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In dem Topologie, eine Filiale der Mathematik, ist der Ausgangstopologie auf einen Sammlung in Bezug auf a SammlungBilder die von dieser Sammlung ausgehen, die gröbste topologische Struktur, die diese Bilder kontinuierlich macht.

Das Synonym schwache Topologie ist hauptsächlich in der Funktionsanalyse gewöhnlich.

Ausgangstopologie eines Bildes

Sie ${Anzeigestil f:X oder Y}$ ein Bild einer Sammlung ${Anzeigestil X}$ zu einer topologischer Raum${Anzeigestil Y}$. Wir möchten die Kollektion ${Anzeigestil X}$ mit einer topologischen Struktur, die sicherstellt, dass das Bild ${displaystyle f}$ ist stetig, d. h. das inverse Abbild einer offenen Menge von ${Anzeigestil Y}$ immer eine offene Sammlung von ${Anzeigestil X}$ ist.

Im Allgemeinen gibt es mehrere solcher Topologien, aber nur eine davon ist die kleinste oder gröbste in dem Sinne, dass es so wenige offene Mengen wie möglich enthält. wenn ${displaystyle {mathcal {T}}}$ die Topologie von ${Anzeigestil Y}$ ist , dann wird aus der kleinsten Topologie wordt ${Anzeigestil X}$ für die das Bild ${displaystyle f}$ ist kontinuierlich, hervorgebracht durch

${displaystyle {f^{-1}(U)mid Uin {mathcal {T}}}}$

Wir sagen auch, dass die Umkehrbilder offener Teile von ${Anzeigestil Y}$ ein Unterbau Formen für die Anfangstopologie von ${displaystyle f}$. Tatsächlich bilden diese offenen Teile bereits selbst die Ausgangstopologie.

Beispiele

Betrachten Sie die reellen Zahlen ${displaystyle mathbb {R} }$ mit der regulären Topologie.

Das identisches Bild${displaystyle mathrm {id} _{mathbb {R} }}$ induziert die gemeinsame Topologie auf ${displaystyle mathbb {R} }$.

Das Bild ${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R} :xmapsto x^{2}}$ induziert eine kleinere Topologie auf ${displaystyle mathbb {R} }$ deren offene Mengen symmetrisch zu 0 sind.

Das ständige Bild ${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R} :xmapsto 1}$ induziert die indiskrete Topologie${displaystyle {emptyset ,mathbb {R}}}$.

Sie ${displaystyle (Y,{mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum und ${Anzeigestil X}$ ein Teilmenge von ${Anzeigestil Y}$. Das Unterraumtopologie von ${displaystyle {mathcal {T}}}$ auf ${Anzeigestil X}$ ist die Ausgangstopologie des Einschlussbild${displaystyle i:X oder Y:xmapsto x}$

Ausgangstopologie einer Bildfamilie

Wir wenden dieselbe Technik auf eine unendliche Anzahl von Bildern an ${displaystyle f_{i}}$, möglicherweise in verschiedene topologische Räume ${displaystyle (X_{i},{mathcal {T}}_{i})}$ (${displaystyle iin I)}$. Die Indexsammlung ${Anzeigestil I}$ vielleicht sogar unzählbar sein.

Die kleinste (größte) Topologie am Set ${Anzeigestil X}$ für die alle Bilder ${displaystyle f_{i}}$ kontinuierlich ist, wird durch die Unterlage erzeugt

${displaystyle {f_{i}^{-1}(U)mid Uin {mathcal {T}}_{i},iin I}}$

Die obige Teilbasis ist im Allgemeinen nicht immer selbst eine Topologie. Wie bei einer Teilbasis üblich, werden die offenen Mengen der Anfangstopologie durch alle beliebigen Assoziationen endlicher Schnittmengen von Elementen aus der Teilbasis gebildet.

Beispiele

Die Projektionsbilder

${displaystyle pi _{1}:mathbb {R} ^{2} oder mathbb {R} :(x_{1},x_{2})mapto x_{1}}$

${displaystyle pi _{2}:mathbb {R} ^{2} oder mathbb {R} :(x_{1},x_{2})mapto x_{2}}$

induzieren auf ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ eine Topologie erzeugt von offene Rechtecke, diese sind Produkte von offene Intervalle. Diese Topologie stimmt mit der gemeinsamen Topologie von überein ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$, verbunden mit dem Euklidischen metrisch

${displaystyle d(x_{1},x_{2})={sqrt {x_{1}^{2} x_{2}^{2}}}}$

Allgemeiner definiert man die Produkttopologie auf einen kartesisches Produkt topologischer Räume als Ausgangstopologie der Projektionsbilder.

Endgültige Topologie

Durch die Rollen von ${Anzeigestil X}$ und ${Anzeigestil Y}$ zum Austausch des verwandten Begriffs entsteht Endtopologie.

Erste Topologien in der Funktionsanalyse

Die funktionsanalytischen Studien topologische Vektorräume. wenn ${Anzeigestil V}$ ein topologischer Vektorraum ist, dann schreibt man ${Displaystil V^{*}}$ für die dualer topologischer Vektorraum. Die Elemente von ${Displaystil V^{*}}$ sind die kontinuierlichlineare Bilder von ${Anzeigestil V}$ zu seinem Skalarkörper.

Die Ausgangstopologie bei ${Anzeigestil V}$ relativ zur Bildersammlung ${Displaystil V^{*}}$ heißt die schwache Topologie von ${Anzeigestil V}$. Mit der schwachen Topologie erfüllt ${Anzeigestil V}$ nicht immer die definierenden Axiome eines topologischen Vektorraums. Die schwache Topologie ist nur Hausdorff, wenn die kontinuierliche lineare FunktionaleTrennstellen sei, d. h. jeder Vektor ${Displayflosse V}$ durch mindestens ein Element von ${Displaystil V^{*}}$ wird auf einer anderen Zahl als 0 angezeigt.

Das schwach-*-Topologie (lesen Sie "schwache Sterntopologie") auf ${Displaystil V^{*}}$ ist die Ausgangstopologie für die Bewertungsbilder in jedem festen Vektor ${Anzeigestil v}$:

${displaystyle v^{*}:V^{*} oder mathbb {K} (mathbb {C} {hbox{ or }}mathbb {R} ):fmapsto f(v), vin V}$

Die schwache-*-Topologie ist Hausdorff und bestimmt zumindest einen topologischen Vektorraum auf ${Displaystil V^{*}}$.

Auf der Kollektion ${Anzeigestil B(H)}$ der stetigen linearen Transformationen von a Hilbert-Raum${Anzeigestil H}$ man definiert die ultraschwache Topologie als schwache* Topologie für die Elemente der Prädualraum von ${Anzeigestil B(H)}$.

Beispiel

Betrachten Sie die nächste Reihe Anzeigefunktionen geschlossener Intervalle als Elemente des Hilbertraums ${displaystyle L^{2}(mathbb {R} ,mathbb {C} )}$, die komplexwertigen quadratisch integrierbaren Funktionsklassen auf der reellen Achse (siehe LP-Raum).

${displaystyle f_{n}=1_{[n,n 1]}, nin mathbb {N} }$

Jegliche zwei verschiedene Elemente aus dieser Reihe sind gegenseitig aufrechtEinheitsvektoren. Ihr gegenseitiger Abstand ist konstant Quadratwurzel aus 2. Die Funktionsreihe bildet also nicht a cauchyrij, und vom Stärkeren her Nein konvergent Reihe, in der gewöhnlichen Normtopologie des Hilbert-Raums.

Das innere produkte von ${displaystyle f_{n}}$ mit beliebiger fester quadratischer integrierbarer Funktion ${displaystyle g}$ Konvergieren Sie umgekehrt gegen 0.

${displaystyle langle f_{n},gangle =int _{n}^{n 1}g(x)dx o 0.}$

Wir sagen die Reihe ${displaystyle (f_{n})}$schwach konvergiert auf 0.