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In dem Lineare Algebra ist ein normale Matrix ein Quadrat Matrix von komplexe Zahlen von denen die Eigenvektorenaufrecht übereinander stehen.

Definition

Eine quadratische Matrix ${Anzeigestil A}$ über den komplexen Zahlen heißt normal wenn er mit seinem Einsiedler hinzugefügt${Displaystil A^{*}}$pendelt:

${Displaystil A^{*}A=AA^{*}}$

Die hermitesche Additionsmatrix ${Displaystil A^{*}}$ hat als Elemente die komplex konjugiert des transponierte Matrix von ${Anzeigestil A.}$

Beispiele

Alle komplexen Vielfachen von Einheitenmatrix sind normal, da sie mit allen Matrizen kommutieren.

Jeder Hermitesche Matrix ist normal. Die definierende Bedingung ist nämlich ${Displaystil A^{*}=A}$ Aus dem gleichen Grund anti-hermitesche Matrizen (${Displaystil A^{*}=-A}$) normal, reelle symmetrische (bzw. antisymmetrische) Matrizen sind Spezialfälle davon.

Jeder unitäre Matrix ist normal. Unitarität ist definiert durch die Bedingung ${Anzeigestil A^{*}A=I.}$ Indem man das hermitesche Suffix beider Mitglieder nimmt, wird dies zu ${Displaystil AA^{*}=I.}$ Unter den echten Matrizen sind dies die orthogonale Matrizen.

Es gibt zum Beispiel auch normale Matrizen, die keiner dieser speziellen Klassen angehören

${displaystyle A={ egin{pmatrix}1&1&0/0&1&1/1&0&1end{pmatrix}}}$

ist normal weil

${displaystyle A^{*}={ egin{pmatrix}1&0&1/1&1&0/0&1&1end{pmatrix}}, AA^{*}={ egin{pmatrix}2&1&1/1&2&1/1&1&2end{pmatrix}}=A^{*}A }$

Die Klasse der normalen Matrizen ist weder für die Addition noch für die Produkt von Matrizen. Wenn jedoch zwei normale Matrizen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ pendeln, dann sind auch ihre Summe und ihr Produkt normal. Dies erscheint als ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ sind gleichzeitig diagonalisierbar, dh sie werden im Rahmen des Spektralsatzes (siehe unten) durch dieselbe unitäre Matrix diagonalisiert.

Eigenschaften

Eine echte Matrix ${Anzeigestil A}$ ist normal dann und nur dann, wenn er mit seinem transponiert pendelt:

${displaystyle A^{ ext{T}}A=AA^{ ext{T}}}$

Spektralsatz: Eine komplexe Matrix ist genau dann normal, wenn sie einheitliches Äquivalent ist mit a diagonale Matrix, d.h. sie muss von einem geeigneten KomplexDrehung des grundlegende Vektoren, wird zu a diagonale Matrix. In Symbolen: ${Anzeigestil A}$ ist genau dann normal, wenn es eine Diagonalmatrix gibt ${Anzeigestil D}$ und eine unitäre Matrix ${Displaystil U}$ existieren, so dass ${Anzeigestil A=U^{-1}DU.}$

Für eine reelle Normalmatrix kann dies eine komplexe Drehung zu nicht-reellen Basisvektoren sein. Die Spalten von ${Displaystil U^{-1}}$ sind die Eigenvektoren von ${Anzeigestil A.}$

Eine komplexe Matrix ist genau dann normal, wenn ihre Eigenvektoren aufrecht übereinander stehen. Hier wird die Rechtwinkligkeit im Sinne des Hermiteschen Standard interpretiert Innenprodukt auf dem komplex ${displaystyle n}$-dimensionalKoordinatenraum.

Eine zufällige quadratische Matrix${Anzeigestil A}$ hat ein polare Zersetzung${Anzeigestil A=UP,}$ in welchem ${Displaystil U}$ ist eine unitäre Matrix und ${Anzeigestil P}$ ein positive semi-definite Matrix. wenn ${Anzeigestil A}$ ist invertierbar, sei ${Displaystil U}$ und ${Anzeigestil P}$ eindeutig bestimmt. wenn ${Anzeigestil A}$ ist normal, dann pendeln ${Displaystil U}$ und ${Displaystil P.}$

Verallgemeinerung auf unendlichdimensionale Räume

EIN normaler Betreiber${Anzeigestil A}$ in einem Komplex Hilbert-Raum ist ein beschränkter linearer Operator (Transformation des Hilbertraums), der mit seiner Operator hinzugefügt.

Für normale Operatoren gibt es a Spektralrechnung. mit jedem messbar komplexe Funktion ${displaystyle f}$ auf der Spektrum des Operators assoziiert man natürlich einen Operator ${Anzeigestil f(A).}$ Mit der komplexen Zusatzfunktion ${displaystyle {overline {f}}}$ entspricht dem hermitesch addierten Operator ${Anzeigestil f(A^{*})=f(A)^{*},}$ und aus der Multiplikation von Funktionen wird die Montage von Operatoren.

Wenn der normale Betreiber kompakt ist, dann hat der Hilbertraum a orthonormalSchauder-Basis die vollständig aus Eigenvektoren des Operators besteht.