально выпуклой прямой суммой, то конус нормальный конус в Икс если и только если каждый нормально в .[1]

Если Икс является локально выпуклым пространством, то замыкание нормального конуса - нормальный конус.[1]

Если C конус в локально выпуклой ТВП Икс и если дуальный конус C, тогда если и только если C слабо нормально.[1] Каждый нормальный конус в локально выпуклой TVS слабо нормален.[1] В нормированном пространстве конус нормален тогда и только тогда, когда он слабо нормален.[1]

Если Икс и Y упорядочиваются локально выпуклыми ТВП и если семейство ограниченных подмножеств Икс, то если положительный конус Икс это -конус в Икс и если положительный конус Y нормальный конус в Y тогда положительный конус нормальный конус для -топология на .[4]

Смотрите также

Рекомендации

  • Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.CS1 maint: ref = harv (связь)