WikiDer > Скошенное обобщенное t-распределение

Эта статья включает в себя список общих использованная литература, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшить эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В вероятность и статистика, асимметричное обобщенное «t» -распределение является семейством непрерывных распределения вероятностей. Дистрибутив был впервые представлен Панайотисом Теодоссиу.^[1] в 1998 году. С тех пор дистрибутив использовался в различных приложениях.^{[2][3][4][5][6][7]} Существуют разные параметризации для асимметричного обобщенного t-распределения.^[1][5]

Определение

Функция плотности вероятности

${ displaystyle f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda, p, q) = { frac {p} {2v sigma q ^ {1 / p} B ({ frac {1} { p}}, q) left ({ frac {| x- mu + m | ^ {p}} {q (v sigma) ^ {p} ( lambda sign (x- mu + m) + 1) ^ {p}}} + 1 right) ^ {{ frac {1} {p}} + q}}}}$

где ${ displaystyle B}$ это бета-функция, ${ displaystyle mu}$ параметр местоположения, ${ displaystyle sigma> 0}$ - масштабный параметр, ${ Displaystyle -1 < лямбда <1}$ - параметр асимметрии, а ${ displaystyle p> 0}$ и ${ displaystyle q> 0}$ параметры, которые контролируют эксцесс. ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle v}$ не параметры, а функции других параметров, которые используются здесь для масштабирования или смещения распределения соответствующим образом, чтобы соответствовать различным параметризациям этого распределения.

В исходной параметризации^[1] асимметричного обобщенного t-распределения,

${ displaystyle m = { frac {2v sigma lambda q ^ { frac {1} {p}} B ({ frac {2} {p}}, q - { frac {1} {p}) })} {B ({ frac {1} {p}}, q)}}}$

и

${ displaystyle v = { frac {q ^ {- { frac {1} {p}}}} { sqrt {(3 lambda ^ {2} +1) { frac {B ({ frac { 3} {p}}, q - { frac {2} {p}})} {B ({ frac {1} {p}}, q)}} - 4 lambda ^ {2} { frac {B ({ frac {2} {p}}, q - { frac {1} {p}}) ^ {2}} {B ({ frac {1} {p}}, q) ^ { 2}}}}}}}$.

Эти значения для ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle v}$ получить распределение со средним значением ${ displaystyle mu}$ если ${ displaystyle pq> 1}$ и дисперсия ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ если ${ displaystyle pq> 2}$. Для того чтобы ${ displaystyle m}$ однако, чтобы принять это значение, необходимо, чтобы ${ displaystyle pq> 1}$. Аналогично для ${ displaystyle v}$ чтобы равняться вышеуказанному значению, ${ displaystyle pq> 2}$.

Параметризация, которая дает простейшую функциональную форму множества функций плотности вероятности ${ displaystyle m = 0}$ и ${ displaystyle v = 1}$. Это дает возможность

${ displaystyle mu + { frac {2v sigma lambda q ^ { frac {1} {p}} B ({ frac {2} {p}}, q - { frac {1} {p }})} {B ({ frac {1} {p}}, q)}}}$

и дисперсия

${ displaystyle sigma ^ {2} q ^ { frac {2} {p}} ((3 lambda ^ {2} +1) { frac {B ({ frac {3} {p}}, q - { frac {2} {p}})} {B ({ frac {1} {p}}, q)}} - 4 lambda ^ {2} { frac {B ({ frac { 2} {p}}, q - { frac {1} {p}}) ^ {2}} {B ({ frac {1} {p}}, q) ^ {2}}})}$

В ${ displaystyle lambda}$ Параметр контролирует асимметрию распределения. Чтобы увидеть это, позвольте ${ displaystyle M}$ обозначают режим распределения, а

${ displaystyle int _ {- infty} ^ {M} f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda, p, q) dx = { frac {1- lambda} {2}} }$

С ${ Displaystyle -1 < лямбда <1}$, вероятность слева от режима и, следовательно, справа от режима, может равняться любому значению в (0,1) в зависимости от значения ${ displaystyle lambda}$. Таким образом, асимметричное обобщенное t-распределение может быть как сильно асимметричным, так и симметричным. Если ${ Displaystyle -1 < лямбда <0}$, то распределение отрицательно искажено. Если ${ Displaystyle 0 < лямбда <1}$, то распределение положительно перекошено. Если ${ displaystyle lambda = 0}$, то распределение будет симметричным.

Ну наконец то, ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ контролировать эксцесс распределения. В качестве ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ уменьшаются, эксцесс увеличивается^[1] (т.е. становится более лептокуртичным). Большие значения ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ дают более плавное распределение.

Моменты

Позволять ${ displaystyle X}$ - случайная величина, распределенная с асимметричным обобщенным t-распределением. В ${ displaystyle h ^ {th}}$ момент (т.е. ${ Displaystyle E [(X-E (X)) ^ {h}]}$), за ${ displaystyle pq> h}$, является:${ displaystyle sum _ {r = 0} ^ {h} { binom {h} {r}} ((1+ lambda) ^ {r + 1} + (- 1) ^ {r} (1- lambda) ^ {r + 1}) (- lambda) ^ {hr} { frac {(v sigma) ^ {h} q ^ { frac {h} {p}} B ({ frac { r + 1} {p}}, q - { frac {r} {p}}) B ({ frac {2} {p}}, q - { frac {1} {p}}) ^ { hr}} {2 ^ {r-h + 1} B ({ frac {1} {p}}, q) ^ {h-r + 1}}}}$

Среднее значение для ${ displaystyle pq> 1}$, является:

${ displaystyle mu + { frac {2v sigma lambda q ^ { frac {1} {p}} B ({ frac {2} {p}}, q - { frac {1} {p }})} {B ({ frac {1} {p}}, q)}} - m}$

Дисперсия (т.е. ${ Displaystyle E [(X-E (X)) ^ {2}]}$), за ${ displaystyle pq> 2}$, является:

${ displaystyle (v sigma) ^ {2} q ^ { frac {2} {p}} ((3 lambda ^ {2} +1) { frac {B ({ frac {3} {p }}, q - { frac {2} {p}})} {B ({ frac {1} {p}}, q)}} - 4 lambda ^ {2} { frac {B ({ frac {2} {p}}, q - { frac {1} {p}}) ^ {2}} {B ({ frac {1} {p}}, q) ^ {2}}} )}$

Асимметрия (т.е. ${ Displaystyle E [(X-E (X)) ^ {3}]}$), за ${ displaystyle pq> 3}$, является:

${ displaystyle { frac {2q ^ {3 / p} lambda (v sigma) ^ {3}} {B ({ frac {1} {p}}, q) ^ {3}}} { Bigg (} 8 lambda ^ {2} B ({ frac {2} {p}}, q - { frac {1} {p}}) ^ {3} -3 (1 + 3 lambda ^ { 2}) B ({ frac {1} {p}}, q)}$

${ displaystyle times B ({ frac {2} {p}}, q - { frac {1} {p}}) B ({ frac {3} {p}}, q - { frac { 2} {p}}) + 2 (1+ lambda ^ {2}) B ({ frac {1} {p}}, q) ^ {2} B ({ frac {4} {p}} , q - { frac {3} {p}}) { Bigg)}}$

Эксцесс (т.е. ${ Displaystyle E [(X-E (X)) ^ {4}]}$), за ${ displaystyle pq> 4}$, является:

${ displaystyle { frac {q ^ {4 / p} (v sigma) ^ {4}} {B ({ frac {1} {p}}, q) ^ {4}}} { Bigg ( } -48 lambda ^ {4} B ({ frac {2} {p}}, q - { frac {1} {p}}) ^ {4} +24 lambda ^ {2} (1+ 3 lambda ^ {2}) B ({ frac {1} {p}}, q) B ({ frac {2} {p}}, q - { frac {1} {p}}) ^ {2}}$

${ displaystyle times B ({ frac {3} {p}}, q - { frac {2} {p}}) - 32 lambda ^ {2} (1+ lambda ^ {2}) B ({ frac {1} {p}}, q) ^ {2} B ({ frac {2} {p}}, q - { frac {1} {p}}) B ({ frac { 4} {p}}, q - { frac {3} {p}})}$

${ displaystyle + (1 + 10 lambda ^ {2} +5 lambda ^ {4}) B ({ frac {1} {p}}, q) ^ {3} B ({ frac {5} {p}}, q - { frac {4} {p}}) { Bigg)}}$

Особые случаи

Частные и предельные случаи перекошенного обобщенного t-распределения включают асимметричное обобщенное распределение ошибок, обобщенное t-распределение, введенное Макдональдом и Ньюи,^[6] перекос t, предложенный Хансеном,^[8] асимметричное распределение Лапласа, обобщенное распределение ошибок (также известное как обобщенное нормальное распределение), асимметричное нормальное распределение, распределение студентов, асимметричное распределение Коши, Распределение Лапласа, то равномерное распределение, то нормальное распределение, а Распределение Коши. Рисунок ниже, адаптированный из Хансена, Макдональда и Ньюи,^[2] показывает, какие параметры следует установить, чтобы получить некоторые из различных специальных значений искаженного обобщенного t-распределения.

Скошенное обобщенное дерево t-распределения

Перекошенное обобщенное распределение ошибок

Перекошенное обобщенное распределение ошибок имеет pdf:

${ displaystyle lim _ {q to infty} f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda, p, q)}$

${ displaystyle = f_ {SGED} (x; mu, sigma, lambda, p) = { frac {pe ^ {- ({ frac {| x- mu + m |} {v sigma ( 1+ лямбда-знак (x- mu + m))}}) ^ {p}}} {2v sigma Gamma (1 / p)}}}$

где

${ displaystyle m = { frac {2 ^ { frac {2} {p}} v sigma lambda Gamma ({ frac {1} {2}} + { frac {1} {p}}) )} { sqrt { pi}}}}$

дает среднее значение ${ displaystyle mu}$. Также

${ displaystyle v = { sqrt { frac { pi Gamma ({ frac {1} {p}})} { pi (1 + 3 lambda ^ {2}) Gamma ({ frac { 3} {p}}) - 16 ^ { frac {1} {p}} lambda ^ {2} Gamma ({ frac {1} {2}} + { frac {1} {p}} ) ^ {2} Gamma ({ frac {1} {p}})}}}}$

дает дисперсию ${ displaystyle sigma ^ {2}}$.

Обобщенное t-распределение

Обобщенное T-распределение имеет pdf:

${ displaystyle f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda = 0, p, q)}$

${ displaystyle = f_ {GT} (x; mu, sigma, p, q) = { frac {p} {2v sigma q ^ {1 / p} B ({ frac {1} {p} }, q) ({ frac { left | x- mu right | ^ {p}} {q (v sigma) ^ {p}}} + 1) ^ {{ frac {1} {p }} + q}}}}$

где

${ displaystyle v = { frac {1} {q ^ {1 / p}}} { sqrt { frac {B ({ frac {1} {p}}, q)} {B ({ frac {3} {p}}, q - { frac {2} {p}})}}}}$

дает дисперсию ${ displaystyle sigma ^ {2}}$.

Скошенное t-распределение

Распределение Skewed T имеет pdf:

${ displaystyle f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda, p = 2, q)}$

${ displaystyle = f_ {ST} (x; mu, sigma, lambda, q) = { frac { Gamma ({ frac {1} {2}} + q)} {v sigma ( pi q) ^ {1/2} Gamma (q) ({ frac { left | x- mu + m right | ^ {2}} {q (v sigma) ^ {2} ( lambda ~ { rm {знак}} (x- mu + m) +1) ^ {2}}} + 1) ^ {{ frac {1} {2}} + q}}}}$

где

${ displaystyle m = { frac {2v sigma lambda q ^ {1/2} Gamma (q - { frac {1} {2}})} { pi ^ {1/2} Gamma ( q)}}}$

дает среднее значение ${ displaystyle mu}$. Также

${ displaystyle v = { frac {1} {q ^ {1/2} { sqrt {(3 lambda ^ {2} +1) ({ frac {1} {2q-2}}) - { frac {4 lambda ^ {2}} { pi}} left ({ frac { Gamma (q - { frac {1} {2}})} { Gamma (q)}} right ) ^ {2}}}}}}$

дает дисперсию ${ displaystyle sigma ^ {2}}$.

Скошенное распределение Лапласа

Перекошенное распределение Лапласа имеет pdf:

${ displaystyle lim _ {q to infty} f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda, p = 1, q)}$

${ displaystyle = f_ {SLaplace} (x; mu, sigma, lambda) = { frac {e ^ { frac {- | x- mu + m |} {v sigma (1+ lambda знак (x- mu + m))}}} {2v sigma}}}$

где

${ displaystyle m = 2v sigma lambda}$

дает среднее значение ${ displaystyle mu}$. Также

${ displaystyle v = [2 (1+ lambda ^ {2})] ^ {- { frac {1} {2}}}}$

дает дисперсию ${ displaystyle sigma ^ {2}}$.

Распределение обобщенных ошибок

Обобщенное распределение ошибок (также известное как обобщенное нормальное распределение) имеет pdf:

${ displaystyle lim _ {q to infty} f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda = 0, p, q)}$

${ displaystyle = f_ {GED} (x; mu, sigma, p) = { frac {pe ^ {- ({ frac {| x- mu |} {v sigma}}) ^ {p }}} {2v sigma Gamma (1 / p)}}}$

где

${ displaystyle v = { sqrt { frac { Gamma ({ frac {1} {p}})} { Gamma ({ frac {3} {p}})}}}}$

дает дисперсию ${ displaystyle sigma ^ {2}}$.

Скошенное нормальное распределение

У искаженного нормального распределения есть pdf:

${ displaystyle lim _ {q to infty} f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda, p = 2, q)}$

${ displaystyle = f_ {SNormal} (x; mu, sigma, lambda) = { frac {e ^ {- ({ frac {| x- mu + m |} {v sigma (1+ lambda sign (x- mu + m))}}) ^ {2}}} {v sigma { sqrt { pi}}}}}}$

где

${ displaystyle m = { frac {2v sigma lambda} { sqrt { pi}}}}$

дает среднее значение ${ displaystyle mu}$. Также

${ displaystyle v = { sqrt { frac {2 pi} {( pi -8 lambda ^ {2} +3 pi lambda ^ {2})}}}}$

дает дисперсию ${ displaystyle sigma ^ {2}}$.

Распределение Стьюдента

В Распределение Стьюдента имеет PDF:

${ displaystyle f_ {SGT} (x; mu = 0, sigma = 1, lambda = 0, p = 2, q = d / 2)}$

${ displaystyle = f_ {T} (x; d) = { frac { Gamma ({ frac {d + 1} {2}})} {( pi d) ^ {1/2} Gamma ( d / 2) ({ frac {x ^ {2}} {d}} + 1) ^ { frac {d + 1} {2}}}}}$

${ displaystyle v = { sqrt {2}}}$ был заменен.

Скошенное распределение Коши

Перекосное распределение Коши имеет PDF-файл:

${ displaystyle f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda, p = 2, q = 1/2)}$

${ displaystyle = f_ {SCauchy} (x; mu, sigma, lambda) = { frac {1} { sigma pi ({ frac { left | x- mu right | ^ {2 }} { sigma ^ {2} ( лямбда-знак (x- mu) +1) ^ {2}}} + 1)}}}$

${ displaystyle v = { sqrt {2}}}$ и ${ displaystyle m = 0}$ был заменен.

Среднее значение, дисперсия, асимметрия и эксцесс асимметричного распределения Коши не определены.

Распределение Лапласа

В Распределение Лапласа имеет PDF:

${ displaystyle lim _ {q to infty} f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda = 0, p = 1, q)}$

${ displaystyle = f_ {Laplace} (x; mu, sigma) = { frac {e ^ { frac {- | x- mu |} { sigma}}} {2 sigma}}}$

${ displaystyle v = 1}$ был заменен.

Равномерное распределение

В Равномерное распределение имеет PDF:

${ displaystyle lim _ {p to infty} f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda, p, q)}$

${ displaystyle = f (x) = { begin {cases} { frac {1} {2v sigma}} & | x- mu |$

Таким образом, стандартная единообразная параметризация получается, если ${ displaystyle mu = { frac {a + b} {2}}}$, ${ displaystyle v = 1}$, и ${ displaystyle sigma = { frac {b-a} {2}}}$.

Нормальное распределение

В Нормальное распределение имеет PDF:

${ displaystyle lim _ {q to infty} f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda = 0, p = 2, q)}$

${ displaystyle = f_ {Normal} (x; mu, sigma) = { frac {e ^ {- ({ frac {| x- mu |} {v sigma}}) ^ {2}} } {v sigma { sqrt { pi}}}}}$

где

${ displaystyle v = { sqrt {2}}}$

дает дисперсию ${ displaystyle sigma ^ {2}}$.

Распределение Коши

В Распределение Коши имеет PDF:

${ displaystyle f_ {SGT} (x; mu, sigma, lambda = 0, p = 2, q = 1/2)}$

${ displaystyle = f_ {Cauchy} (x; mu, sigma) = { frac {1} { sigma pi (({ frac {x- mu} { sigma}}) ^ {2} +1)}}}$

${ displaystyle v = { sqrt {2}}}$ был заменен.

Рекомендации

• Хансен, Б. (1994). «Оценка условной авторегрессии». Международное экономическое обозрение. 35 (3): 705–730. Дои:10.2307/2527081. JSTOR 2527081.
• Hansen, C .; McDonald, J .; Ньюи, В. (2010). «Инструментальная оценка переменных с гибкими распределениями». Журнал деловой и экономической статистики. 28: 13–25. Дои:10.1198 / jbes.2009.06161. HDL:10419/79273.
• Hansen, C .; McDonald, J .; Теодосио, П. (2007). «Некоторые гибкие параметрические модели для частично адаптивных оценок эконометрических моделей». Экономика: электронный журнал с открытым доступом и оценкой. 1 (2007–7): 1. Дои:10.5018 / Economics-ejournal.ja.2007-7.
• McDonald, J .; Michefelder, R .; Теодосио, П. (2009). «Оценка методов надежной регрессионной оценки и смещения перехвата: приложение модели ценообразования капитальных активов» (PDF). Международный финансовый журнал. 15 (3/4): 293–321. Дои:10.17578/13-3/4-6.
• McDonald, J .; Michelfelder, R .; Теодосио, П. (2010). «Робастная оценка с гибким параметрическим распределением: оценка бета-цен на коммунальные запасы». Количественные финансы. 10 (4): 375–387. Дои:10.1080/14697680902814241.
• McDonald, J .; Ньюи, В. (1988). «Частично адаптивная оценка регрессионных моделей через обобщенное t-распределение». Эконометрическая теория. 4 (3): 428–457. Дои:10,1017 / с0266466600013384.
• Савва, Ц .; Теодоссио, П. (2015). «Асимметрия и связь между риском и доходностью». Наука управления.
• Теодосио, П. (1998). «Финансовые данные и асимметричное обобщенное T-распределение». Наука управления. 44 (12 – часть – 1): 1650–1661. Дои:10.1287 / mnsc.44.12.1650.

внешняя ссылка

• описывает искаженное обобщенное t-распределение, его частные случаи и программу для вычисления его pdf, cdf и критических значений

Примечания