WikiDer > Sinus und Cosinus

Das Sinus und der Kosinus hängen stark zusammen trigonometrische Funktionen. Sie waren ursprünglich Funktionen des Ecken in einem rechtwinkliges Dreieck. Der Sinus ist drin Verhältnis der Gegenseite und Hypotenuse, und der Kosinus ist der Sinus der Komplementärer Winkel und es verdankt ihm seinen Namen. Der Kosinus ist also das Verhältnis von Nachbarseite und Hypotenuse. Beide Funktionen spielen eine wichtige Rolle bei der Untersuchung von Dreiecke, Polygone und Kreise, und wegen der Periodisch Charakter auch beim Studium periodischer Phänomene. Sinus und Cosinus sind Funktionen mit if Diagramm die bekannte Wellenlinie.

Definitionen

In einem rechtwinkligen Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck ABC

War ursprünglich in einem rechtwinkligen Dreieck ${Anzeigestil ABC}$ mit rechtem Winkel im Scheitel ${Anzeigestil C}$ und Seiten ${Anzeigestil a,b,c}$, das Sinus aus der ecke ${displaystyle alpha }$ in der Ecke ${Anzeigestil A}$ definiert als:

${displaystyle sin(alpha)={frac {a}{c}}= extstyle {frac {ext{gegenüberliegende Seite}}{ext{fase}}}}$

Der Kosinus wurde definiert als:

${displaystyle cos(alpha )={frac {b}{c}}= extstyle {frac { ext{angrenzende Seite}}{ ext{fase}}}}$

Der Kosinus ist der Sinus des Komplements ${displaystyle eta =(90^{circ }-alpha )}$ von ${displaystyle alpha }$:

${displaystyle cos(alpha)=sünde(eta)}$

Da rechtwinklige Dreiecke mit einem der spitzen Winkel gleich ${displaystyle alpha }$ alle angepasst sind, hängen Sinus und Kosinus nicht von der Wahl des Dreiecks ab.

Es folgt weiter aus dem Satz des Pythagoras:

${displaystyle sin ^{2}(alpha) cos ^{2}(alpha)=1}$

Für Winkel bis 360°

In der obigen Definition sind Sinus und Cosinus nur für spitze Winkel definiert, Winkel zwischen 0 und 90°. Daher wurde die Definition zunächst auf Winkel zwischen 0 und 360° mit dem trigonometrischer Kreis, der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Der Vorschubstrahl zu einem Punkt ${Anzeigestil P=(x,y)}$ auf diesem Kreis bildet ein Winkel ${Anzeigestil-Heta}$ mit dem positiven ${Anzeigestil x}$-Achse, und der Kosinus und der Sinus sind als Koordinaten von . definiert ${Anzeigestil P}$:

${displaystyle sin(heta)=y}$

${ Anzeigestil cos(heta)=x}$

Für beliebige Winkel

Die Definition kann noch weiter auf beliebige Winkel erweitert werden, indem man sie auf einen Winkel von 0 bis 360° reduziert. Beliebiger Winkel ${Anzeigestil-Heta}$ ist eigentlich nicht vom Winkel als Winkel . zu unterscheiden

${displaystyle heta _{0}=heta {pmod {360^{circ }}}}$

Die Definition wird daher für alle Winkel noch erweitert um ${displaystyle heta kimes 360^{circ }}$ was ein ganzzahliges Vielfaches ist ${Displaystyle Kimes 360^{circ }}$ voneinander unterscheiden, um zu sagen:

${displaystyle sin(heta kimes 360^{circ})=sin(heta)}$

${ displaystyle cos( heta kimes 360^{circ })=cos(heta)}$

Im Bogenmaß

Graphen der Funktionen ${displaystyle sin(x)}$ (Rot und ${Anzeigestil cos(x)}$ (Blau)

Im Bogenmaß werden Sinus und Cosinus auf diese Weise für jedes definiert reelle Zahl${Anzeigestil x}$. Beides sind periodische Funktionen mit Zeitspanne${Displaystil 2pi }$. Für alle ganze Zahlen${displaystyle k}$ gilt:

${Anzeigestil sin(x 2kpi)=sin(x)}$

${Anzeigestil cos(x 2kpi)=cos(x)}$

Wenn Potenzreihe

Nur mit Geometer Argumente und Eigenschaften des Grenzwertes kann gezeigt werden, dass der Sinus und der Kosinus differenzierbar sind und das:

${Anzeigestil sin'(x)=cos(x)}$

${displaystyle cos '(x)=-sin(x)}$

Die Abbildung zeigt zum Beispiel:

${displaystyle sin(heta)=CG/CA}$

${displaystyle sin( heta Delta )=DF/DA=DF/CA}$

${displaystyle varphi ungefähr heta ;quad lim _{Delta o 0}varphi = heta }$

${displaystyle {frac {sin(heta Delta)-sin(heta)}{Delta}}={frac {DE}{Delta cdot CA}}ungefähr {frac {DE}{DC}}=cos(phi)}$

So

${displaystyle sin '(heta)=lim _{Delta o 0}{frac {DE}{Delta cdot CA}}=lim _{Delta o 0}cos(phi)=cos(heta)}$

Aus den Beziehungen für die Ableitungen folgt für ${Anzeigestil n=0,1,2,ldots}$ und ${Anzeigestil k=0,1,2,3,4}$

${displaystyle sin ^{(4n k)}(x)={ egin{cases}sin(x)&{ ext{for }}k=0/cos(x)&{ ext{for }}k=1/- sin(x)&{ ext{for }}k=2/-cos(x)&{ ext{for }}k=3end{cases}}}$

Mit diesem Ergebnis für Sinus und Kosinus taylor serie erstellt werden. Der nächste Serienentwicklungen gelten für Sinus und Kosinus:

${displaystyle sin(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n 1)!}}x^{2n 1}={frac {1} {1!}}x-{frac {1}{3!}}x^{3} {frac {1}{5!}}x^{5}-ldots }$

${displaystyle cos(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{frac {1} {2!}}x^{2} {frac {1}{4!}}x^{4}-ldots }$

Dieses Potenzreihe sind auch im Analyse als Definition der beiden Funktionen verwendet.

Differentialgleichung

Es ist auch möglich, den Sinus und den Kosinus mithilfe eines Satzes von Differentialgleichungen zu definieren. Sie sind die einzigen Lösungen des Systems:

${Anzeigestil sin'(x)=cos(x)}$

${displaystyle cos '(x)=-sin(x)}$

mit den voraussetzungen

${Anzeigestil sin(0)=0}$

${displaystyle cos(0)=1}$

Erweiterung auf komplexe Zahlen

Die Definition als Potenzreihe ermöglicht die Definition von Sinus und Cosinus auch für define komplexe Zahlen${Anzeigestil z}$.

${displaystyle sin(z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n 1)!}}z^{2n 1}={frac {e^ {iz}-e^{-iz}}{2i}}}$

${displaystyle cos(z)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={frac {e^{iz } e^{-iz}}{2}}}$

Geschichte

Sinus und Cosinus wurden untersucht von Hipparchos von Nicäa (180–125 v. Chr.), Claudius Ptolemäus von Ägypten (90–165 n. Chr.), aryabhata (476–550), Varahamihira, Brahmagupta, Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abū al-Wafā' al-Būzjānī, Omar Khayyam, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusic, Ghiyath al-Kashi (14. Jahrhundert), Ulugh Beg (14. Jahrhundert), Regiomontanus (1464), Rhetoriker, und Rheticus' Schüler Valentin Otho.

Die Araber führten den Begriff ein Sinus wenn gib, die wörtlich Akkord meint. Im 12. Jahrhundert wurden die arabischen Werke übersetzt in Latein. In diesem Fall, gib Verwirrt mit gaib, was Biegung oder Busen bedeutet. Das lateinische Wort dafür ist Sinus. Trotz der falschen Übersetzung hat sich der Begriff etabliert.

In der ursprünglichen Definition sind Sinus und Cosinus Verhältnisse bestimmter Seiten in a rechtwinkliges Dreieck. Die Größe des Dreiecks spielt dabei keine Rolle; für einen gegebenen Winkel sind die Proportionen unabhängig von der Größe des Dreiecks. Dies kann sofort mit angezeigt werden Gleichmäßigkeit.

Als erste Einführung wird diese Definition immer noch oft als Sprungbrett für den neuen, allgemeineren Ansatz gelehrt. Diese wurde gewählt, weil der Abstraktionsgrad deutlich geringer und die Anwendungsmöglichkeiten deutlich übersichtlicher sind. Obwohl die Regeln nicht schwierig sind, werden sie manchmal verwirrt. Die Gedächtnisstütze SOS Castoa kann helfen, sich an die Regeln zu erinnern.

Eigenschaften

• ${displaystyle cos(heta)=sünde(90^{circ}-,heta)}$
• ${ displaystyle cos(heta)=sin(90^{circ}, heta)}$
• ${displaystyle sin(45^{circ })=cos(45^{circ })}$
• ${displaystyle sin(135^{circ })=-cos(135^{circ })}$
• ${Anzeigestil sin(-heta)=-sin(heta)}$
• ${Anzeigestil cos(-heta)=cos(heta)}$
• ${displaystyle sin(heta)=sin(180^{circ}-,heta)}$
• ${ displaystyle cos(heta)=-cos(180^{circ}-, heta)}$
• ${displaystyle sin(180^{circ }, heta)=-sin(heta)}$
• ${ displaystyle cos(180^{circ}, heta)=-cos(heta)}$
• ${displaystyle sin ^{2}( heta ) cos ^{2}( heta )=1}$

Beziehung mit komplexem Exponenten

${displaystyle sin x={frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

und

${displaystyle cos x={frac {e^{ix} e^{-ix}}{2}}}$

Diese Formeln definieren auch die Funktionen für komplexe ${Anzeigestil x}$.

Diese beiden Beziehungen lassen sich aus dem Eulersche Formel:

${displaystyle e^{ix}=cos x isin x}$

Summenformeln

${displaystyle sin(apm b)=sin acos bpm cos asin b}$

${displaystyle cos(apm b)=cos acos bmp sin asin b}$

Weitere Formeln: siehe see Liste der trigonometrischen Gleichheiten.

Anwendungen

Der Sinus und das dazugehörige trigonometrische Funktionen wie der Kosinus, werden besonders häufig verwendet, insbesondere beim Studium von Wellen. Eine der Eigenschaften des Sinus ist, dass der zweite Derivat ist auch ein Sinus (mit einem Minuszeichen). Eine analoge Eigenschaft gilt für den Kosinus. Dies macht den Sinus und den Kosinus zu einer Lösung von Wellengleichung, Das hier Differentialgleichung des zweiten Grades.

Eine andere Anwendung der Sinusfunktion und anderer trigonometrischer Funktionen ist die Umrechnung von a Koordinate in dem Polarkoordinatensystem zum Kartesisches Koordinatensystem. Das X- und jaKoordinaten in einem Koordinatensystem werden berechnet über:

${displaystyle x=rcos heta }$

und

${displaystyle y=rsinheta }$

Darin ist ${Anzeigestil-Heta}$ der Polarwinkel und ${displaystyle r}$ der Polarstrahl.

Einige Beispiele

Es ist praktisch, einige Werte des Sinus, des Kosinus und des Tangens zu kennen:

Grad	0°	30°	45°	60°	90°
Bogenmaß	${Anzeigestil 0}$	${displaystyle { frac {1}{6}}pi }$	${displaystyle { frac {1}{4}}pi }$	${displaystyle { frac {1}{3}}pi }$	${displaystyle { frac {1}{2}}pi }$
Sinus	${Anzeigestil 0}$	${displaystyle { frac {1}{2}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {2}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {3}}}$	${Anzeigestil 1}$
Kosinus	${Anzeigestil 1}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {3}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {2}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}}$	${Anzeigestil 0}$
Tangente	${Anzeigestil 0}$	${displaystyle { frac {1}{3}}{sqrt {3}}}$	${Anzeigestil 1}$	${displaystyle {sqrt {3}}}$	Nein

Oder, leichter zu merken:

Grad	0°	30°	45°	60°	90°
Bogenmaß	${Anzeigestil 0}$	${displaystyle { frac {1}{6}}pi }$	${displaystyle { frac {1}{4}}pi }$	${displaystyle { frac {1}{3}}pi }$	${displaystyle { frac {1}{2}}pi }$
Sinus	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {0}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {1}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {2}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {3}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {4}}}$
Kosinus	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {4}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {3}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {2}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {1}}}$	${displaystyle { frac {1}{2}}{sqrt {0}}}$
Tangente	${Anzeigestil 0}$	${displaystyle {sqrt {3}}^{-1}}$	${displaystyle {sqrt {3}}^{0}}$	${displaystyle {sqrt {3}}^{1}}$	Nein

Siehe auch

• Kosinusregel
• Trigonometrie
• Trigonometrische Funktion
• Sinusregel
• Soscatoa
• Sinuskurve
• Tangente und Kotangens
• Liste der trigonometrischen Gleichungen

Externer Link