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August De Morgan

August De Morgan (Madurai (Indien), 27. Juni1806^[1] – London, 18. März1871) war ein britischMathematiker und Logiker. Er formulierte die Gesetze von De Morgan und war der erste, der den Beweis bestanden hat volle Einweisung eine solide Grundlage gegeben^[2]. Er gründete in 1865 das London Mathematische Gesellschaft.

Biografie

Kindheitsjahre

De Morgan wurde in der Kronkolonie geboren Indien, in der Provinz Madras, in der Stadt Madura (derzeit Madurai genannt, in der Provinz Tamil Nadu). Er war ein Sohn von Oberst De Morgan, der verschiedene Positionen bei der Britische Ostindien-Kompanie. Seine Mutter war mit James Dodson verwandt, einem Mathematiker, der dafür bekannt war, eine Anti-Logarithmus-Tabelle (eine Tabelle der Exponenten zugehörig Logarithmen). Als Augustus sieben Monate alt war, schickte Colonel De Morgan seine Familie nach England. Da sein Vater und sein Großvater beide in Indien geboren wurden, sagte De Morgan von sich selbst, er sei "weder Engländer noch Schotte, noch Ire, sondern ein freistehender Brite". Er benutzte den Fachbegriff für einen Kandidaten von Oxford oder Cambridge die keiner der Schulen dieser Universitäten angehörten.

De Morgans Vater starb, als Augustus zehn Jahre alt war. Seine Mutter lebte dann an verschiedenen Orten im Südwesten Englands, und De Morgans frühe Ausbildung war in Schulen von geringem Ansehen und Bedeutung. Seine Eignung für Mathematik blieb unbemerkt, bis er vierzehn war. Ein Freund der Familie bemerkte dann zufällig, wie Augustus eine komplexe Figur aus dem Werk von Euklid signiert mit Kompass und Herrscher. Sie erklärte ihm die Bedeutung von Euklid und leitete ihn in die Auseinandersetzung ein.

De Morgan litt an einer körperlichen Behinderung: Eines seiner Augen war unterentwickelt und unbrauchbar. Aus diesem Grund trieb er keinen Sport wie andere Jungen und wurde von Zeit zu Zeit in der Schule gemobbt. Verschiedene Psychologen dachte, es bedürfe zwei Augen, um Tiefe und Solidität einzuschätzen, aber De Morgan bemerkte, dass er damit, soweit er das beurteilen konnte, nicht mehr Schwierigkeiten hatte als andere.

Seine Sekundarschulbildung erhielt er von Herrn Parsons, einem Fellow des Oriel College in Oxford, der sich mehr für Klassiker als für Mathematik interessierte. Seine Mutter war ein aktives (und engagiertes) Mitglied der anglikanische Kirche und wollte, dass ihr Sohn Priester wird. Aber De Morgan verhielt sich zu dieser Zeit eher stur, wohl auch wegen seiner körperlichen Nachteile.

Universitäts Bildung

Im 1823, im Alter von sechzehn Jahren ging De Morgan an die Trinity College zu Cambridge. Dort wurde er empfangen von George Pfau und William Whewell, seine wichtigsten Lehrer, mit denen er zeitlebens befreundet blieb. Von Peacock De Morgan hat er seine Vorliebe für die Erneuerung der Mathematik, von Whewell für die Erneuerung der Logik; beide wurden für den Rest seines Lebens zu zentralen Bestandteilen seiner Arbeit.

Seine Hauptbeschäftigung in diesen Jahren war die pfeifendie er sehr gut gespielt hat. Er war kein Athlet, aber in Musikgesellschaften sehr prominent. Seine Vorliebe für Wissen um des Wissens willen kostete viel Zeit und hinderte ihn an einer gründlichen Vorbereitung auf die Mathe-Olympiade. Dadurch war er der einzige vierte Streiter seines Jahrgangs (drittes Jahr, der das Mathematik-Tripos mit Auszeichnung bestand). Damit hatte er zwar das Recht erworben, sich Bachelor of Arts zu nennen, aber für den höheren Titel Master of Arts musste er eine Prüfung ablegen Theologie ausziehen, starten, abheben, losfahren. De Morgan war jedoch trotz seiner Erziehung in der anglikanischen Kirche vehement dagegen, eine solche Prüfung abzulegen oder gar zu unterschreiben. Theologische Prüfungen für höhere Titel wurden in Oxford und Cambridge abgelegt 1875 abgeschafft.

Die Universität London

Da er keine Stelle in Cambridge bekommen konnte, entschied sich De Morgan in London Wohnsitz nehmen und der Rechtsanwaltskammer beitreten. Er stellte jedoch fest, dass er es vorzog, Mathematik zu unterrichten, anstatt Recht lesen. Zufälligerweise wurde zu dieser Zeit die Gründung der Universität London. Die beiden alten Universitäten des Landes waren so mit theologischen Türen und Schwellen verschlossen, dass es juden und Ungläubige ("Ketzer" oder "Abtrünnige" in der Universitätsterminologie) war dort kaum zu studieren, geschweige denn zu arbeiten. Als Reaktion darauf entschied sich eine Gruppe Liberale Männer, die die London University auf der Grundlage religiöser Neutralität gründen. De Morgan, damals 22 Jahre alt, wurde zum Professor in dem Mathematik. Sein Einführungsvortrag "Zum Studium der Mathematik" ist ein Klassiker von bleibendem Wert zur naturwissenschaftlichen Bildung, der inzwischen in mehreren Ländern neu aufgelegt wurde.

Zu De Morgans Zeit war die London University eine neue Universität, an der die Beziehung zwischen den Vorstand, das Senat (die Professoren) und die Studenten waren noch nicht vollständig kristallisiert. Es kam zu einem Streit zwischen einem Lehrer Anatomie und ein Student; Die Reaktion des Vorstands war so, dass eine große Zahl von Dozenten (angeführt von De Morgan) zurücktrat. Ein neuer Mathematikprofessor wurde berufen, der einige Jahre später ertrank. De Morgan, der sich unter den Lehrern als Lehrer erwiesen hatte, kehrte auf Einladung an seinen Lehrstuhl zurück, der für die nächsten dreißig Jahre seine ungeteilte Aufmerksamkeit blieb.

Ein weiteres Vehikel für De Morgan, um zu unterrichten, waren die Briten Gesellschaft zur Verbreitung nützlichen Wissens. Diese Institution für das Gemeinwohl war von denselben Reformern gegründet worden, die die London University gegründet hatten (die schottische Lord Brougham, Vorname Wissenschaftler und Politiker, war ein führendes Mitglied dieser Gruppe) mit dem Ziel, Wissen durch kostengünstige und klar geschriebene Traktate zu verbreiten, die von den besten Schriftstellern ihrer Zeit verfasst wurden. De Morgan war einer ihrer produktivsten Schriftsteller. Unter seinen von der Gesellschaft veröffentlichten Werken befindet sich ein großartiges Werk mit dem Titel Die Differential- und Integralrechnung über Differential Infinitesimalrechnung und Integration und etwa ein Sechstel der Artikel des Penny Cyclopaedia.

Als De Morgan nach London zog, freundete er sich mit William Frend an (trotz seiner unorthodoxen mathematischen Ansichten über negative Größen). Beide waren Mathematiker und Buchhalter, und ihre religiösen Ansichten waren mehr oder weniger ähnlich. Frend lebte in einem (damals) Vorort von London in einem Herrenhaus, das zuvor gehört hatte Daniel Defoe und Isaac Watts. De Morgan war mit seiner Flöte ein gern gesehener Gast. Im 1837 er heiratete Sophia Elizabeth, eine von Frends Töchtern.

De Morgan hatte einen Sohn namens George, der selbst am University College und der University of London ebenfalls einen besonderen Namen erhielt. Zusammen mit einem anderen Alumnus mit den gleichen Ideen beschloss er, in London eine mathematische Gesellschaft zu gründen. Es sollte nicht nur wie bei der Royal Society hier Papiere entgegengenommen, sondern auch gelesen, rezensiert und diskutiert werden. Das erste Treffen fand auf dem Gelände des University College statt; De Morgan war Vorsitzender, George erster Sekretär. Es war der Anfang des London Mathematische Gesellschaft.

Emeritus und Tod

Im 1866 kam der Stuhl Philosophie des Geistes am Universitätskolleg erhältlich. Die Senatsgarbe Dr. Martineau, a Unitarisch Priester und Professor für Philosophie des Geistes, als Kandidat vorgeschlagen. Aber der Exekutivrat hatte Mitglieder, die sich gegen einen Unitarier wandten, sowie Mitglieder, die sich auf religiöser Grundlage gegen die Philosophie wandten. Ein Laie wurde von Bain und Spencers Schule ernannt. De Morgan hielt das Ende der religiösen Neutralität für die Grundlage und trat sofort zurück. Er war damals 60. Seine Studenten zwangen ihn in eine Rente von 500 Pfund, doch der Unfall traf ihn. Sein Sohn George, der zu De Morgans Freude in Anlehnung an das andere bekannte Vater-Sohn-Paar der Mathematik der "jüngere Bernoulli" genannt wurde, starb zwei Jahre nach seiner Pensionierung. Kurz darauf starb eine seiner Töchter. Fünf Jahre nach seiner Pensionierung am 18. März1871 De Morgan starb im Alter von 65 Jahren an a Nervenzusammenbruch (wahrscheinlich stressbedingt).

Mathematische Werke

De Morgan war ein brillanter und schlagfertiger Schriftsteller, sowohl in der gewöhnlichen Korrespondenz als auch in Polemik. Zu seinen Lebzeiten tauchten zwei Sir William Hamiltons auf, die oft verwirrt sind. Ein Sir William war ein Baronet, Schotte und Professor in der Logik und Metaphysik zum Universität von Edinburgh; der andere war Ritter (ein ihm verliehener Titel), Ire und Professor Astronomie zum Universität Dublin. Das Baronnet hat die Lehre von der Quantifizierung von Prädikaten zur Logik beigetragen. Der Ritter, in vollem Umfang Sir William Rowan Hamilton genannt, leistete einen Beitrag zur Mathematik, insbesondere zur geometrische Algebra und war der erste, der darüber sprach Quaternionen. De Morgan war von der Arbeit beider fasziniert und korrespondierte mit beiden; aber die Korrespondenz mit dem Schotten endete in einem öffentlichen Streit und die Korrespondenz mit dem Iren in einer Freundschaft, die nur mit dem Tod endete. In einem seiner Briefe an Rowan schreibt De Morgan: "Lassen Sie es Ihnen wissen, dass ich entdeckt habe, dass der andere Sir WH und Sie wechselseitige Pole für mich sind (intellektuell und moralisch in dem Sinne, dass das schottische Baronnet ein polares Bär und du, wollte ich sagen, ein Polarlord. Wenn ich ein Forschungsstück nach Edinburgh schicke, behauptet die WH, ich hätte es ihm gestohlen. Wenn ich dir eines schicke, nimmst du es mir ab, verallgemeinere es es auf einen Blick, es veröffentlicht und macht mich zum zweiten Entdecker eines Bekannten Gestell."

De Morgans Briefwechsel mit dem Mathematiker Hamilton dauerte 24 Jahre und umfasste sowohl Diskussionen allgemeiner Natur als auch Diskussionen über mathematische Themen. Sie zeichnen sich durch Hamiltons Brillanz und De Morgans Witz aus. Das Folgende ist ein Beispiel. Hamilton schrieb: "Meine Kopie von Berkeleys Werken gehört nicht mir. Wie Sie wissen, ist er ein Ire wie ich." De Morgan antwortete: „Ihr Satz ‚Meine Kopie gehört nicht mir‘ ist kein Unsinn. Im Englischen ist es sehr akzeptabel, ein Wort in mehreren Bedeutungen im selben Satz zu verwenden, besonders wenn es um die Verwendung geht. Sprache ist kein Unsinn, weil sie ausdrückt Bedeutung, aber die Inkongruenz von Ideen (wie der Ire, der ein Seil aufrollt, aber nicht das Ende erreicht und dann verzweifelt ausruft, dass jemand das andere Ende abgeschnitten hat) ist der wahre Unsinn.

De Morgan hatte alle möglichen seltsamen Gewohnheiten. Neben seiner fast morbiden Einstellung zur Religion haben wir Beispiele dafür gesehen, wie leicht er seine Berufungen aufgab. Anlässlich der Ernennung seines Freundes Lord Brougham zum Rektor Magnificus der University of Edinburgh verlieh ihm der Senat einen Ehrendoktor in der Literatur befohlen; er lehnte diese Ehrung ab, weil er der Meinung war, dass der Titel der Flagge nicht der Realität entsprach. Er schrieb einmal seinen eigenen Namen: Augustus De Morgan, H - O - M - O - P - A - U - C - A - R - U - M - L - I - T - E - R - A - R - U - m.

Er hasste das Land. Während seine Familie sich an der Küste vergnügte und andere Wissenschaftler auf dem Land die Treffen der British Association genossen, wurde er in den heißen und staubigen Bibliotheken der Stadt zurückgelassen. Er sagte, er fühlte sich wie Sokrates, der einmal gesagt hat, je weiter er weg ist Athen kam, desto weiter war er vom Glück entfernt. Er versuchte nie, Fellow der Royal Society zu werden, noch nahm er an einer Versammlung der Gesellschaft teil; auf Nachfrage erklärte er, dass er weder Ideen noch Sympathien mit den physikalischen Philosophen teile. Seine Haltung hatte zweifellos mit seiner Behinderung zu tun, die ihn daran hinderte, Beobachter oder Experimentator zu sein. Er hat nie bei den Wahlen gewählt und es nie besucht Unterhaus, das Tower of London oder der Westminster Abbey.

Würden De Morgans Werke in Sammelbänden veröffentlicht, würden sie eine kleine Bibliothek füllen. Zu seinen Werken gehörten nicht nur seine Schriften für die Useful Knowledge Society. Dank der Bemühungen von Peacock und Whewell gab es ein Cambridge philosophischVerband; zu den Traktaten dieser Vereinigung steuerte De Morgan vier Bände über die Grundlagen der Algebra und weitere vier über formale Logik bei. Die beste Darstellung seiner Sicht der Algebra findet sich in einem Werk mit dem Titel Trigonometrie und Doppelalgebra von 1849. Seine bisherige Sicht der Logik findet sich in einer Ausgabe von 1847. Sein charakteristischstes Werk heißt Ein Budget der Paradoxe. Diese Arbeit begann als eine Reihe von Briefen, die in der veröffentlicht wurden Athensum Zeitschrift; sie wurden gegen Ende seines Lebens von De Morgan selbst überarbeitet und erweitert und posthum von seiner Witwe veröffentlicht. Diese Arbeit hat den Ruf, unterhaltsam zu sein, und es wird empfohlen, Korrektur zu lesen.

Die Theorie der Algebra von George Pfau wurde von D. F. Gregory stark verbessert, der in der Theorie den Vorrang auf die Festigkeit einer Reihe von formalen Gesetzen und nicht auf die Beständigkeit einer Reihe gleichwertiger Formen einstellte. Diese neue Theorie der Algebra als Wissenschaft der Symbole und der Gesetze ihrer Kombination wurde von De Morgan bis zu ihrem logischen Abschluss ausgearbeitet. Das Ergebnis wird immer noch von britischen Algebraisten befolgt. Chrystal basiert seine Lehrbuch der Algebra zum Beispiel in der Arbeit von De Morgan, obwohl ein aufmerksamer Leser bemerken könnte, dass er diese Theorie beim Umgang mit Infinitesimalen fast vollständig verwirft. Serie.

Trigonometrie und Doppelalgebra

De Morgans Theorie wird beschrieben in Trigonometrie und Doppelalgebra. In dem Kapitel mit dem Titel „Über die symbolische Algebra“ schreibt De Morgan: „Indem wir die Bedeutung von Symbolen verlassen, lassen wir auch die Bedeutung der Wörter, die sie beschreiben [diese Symbole], los ein Laut, der jeder Bedeutung beraubt ist. Es ist eine Form der Kombination, die durch dargestellt wird; wenn eine Bedeutung angegeben wird, wird auch das Wort Addition angegeben. Es ist wichtig für den Schüler zu bedenken, dass bis auf wenige Ausnahmen kein arithmetisches Symbol oder Das Wort in diesem Kapitel hat nur eine Bedeutung in diesem Kapitel, dessen Thema Symbole und die Gesetze sind, die ihre Kombinationen regeln, und bildet so eine symbolische Algebra, die später die Grammatik von hundert separaten und signifikanten Algebren ergibt Bedeutungen bedeuten Belohnung und Bestrafung und ein, B und C für Tugenden und Sünden stehen, könnte der Leser ihm nach Belieben zustimmen oder widersprechen, jedoch nicht basierend auf diesem Kapitel. Die einzige Ausnahme, die wir oben erwähnt haben, ist das Symbol = zwischen zwei Symbolen platziert, wie in ein = B. Er weist darauf hin, dass zwei Symbole die gleiche endgültige Bedeutung haben, die durch alle Schritte erreicht wird. Welche ein und B, wenn es sich um Mengen handelt, die gleiche Menge beschreiben; bei Operationen ist ihre Wirkung dieselbe, usw."

Es kann die Frage gestellt werden, warum das Symbol = von der Symboltheorie nicht erfasst werden kann. De Morgan spricht von einer Ausnahme, aber einer Ausnahme, die das Wesen der allgemeinen Regel festlegt. Außerdem braucht er das Symbol mit Bedeutung.

Dann listet De Morgan die grundlegenden Symbole der Algebra und einen Überblick über die Gesetze der Algebra auf. Die von ihm aufgelisteten Symbole sind 0, 1, , , ×, ÷ , ()⁽⁾ und Briefe. Alles andere ist abgeleitet. Seine Gesetzesliste umfasst 14 Überschriften, aber einige davon sind nur Definitionen. Die Gesetze selbst können in den folgenden Sätzen zusammengefasst werden (die De Morgan zugibt, dass sie nicht unabhängig voneinander sind):

1. Vorzeichengesetz: = , − = −, − = −, − − = , × × = ×, × ÷ = ÷, ÷ × = ÷, ÷ ÷ = ×.
2. Gesetz für Kommutativität: a b = b a, ab = ba.
3. Gesetz für Verteilungsfähigkeit: a(bc) = abac.
4. Indexgesetze: a^b×a^c = a^{b c}, (ein^b)^c = a^bc, (ab)^c = a^c×b^c
5. a-a = 0, a÷a = 1.

Diese letzten beiden Zeilen sind Reduktionsregeln.

De Morgan behauptet, einen vollständigen Überblick über die Gesetze der symbolischen Algebra zu geben, die jede symbolische Algebra erfüllen muss. Er legt fest: „Jedes Symbolsystem, das diesen Gesetzen und keinem anderen genügt – außer solchen, die aus Kombinationen dieser Gesetze bestehen – und das aus den vorstehenden Symbolen und keinen anderen besteht – außer denen, die als Abkürzungen für Kombinationen dieser Symbole eingeführt wurden – ist symbolische Algebra. Für De Morgan sind die vorstehenden Grundsätze keine Regeln, sondern formelle Gesetze. Das heißt, sie sind willkürlich gewählte Regeln, denen die algebraischen Symbole entsprechen müssen. De Morgan enthält jedoch nicht Gregorys Assoziativitätsgesetz (d. h. (a b) c = a (b c), (ab) c = a(bc)). Ein System, das sich als nicht kommutativ herausstellt, kann immer noch assoziativ sein; das Gegenteil ist nicht der Fall: Dem Symbolisten oder Formalisten ist es oft ein Dorn im Auge, dass die Kommutativität keine Tautologie ist. Dies wird jedoch durch die Realität unmöglich gemacht, indem eine solche Grammatik zu einer Algebra mit arithmetischen Regeln führt, die der Arithmetik nicht entsprechen.Für viele Formalisten sind die Indexgesetze ein trennendes Objekt, ein Regelwerk, das Schwierigkeiten bereitet. Viele Algebren ignorieren diese Regeln und tun sie als "angewandte Mathematik" ab. Es ist daher klar, dass eine vollständige Bestandsaufnahme der Gesetze der Algebra eine unmögliche Aufgabe ist, vergleichbar mit dem Problem der Philosoph der die Aufgabe hat, einen Überblick über das apriorische Wissen des Geistes zu geben.

Trigonometrie und Doppelalgebra besteht aus zwei Teilen: ein Stück Trigonometrie und eine Abhandlung über allgemeine Algebra, die er "doppelte Algebra" nannte. Es ist ein besonderes Werk, in dem De Morgan eine mathematische Intuition über die Richtung zeigt, in der die Definitionen der höheren Algebra gesucht werden sollten. Diese Intuition ist auch der Grund dafür, dass er zwei scheinbar getrennte Fächer, Algebra und Trigonometrie, in einem Buch vereint.

Die Behandlung der Algebra beginnt mit der Arithmetik, die nur aus Zahlen besteht und Betreiber wie Zusatz , Multiplikation × und dergleichen. Daraus wird die allgemeine Algebra entwickelt, in der Variablen an die Stelle von Zahlen treten und die Ergebnisse mit einer allgemeinen Basis von vergleichen Axiom's und Thesen trampen. In dieser Algebra entstanden Gruppen, die beispielsweise die Elemente a und b enthält und in denen Operationen wie a - b möglich sein können oder nicht; Es ergibt sich die Einsicht, dass bei jeder Algebra ein Vorbehalt hinsichtlich der Möglichkeit der Durchführung einer Operation gemacht werden muss.

Der nächste Schritt in der Algebra ist die Einzelalgebra, bei der Zahlen auf Segmente bezogen werden. Zahlen werden zu Mengen und können Mengen "vor" oder "zurück" sein. Das Zahlenreihe hat einen Ursprung und beginnt dort oder schneidet diesen Ursprung - negative Mengen werden in Form von Segmenten auf der anderen Seite des Ursprungs möglich. Und infinitesimale Unterschiede zwischen Zahlen erhalten Bedeutung; das Konzept, ein Segment zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Linie abschneiden zu können, wird zum Konzept von a reelle Zahl.

Dennoch bleiben Konzepte innerhalb dieser Algebra unmöglich. Der Ausdruck ${displaystyle a b{sqrt {-1}}}$ als Lösung zweiten Grades Polynom ist sehr problematisch. De Morgans Antwort darauf ist seine "doppelte Algebra", der vierte Schritt in der Entwicklung seiner Theorie (die wir heute die komplexe Zahl zu erwähnen). Dabei ist jedes Symbol der Algebra kein Schnittpunkt einer einzelnen Geraden, sondern ein Segment in a Zahlenraum. Und die Algebra ist doppelt, denn jedes Symbol besteht aus zwei Teilen (einer Länge und einer Richtung) statt aus einem. So wird ${displaystyle {sqrt{-1}}}$ die Bezeichnung eines Quadranten des Feldes, ${displaystyle a b{sqrt {-1}}}$ ein Ausdruck mit einer Abszisse a und einer Ordinate b (heute reelle und komplexe Teile genannt). Mathematiker wie Argand und Warren waren auch mit Doppelalgebra so weit gekommen, aber ihre Theorie gab einem Ausdruck wie . keine Bedeutung ${displaystyle e^{a{sqrt {-1}}}}$. De Morgan versuchte das Rätsel zu lösen, indem er solche Terme auf Terme der Form reduzierte ${displaystyle bq{sqrt{-1}}}$ und meinte, er habe hinreichend bewiesen, dass dies immer möglich sei. Bemerkenswert ist, dass diese Doppelalgebra alle oben diskutierten Regeln erfüllt und da jede scheinbar unmögliche Kombination von Symbolen interpretiert wurde, sieht sie auch wie eine vollständige Algebra aus.

Wenn das Vorstehende alles richtig ist, wurde erwartet, dass die Fortsetzung eine Dreifachalgebra sein sollte. wenn ${displaystyle a b{sqrt {-1}}}$ wirklich ein Segment im zweidimensionalen Raum ist, dann sollte es möglich sein, einen Ausdruck mit einem dritten Term zu finden, der ein Segment im dreidimensionalen Raum repräsentiert. Argand und andere hatten vermutet, dass es so etwas sein muss ${displaystyle a b{sqrt {-1}} c{sqrt {-1}}^{sqrt {-1}}}$, obwohl dies dem widerspricht Eulers Ergebnis, dass ${displaystyle {sqrt {-1}}^{sqrt {-1}}=e^{-{frac {1}{2}}pi }}$. De Morgan und andere haben viel Zeit und Mühe in das Problem gesteckt, aber erst als Hamilton sich einmischte, kamen die Dinge voran. Heute ist ganz klar: Die Doppelalgebra gibt nicht Länge und Richtung an, sondern einen Faktor und einen Winkel. Innerhalb der Doppelalgebra sind die Winkel auf eine einzige Ebene beschränkt. Die nächste Stufe darf also keine Dreifachalgebra sein, sondern eine Algebra, die Ebenen anderen Ebenen gegenüberstellt – eine Vierfachalgebra, bei der die Achsen der Ebene variabel werden.

Dies ist die Einsicht, die auch die Themenkombination in De Morgans Buch erklärt. Doppelte oder komplexe Algebra ist nichts anderes als eine Form der analytischen Trigonometrie (deshalb passt sie so gut zur Analyse von analysis Wechselströme). De Morgan selbst ist nie so weit gekommen; er starb in dem heiligen Glauben, dass "die doppelte Algebra das Äußerste in der Entwicklung der Konzepte der Arithmetik bleiben muss, soweit diese Symbole direkt von der Arithmetik vorgeschlagen werden."

formale Logik

wenn es mathematische Forschung zum Universität von Cambridge wurde wieder aufgenommen, das Studium der Logik wieder aufstellen. Whewell, der Master des Trinity College, war die treibende Kraft dahinter und veröffentlichte herausragende Arbeiten auf diesem Gebiet, darunter Geschichte der induktiven Wissenschaften und Philosophie der induktiven Wissenschaften. De Morgan wurde zweifellos bei seiner eigenen Untersuchung der Logik davon beeinflusst. Aber er war auch ein Anhänger anderer Zeitgenossen, darunter Sir William Rowan Hamilton von Edinburgh und Professor George Boolea von Kork.^[3]

De Morgans eigene Arbeit Formale Logik von 1847 zeichnet sich vor allem durch die Einführung des definitiven, numerischen Syllogismus. Von dem Aristotelisch Logik wissen wir, dass wenn wir eine Menge von Elementen namens M haben und einige Elemente von M die Eigenschaft A und einige die Eigenschaft B haben, dann folgt daraus nicht unbedingt etwas über die Beziehung zwischen den Elementen mit der Eigenschaft A und denen mit der Eigenschaft B. Aber die Aristoteliker gehen weiter und argumentieren, dass, wenn ein Satz über eine notwendige Beziehung zwischen den A-Elementen und den B-Elementen aufgestellt werden kann, diese Beziehung aus einem Universalen folgen muss Prämisse des Syllogismus. De Morgan kam jedoch zu der überraschenden Erkenntnis, dass auch eine numerische Argumentation möglich ist. Nehmen wir zum Beispiel an, die Eigenschaft A gilt für die die meisten Elemente von M und Eigenschaft B auch für die die meisten (und das meiste ist halb plus 1). Dann muss auch folgen, dass es Elemente von M gibt, für die sowohl die Eigenschaften A als auch B gelten. Nämlich:

Sie ${Anzeigestil V_{a}={min M|A(m)}}$

Sie ${Anzeigestil V_{b}={min M|B(m)}}$

Als ${Anzeigestil |V_{a}| |V_{b}|-|M|geq 2*({frac {|M|}{2}} 1)-|M|=2}$

Nehmen wir zum Beispiel an, die versunkene Fähre hatte 1.000 Mann an Bord, von denen 500 in der ersten Klasse reisten. Und nehmen Sie an, 700 Passagiere sind ertrunken. Dann folgt sofort, dass mindestens 700 500 - 1000 = 200 Passagiere der ersten Klasse ertrunken sind.

Dieses Prinzip von De Morgan erfüllt alle aristotelischen Forderungen, die zu den Grundprinzipien der Logik zu zählen sind.

Damit hatte De Morgan durch die Quantifizierung von Begriffen in den Prämissen plötzlich einen wesentlichen Beitrag zur Logik geleistet. Ungefähr zur gleichen Zeit lehrte Sir William Hamilton in Edinburgh, wobei er eine Doktrin der Prädikatenquantifizierung anwendete. Zwischen den beiden wurde eine Korrespondenz hergestellt. De Morgan erkannte jedoch bald, dass Hamiltons Vorstellungen von der Quantifizierung ganz anderer Natur waren; dass Hamilton über die Ersetzung von "A ist das Ganze von B" und "A ist ein Teil von B" für die aristotelische Terminologie "Alle A's sind Bs" sprach. Es ist eine Krankheit von Philosophen intolerant gegenüber anderen Ansichten ihrer eigenen Vorstellungen zu sein; sie denken zu oft, dass sie die ganze Wahrheit gefunden haben und dass alles außerhalb ihres eigenen Systems falsch ist. Hamilton dachte (in seinen eigenen Worten), dass er den Schlussstein in den Aristotelischen Bogen gelegt hatte – einen Bogen, der ohne den Schlussstein 2000 Jahre gut überlebt hatte. Folglich brauchte er nichts von De Morgans Entdeckungen zu wissen. Er beschuldigte De Morgan der Plagiat und die Kontroverse zog sich über Jahre hin, in den Athenum-Magazinen und in den Veröffentlichungen beider Wissenschaftler.

Von weitaus größerer Bedeutung für die Logik sind die Traktate von De Morgan, die er nach der Veröffentlichung von Formale Logik. Vor allem sein viertes Memoiren, in dem er das weite Feld der verwandten Logik beginnt, ist bekannt. Dies ist das Feld des Logikers des 20. Jahrhunderts, in dem viel daran gearbeitet wurde, die Sprache der Logik zu verbessern und den Denkprozess, der im täglichen Leben stattfindet, zu entwickeln. Identität (Ähnlichkeit) und Differenz sind die beiden vom Logiker untersuchten Beziehungen; aber es gibt viele, die es wert sind, studiert zu werden, wie Gleichheit und Äquivalenz, Blutsverwandtschaft und Affinität.

Im Vorwort zu Ein Budget der Paradoxe De Morgan erklärt, was er mit diesem Begriff meint. "Sehr viele Personen haben seit der Einführung der mathematischen Methode die direkten und indirekten Konsequenzen der Methodik einzeln angegriffen. Ich werde jede dieser Personen als" bezeichnen paradox und sein System a Paradox. Ich verwende dieses Wort hier im alten Sinne: Ein Paradox ist etwas, das jenseits des allgemeinen Verständnisses liegt, sei es in Bezug auf Gegenstand, Methode oder Schlussfolgerung. Viele der so entstandenen Dinge würden wir heute krankjorum nennen, was heute das Wort ist, das dem alten Paradox am besten entspricht. Aber es gibt einen Unterschied, nämlich dass wir mit dem Wort wahnsinnig über ein Thema scherzen; etwas, das wir nicht unbedingt mit dem Wort Paradox meinten. Im sechzehnten Jahrhundert beispielsweise nannten viele die Bewegung der Boden das Paradoxon von Kopernikus und sprach mit Bewunderung über den Einfallsreichtum der Theorie, sogar – ich glaube – einige von denen, die sich davon angezogen fühlten. Im 17. Jahrhundert verlor diese Bedeutung des Wortes 'Paradox' zumindest in England an Bedeutung."

Wie können wir das wertvolle Paradox vom unsinnigen Paradox unterscheiden? De Morgan verwendet das folgende Kriterium: „Die Art und Weise, wie sich der Paradoxer in Bezug auf Sinn oder Unsinn präsentiert, hängt nicht davon ab, was er behauptet, sondern davon, ob er die Arbeit anderer und insbesondere die Art und Weise, auf die diese Arbeit beruht, ausreichend versteht entstanden ist, was Voraussetzung für die eigene Wissensproduktion ist... Neues Wissen muss für jede Anwendung aus der Betrachtung von altem Wissen entstehen und das in jedem Denkbereich; manchmal, aber nicht oft, ist mechanische Anstrengung, eine Ausnahme. Alle Menschen, die heute "Entdecker" genannt werden, sind und waren auf allen Gebieten des Denkens Menschen, die die Denkweisen ihrer Vorgänger gut kannten und in dem, was vor ihnen kam, gelernt haben.

Ein Budget der Paradoxe

Ein Budget der Paradoxe ist eine Zusammenstellung von De Morgans Einschätzungen einer soliden Sammlung paradoxer Bücher aus seinen eigenen Bibliothek. Diese hatte er teils aus dem Verkauf gesammelt, teils zur Begutachtung an ihn geschickt, teils von den Autoren selbst geschickt. Er selbst gibt folgende Werkklassifikation an: Kreis-Quadrate, Winkeldreischnitte, Würfelduplikatoren, Erbauer von Perpetua-Handys, Perverse der Schwere, Schalldämpfer der Boden und Erbauer der Universum. In all diesen Klassen werden immer noch Werke produziert.

De Morgan beschreibt auch sein eigenes Wissen über Paradoxer: „Ich vermute, ich kenne mehr von der englischen Klasse als jeder andere Mann in Großbritannien. Ich habe nicht gezählt, aber ich weiß, dass ich in einigen Jahren – und heute weniger als zuvor – gesprochen habe mit mindestens fünf von ihnen im Jahr, also insgesamt mehr als hundertfünfzig Exemplare. Ich bin sicher, es ist meine eigene Schuld, wenn es nicht tausend wären. Niemand weiß, wie sie schwärmen, außer denen, zu denen sie natürlich ziehen Sie gibt es in allen Lebensbereichen und Berufen, in allen Altersgruppen und Charakteren. Sie sind sehr ernste Menschen und ihr Ziel ist es, ihre Paradoxe zu verbreiten. Viele von ihnen – der größte Teil sogar gut – sind Analphabeten und viele von ihnen sie verschwenden ihr Geld und sind schäbig oder am Rande der Armut. Diese Entdecker verachten sich gegenseitig."

Een paradoxer in het bijzonder – ene James Smith, succesvol koopman te Liverpool – was de ontvanger van De Morgan van hetzelfde compliment dat Achilles aan Hector gaf: De Morgan haalde hem keer op keer, steeds opnieuw door het slijk. Smith had gevonden dat ${displaystyle pi =3{ frac {1}{8}}}$. Zijn redenering was een rare karikatuur van de Euclidiaansereductio ad absurdum, te weten het volgende: eerst stelde hij dat ${displaystyle pi =3{ frac {1}{8}}}$ en vervolgens toonde hij met die aanname aan dat iedere andere waarde van π absurd moest zijn. En bijgevolg dat ${displaystyle 3{ frac {1}{8}}}$ de juiste waarde moet zijn. Het volgende is een voorbeeld van de pijniging die Smith bij De Morgan onderging: "Mr. Smith schrijft mij voortdurend lange brieven, waarop hij van mij kennelijk een antwoord verwacht. Op het laatste van in totaal 31 kantjes volgeschreven papier deelt hij mij mede, met verwijzing naar mijn koppig zwijgen, dat hoewel ik mijzelf een wiskundige Goliath acht en door anderen ook wordt geacht, ik mij gedecideerd heb de wiskundige slak te spelen en mij in mijn schulp te houden. Een wiskundige slak! Dit kan toch niet het ding zijn dat de werking van de klok regeert; want anders zou ik de heer Smith de eer moeten gunnen de juiste tijd aan te geven, hetgeen ik toch werkelijk niet zou verlaten op een klok die ieder uur van de dag zo'n 19 seconden extra meepikt, zoals volgt uit de kwadratering van deze verkeerde waarde van π. Maar hij onderneemt toch mij mee te delen dat kiezelstenen geworpen met de slinger van simpele waarheid en gezond verstand uiteindelijk mijn schulp zullen doen kraken en mij tot de strijd zullen roepen. De mengelmoes van beeldspraken is amusant: Goliath die zichzelf in een slak verandert om de woede te vermijden van James Smith, heer van stand en lid van de raad van bestuur van de Mersey Dock; en in de strijd getrokken door kiezels uit een slinger. Was Goliath een slakkenhuis ingekropen, dan had David de Filistijn met zijn voet vermorzeld. Er is een zekere bescheidenheid in de implicatie dat de schulp-krakende kiezel nog geen uitwerking heeft gehad; men zou anders denken dat de slingeraar anders zo rond nu uit volle borst aan het zingen zou zijn – "En drie (en een-achtste) maal heb ik mijn vijanden verdrongen, En drie (en een-achtste) maal de gevallene bedwongen."

Binnen de pure wiskunde kon De Morgan het onderscheid tussen zinnige en onzinnige paradox makkelijk maken. Op het gebied van de natuurkunde had hij er meer moeite mee. Zijn schoonvader was een paradoxer en zo ook zijn vrouw. En naar de mening van de natuurkundig filosofen ontsnapte De Morgan ternauwernood aan dezelfde betiteling. Zijn vrouw schreef een boek waarin zij de fenomenen van spiritualisme beschreef, zoals het kloppen van geesten op tafels, het draaien van tafels en dergelijke. En De Morgan schreef een voorwoord waarin hij meedeelde van sommige van de beschreven feiten zelf kennis te hebben en andere feiten op verklaring van anderen aan te nemen, maar niet pretendeerde te weten of deze zaken veroorzaakt werden door geesten, dan wel van andere, onbekende en ongedachte oorsprong waren. Van dit alternatief sloot hij echter materiële oorzaken uit. Michael Faraday daarentegen gaf ooit een lezing over spiritualisme waarin hij stelde dat we bij het onderzoek hiernaar moeten beginnen bij de notie van wat fysiek mogelijk is en wat niet. De Morgan geloofde dat niet.

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