WikiDer > Stimmung des Pythagoras

In dem Musiktheorie ist der Stimmung von Pythagoras ein musikalische Stimmung basierend auf sauber Quinte, also die Quinte mit einem Tonhöhenverhältnis von 2:3. Diese Quinte ist die meiste nach der Oktave Konsonant Intervall wegen des einfachen Tonhöhenverhältnisses. Aufeinanderfolgende Quinten führen zu Verhältnissen 8:9 für den ganzen Tonabstand und durch Umkehrung auch 3:4 für die Quarte. Beginnend mit dem Stammton gib F aufeinanderfolgende perfekte Quinten die Reihe der Stammestöne

F — C — G — D — A — E — B

mit Frequenzverhältnissen zum Ton C (in Klammern stehen die Tonhöhenverhältnisse innerhalb der Oktave, die durch Division des Originaltons durch ein oder mehrere Oktaven erhöhen oder verringern):

F = 2/3 (reduziert: 2/3 × 2 = 4/3)

C = 1

G = 3/2

D = 9/4 (reduziert: 9/4 : 2 = 9/8)

A = 27/8 (reduziert: 27/8 : 2 = 27/16)

E = 81/16 (reduziert: 81/16 : 4 = 81/64)

B = 243/32 (reduziert: 243/32 : 4 = 243/128)

Diese (reduzierten) Stammtöne bilden a diatonischRahmen von C:

C — D — E — F — G — A — B — C

wobei alle Ganzschritte gleich 9/8 sind und die beiden Halbtöne 256/243 sind.

Mesos als Ausgangspunkt

Pythagoras ging in seinen Musikbeschreibungen vom μέσος (mesos = Mitte Show), heute allgemein dargestellt durch ein¹. Das ist anders als aktuell musiktheoretisches Denken, bei dem man immer von unten nach oben denkt, und von Wurzeltöne die phänomene des zusammenKlang erklärt.

Nur durch die Verwendung Intervalle bestimmt durch die ersten vier eerste Obertöne (Wurzelnote, Oktave, fünfte und Quartal), baute er seine Rahmen.

Die ersten vier Harmonischen sind ein, ein¹, e² und ein². Diese erhielten die Nummern 1, 2, 3 und 4 und entstanden im Saitenlängen 1, 1/2, 1/3 und 1/4 auf dem von Pythagoras verwendeten Monochord.

Damit ist die Brüche gefunden, die die Intervalle quantifiziert. Die Stringlängen können multipliziert werden mit:

• 2 = Oktave tiefer
• 1/2 = Oktave nach oben
• 3/2 = fünfter nach unten
• 2/3 = Fünfter nach oben
• 4/3 = Viertel nach unten
• 3/4 = Viertel nach oben

Mit Hilfe dieser natürlichen Intervalle wurde eine Skala berechnet, die sich über etwa siebzehn Jahrhunderte bis zum Beginn des 20 mittelalterlichPolyfonie, ist in Gebrauch geblieben.

Der Maßstab von Pythagoras sieht so aus, mit A als Tonzentrum; sie ist, wie damals üblich, in absteigender Reihenfolge aufgeführt.

die Töne	E	d	C	B	ein	G	f	E
der Bau	2/3	3/4	27/32	8/9	1	9/8	81/64	4/3
String-Länge	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
Frequenz- Verhältnis	1	8/9	64/81	3/4	2/3	16/27	128/243	1/2
Tonhöhe		9/8	9/8	256/243	9/8	9/8	9/8	256/243

Es besteht aus fünf pythagoräischen Ganztönen und zwei limma's (Pythagoräischer Halbtonabstand).

Beispiel 1: Pythagoräische Skala mit invertierten Frequenzverhältnissen

Beispiel 2: Pythagoräische Tonleiter mit Tonabständen

Die fünf ganzen Schritte von 9/8 basieren auf einem Stapel von zwei natürlichen Quinten von jeweils 3/2. Zusammen mit den beiden Halbtönen so die fünf ganzen Schritte bilden eine Oktave, also:

${displaystyle left({ frac {9}{8}}ight)^{5} imes s^{2}=2}$,

damit wird auch der Halbtonabstand zu einem Bruch, nämlich

${displaystyle s={sqrt {frac {2^{16}}{3^{10}}}}={frac {2^{8}}{3^{5}}}={frac {256}{243 }}}$.

Da beide Halbtöne gleich gebildet werden, sind sie einander gleich. Immerhin gilt der Abstand so zwischen E und F in der Reihenfolge C-D-E-F-G:

${displaystyle { frac {9}{8}} imes { frac {9}{8}} imes s imes { frac {9}{8}}={ frac {3}{2}}}$

und für die entfernung s' zwischen B und C in der Reihenfolge F-G-A-B-C:

${displaystyle { frac {4}{3}} imes { frac {9}{8}} imes { frac {9}{8}} imes { frac {9}{8}} imes s'=2}$

So

${displaystyle s=s'}$

Für die übliche Skala von C werden die Proportionen zu:

	C	d	E	f	G	ein	B	C
Frequenz- Verhältnis im Vergleich zu C	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
Beziehung mit zugrunde liegenden Show	—	9/8	9/8	256/243	9/8	9/8	9/8	256/243

Konstruktion

• Abgeleitet von ein¹ (=1):
  • e²: 1 × 2/3 = 2/3 (fünfte höher).
  • e¹: 1 × 4/3 = 4/3 (Viertel nach unten).
  • d²: 1 × 3/4 = 3/4 (Viertel oben).

• Abgeleitet von der e¹ wurde:
  • b¹: 4/3 × 2/3 = 8/9 (fünftes Plus).

• Beginnend mit dem d² die restlichen Töne wurden nacheinander getrennt:
  • G¹: 3/4 × 3/2 = 9/8 (unteres Fünftel), woraus abgeleitet wurde:
  • c²: 9/8 × 3/4 = 27/32 (Viertel oben), woraus abgeleitet wurde:
  • f¹: 27/32 × 3/2 = 81/64 (unteres Fünftel).

diatonisch

Bemerkenswerterweise gibt es nur zwei verschiedene Sekunden in seinem, einem großen und einem kleinen. Der Abstand zwischen zwei Tönen wird gemessen, indem die Nummer des ersten (höchsten Tons) durch die des unteren geteilt wird, das gleiche Ergebnis erhält man durch multiplizieren mit dem ersten, aber umgekehrten Bruch (tatsächlich wird das Erhöhungsverhältnis so berechnet):

• e² bis um d²: 3/2 × 3/4 = 9/8
• d² bis um c²: 4/3 × 27/32 = 108/96 = 9/8
• c² bis um b¹: 32/27 × 8/9 = 256/243
• b¹ bis um ein¹: 9/8 × 1 = 9/8
• ein¹ bis um G¹: 1 × 9/8 = 9/8
• G¹ bis um f¹: 8/9 × 81/64 = 648/576 = 9/8
• f¹ bis um e¹: 64/81 × 4/3 = 256/243

absteigende Skala

Die komplette Skala kann jetzt auch vom e sind beschrieben. Bemerkenswerterweise fand Pythagoras die gleichen Schritte wie die aktuelle Grundskala in der westlichen Musiktheorie: 1 − 1 − 1/2 − 1 − 1 − 1 − 1/2, aber abnehmend (vergleichen Sie den Strom Dur-Tonleiter, mit gleicher Tonhöhe, in gleicher Reihenfolge, aber aufsteigend!).

• e²: 1
• d²: 9/8 (große Sekunde nach unten)
• c²: 9/8 × 9/8 = 81/64 (zweimal eine große Sekunde ist eine große Terz tiefer)
• b¹: 81/64 × 256/243 = 4/3 (groß dritte plus kleine Sekunde ist perfektes Viertel nach unten)
• ein¹: 4/3 × 9/8 = 3/2 (saubere Quarte plus große Sekunde ist perfekte Quinte nach unten)
• G¹: 3/2 × 9/8 = 27/16 (perfekte Quinte plus große Sekunde ist Dur sechste Nieder)
• f¹: 27/16 × 9/8 = 243/128 (große Sexte plus große Sekunde ist Dur siebte Nieder)
• e¹: 243/128 × 256/243 = 2 (große Septime plus kleine Sekunde ist Oktave Nieder)

Komma

Das System des Pythagoras erscheint aufgrund seiner hermetischen Konstruktion ideal und natürlich. Vor dem polyphone Musik diese Stimmung ist jedoch ungeeignet, da die von Pythagoras verwendeten Terzen zu stark von der abweichen reine Drittel 4/5 und 5/6 (und damit für Konsonanz unbrauchbar). Diese Abweichung von der Reinigungsintervall heiß didymisches oder syntonisches Komma.

Eine zweite "Unvollkommenheit", die Pythagoräisches Komma, berechnet (d.h. beschreibt) wie und warum es unmöglich ist, eine Tonleiter mit durchgehend reinen Oktaven sowie Quinten zu konstruieren.

Unterschied zur reinen Stimmung

Wenn wir die durch die Brüche angegebenen Verhältnisse in umrechnen Cent und stelle eine Tabelle auf, mit der wir die pythagoräische Stimmung bekommen können saubere Stimmung vergleichen Sie. Wenn wir die (großen) Abweichungen in den chromatischen Schritten außer Acht lassen, fällt auf, dass die große Terz (C-E) 22 Cent zu hoch und damit praktisch unbrauchbar für Akkorde.

Show	sauber	Pythagoras	Unterschied
C	0	0	0
cis	71	114	43
des	112	90	−22
d	204	204	0
dis	275	318	43
Es	316	294	−22
E	386	408	22
Fès	427	384	43
Anforderung	457	522	65
f	498	498	0
fis	590	612	22
Ges	631	588	−43
G	702	702	0
Gis	773	816	43
Asche	814	792	−22
ein	884	906	22
ais	977	1020	43
Beere	1018	996	−22
B	1088	1110	22
Ces	1129	1086	−43
bis	1159	1224	65
C	1200	1200	0

Pythagoräisches Intervall

Pythagoräisches Intervall
Namen	Verhältnis
	(Unterbrechung)	(Cent)
Komma	${displaystyle { frac {531441}{524288}}}$	23,5
limma kleiner Halbton	${displaystyle { frac {256}{243}}}$	90,2
Apotom Dur-Halbton	${displaystyle { frac {2187}{2048}}}$	113,7
Show	${displaystyle { frac {9}{8}}}$	203,9
Halbton	${displaystyle { frac {32}{27}}}$	294,1
diton	${displaystyle { frac {81}{64}}}$	407,8
sauberes Viertel diatessaron Sesquitertium	${displaystyle { frac {4}{3}}}$	498,0
triton	${displaystyle { frac {729}{512}}}$	611,7
perfekte fünfte diapente Sesquialterum	${displaystyle { frac {3}{2}}}$	702,0
Oktave Diapason	${displaystyle { frac {2}{1}}}$	1200,0

Methodik

Die Etablierung der pythagoräischen Stimmung war historisch eine der ersten in Europa wissenschaftlich Übergänge von einem Original qualitativ, zu einem See quantitativ unter Berücksichtigung der Wirklichkeit. Mit anderen Worten, Pythagoras hat es verwendet Nummer, anstatt des Wort, als Haupt Beweise. In anderen, nicht-westlichen Kulturen war so etwas schon einmal passiert (wie bei den Mayas).

Siehe auch

• Bruchzahl
• Ditonus
• Stimmung (Musik)
• reine Stimmung
• Mikrotonale Musik
• Rahmen

Externer Link

• Soundclip mit Unterschied zwischen Pythagoras, Rein und Equal Temperament