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Zum gleichnamigen Konzept aus der Kategorientheorie siehe Monoid (Kategorie Theorie).

In dem abstrakte Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist ein monoid ein algebraische Struktur das besteht aus a Sammlung, die mit einem einzigen . ausgestattet ist assoziativbinäre Operation und ein neutrales Element, auch Einheits- oder Identitätselement genannt.

Ein Beispiel für ein Monoid ist die Menge der natürliche Zahlen mit dem Operationsummieren und die Zahl 0 als neutrales Element.

Ein Monoid hat eine etwas reichere algebraische Struktur als a Halbgruppe für die die Existenz eines neutralen Elements nicht erforderlich ist. EIN monoid wird daher als a . bezeichnet einheitliche Halbgruppe, also eine Halbgruppe mit einem Einheitselement. Die Geschichte der Monoide und die weitere Diskussion einiger zusätzlicher allgemeiner Eigenschaften der Monoide wird im Artikel über Halbgruppen beschrieben.

Definition

unter einem monoid${displaystyle(M,*)}$ versteht man a nicht leerSammlung${Anzeigestil M}$ mit einer assoziativen binären Operation: ${displaystyle *:M imes M o M}$ und einer für diese Bearbeitung neutrales Element${displaystyle e}$, die daher die Axioms.

• Assoziativität: für alle ${Anzeigestil a,b,cin M}$ gilt ${Anzeigestil (a*b)*c=a*(b*c)}$
• Neutrales Element: Es gibt ein Element ${displaystyle ein M}$ auf was trifft das zu ${Anzeigestil e*a=a*e=a}$ für alle ${Anzeigestil ain M}$.

Ein Monoid ist eine Zwischenstufe zwischen einer Halbgruppe und a Gruppe. Ein Monoid ist einerseits eine Halbgruppe mit a Identitätselement, andererseits erfüllt ein Monoid mit einer Ausnahme alle Axiom's, wo immer a Gruppe sollte die Spezifikationen erfüllen; für ein Monoid ist es einfach nicht erforderlich, dass jedes Element ein invers hast. Ein Monoid mit Inversen wäre eine Gruppe.

Wenn eine Operation explizit gemacht werden muss, kann ein Monoid durch das Paar${displaystyle(M,*)}$. Es ist üblich, ${Anzeigestil a*b}$ Anstatt von ${Anzeigestil *(a,b)}$ für das Ergebnis der Operation schreiben ${Anzeigestil *}$ auf die Elemente angewendet ${displaystyle a,bin M}$.

Einige Beispiele

• Das natürliche Zahlen mit dem Zusatz, notiert als ${displaystyle (mathbb {N} , )}$, ist ein Monoid mit 0 als neutralem Element.
• Die natürlichen Zahlen ohne 0 mit der Addition, geschrieben als ${displaystyle (mathbb {N} _{0}, )}$, ist kein Monoid, da es kein neutrales Element gibt. von ${Anzeigestil 1 n=1}$ weil es notwendig ist zu folgen ${Anzeigestil n=0}$.
• Das ganze Zahlen mit dem Zusatz, notiert als ${displaystyle (mathbb {Z} , )}$, ist ein Monoid mit 0 als neutralem Element.
• Jeder Singleton${displaystyle {x}}$ führt zu einem einelementigen (trivialen) Monoid. Für eine dauerhafte ${Anzeigestil x}$ dieses Monoid ist eindeutig, da die Axiome des Monoids erfordern, dass ${Anzeigestil x*x=x}$.
• Jeder Gruppe ist ein Monoid, und jedes abelsche Gruppe ist ein kommutatives Monoid.
• Jeder begrenzt Halbzeitplan ist ein idempotent kommutatives Monoid.
• Eine halbe Gruppe ${Anzeigestil S}$ kann durch ein Element leicht in ein Monoid umgewandelt werden ${displaystyle e}$, das nicht in ${Anzeigestil S}$ verhindert das Hinzufügen und dann ${displaystyle e*e=e}$ und ${Anzeigestil s*e=e*s=s}$ für jeden definieren ${displaystyle sinS}$.
• Die natürlichen Zahlen ${displaystyle mathbb {N} }$ bilden unter Addition ein kommutatives Monoid (neutrales Element Null) oder Multiplikation (neutrales Element ein). Ein partielles Monoid von ${displaystyle mathbb {N} }$ unter Addition wird a numerisches Monoid erwähnt.

Kostenlose Monoide

Das freie Monoid einer Menge ${Anzeigestil V}$ ist das Monoid, das aus der Menge aller endlichen Folgen von null oder mehr Elementen von besteht ${Anzeigestil V}$, mit Verkettung (Sequenzierung) als Operation und die Reihe von Nullelementen als neutrales Element.

Im Rahmen von a Zeichensatz${Anzeigestil V}$ (eine Sammlung Zeichen wie Buchstaben, Zahlen, Satzzeichen usw.) das freie Monoid ist die Menge (endlich) Saiten (Strings) mit diesem Zeichensatz. In Bezug auf Computer wird ein Zeichensatz oft in Verbindung mit der Zeichenkodierung.

Bewerbung in der Informatik

Monoide kommen in einer Reihe von Bereichen der Mathematik vor. In dem Geometrie repräsentiert ein Monoid den Begriff von a Funktionszusammenstellung; diese Idee wird in die abstrahiert Kategorientheorie, wobei das Monoid a . ist Kategorie jetzt sofort Objekt ist. Monoide werden auch verwendet, um eine solide algebraische Grundlage für die Informatik.