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Das Gaußsches Gesetz gibt in die Physik die Beziehung zwischen der elektrischen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche und die elektrische Ladung innerhalb der Oberfläche. Dies ist eine Anwendung des Divergenzsatz von Gauß aus der Analyse.

integrale Form

In ihrer Integralform sagt die Formel:

${displaystyle Phi =iint _{A}!!!!!!!!!! igcirc {vec {E}}cdot mathrm {d} {vec {A}}={1 über varepsilon _{0}}iiint _{V}ho ,mathrm {d} V={1 über varepsilon _{0}} F}$

In Ergänzung, ${displaystyle {vec {E}}}$ das elektrische Feld, ${displaystyle mathrm {d} {vec {A}}}$ die Oberfläche von a unendlich klein Fläche auf der geschlossenen Fläche ${Anzeigestil A=teilweise V}$ mit nach außen gerichtetem normaler Vektor wer bestimmt seine Richtung, ${Anzeigestil Q}$ ist die von der Integrationsfläche eingeschlossene Nettoladung, ${displaystyle varepsilon _{0}}$ ist der Permittivität im Vakuum und ${displaystyle iint _{A}!!!!!!!!!! igcirc }$ das Integral über die Fläche ${Anzeigestil A}$ zur Lautstärke ${Anzeigestil V}$.

Dabei spielt es keine Rolle, wo sich die Ladung innerhalb der Oberfläche befindet oder wie die Ladung innerhalb der Oberfläche verteilt ist.

Differentialform

In Differentialform lautet die Gleichung:

${displaystyle operatorname {div} {vec {E}}=abla cdot {vec {E}}=ho /varepsilon _{0}}$

in welchem ${Displaystyle-Operatorname {div} {vec {E}}}$ das Abweichungen des elektrischen Feldes ${displaystyle {vec {E}}}$ ist und ${Anzeigestil ho}$ die elektrische Ladungsdichte.

Dielektrikum

In einem Dielektrikum kann das Gaußsche Gesetz für die elektrische Verschiebung${displaystyle {vec {D}}}$ angewendet werden:

${displaystyle abla cdot {vec {D}}=ho}$

Darin ist ${Anzeigestil ho}$ das kostenlos elektrische Ladungsdichte ohne Dipole die im Material sind.

wenn ${displaystyle {vec {D}}}$ wird in C/m . ausgedrückt², ist die Einheit von ${Anzeigestil ho}$ Cm³.

Für ein lineares Material lautet die Gleichung:

${displaystyle varepsilon abla cdot {vec {E}}=ho }$,

in welchem ${Anzeigestil Varepsilon }$ die von ${displaystyle {vec {E}}}$ unabhängige elektrische Permittivität.

Ist ${Anzeigestil Varepsilon }$ auch ortsunabhängig, dann kann dies umgeschrieben werden als:

${displaystyle abla cdot {vec {E}}={ho über varepsilon}}$.

Poisson-Gleichung

Ein elektrisches Feld ist rotierend und besitzt daher a Potenzial${Anzeigestil V}$. Es gilt:

${displaystyle {vec {E}}=-abla V}$

Wenden wir die Differentialform an, erhalten wir die Giftgleichung für das Potenzial.

${displaystyle abla cdot {vec {E}}=-abla cdot abla V=-Delta V={ho über varepsilon _{0}}}$

oder:

${displaystyle Delta V=-{ho ({vec {r}}) über varepsilon _{0}}}$

in welchem ${Anzeigestil Delta }$ das Laplace-Operator ist.

Coulomb-Gesetz

Im Spezialfall einer kugelförmigen Oberfläche mit zentraler Ladung ist der elektrisches Feld senkrecht zur Oberfläche, mit gleicher Größe in allen Punkten, die in Vakuum dieser einfachere Ausdruck ergibt:

${displaystyle E(r)={frac {Q}{4pi varepsilon _{0}r^{2}}}}$

mit ${Anzeigestil E}$ das elektrische Feldstärke im Umkreis ${displaystyle r}$ außerhalb der Kugel zum Mittelpunkt der Kugel, ${Anzeigestil Q}$ die beiliegende Gebühr und ${displaystyle varepsilon _{0}}$ die Permittivität des Vakuums. Es gibt

${displaystyle varepsilon _{0}=8{,}854187817cdot 10^{-12}}$f/m.^[1]

Die bekannte inverse Abhängigkeit des elektrischen Feldes vom Quadrat der Entfernung, im Coulomb-Gesetz, folgt somit aus dem Gaußschen Gesetz.

Der Satz von Gauß kann verwendet werden, um zu zeigen, dass es kein elektrisches Feld innerhalb von a gibt Faradayscher Käfig ohne elektrische Ladungen. Das Gaußsche Gesetz ist das elektrostatische Äquivalent des Amperes Gesetz, die sich mit Magnetismus beschäftigt. Beide Gleichungen wurden später in die Maxwells Gesetze.

Die Aussage wurde formuliert von Carl Friedrich Gauß im 1835, wurde aber erst nach seinem Tod in . verwendet 1867 veröffentlicht.

Schwerkraft und Magnetfeld

Aufgrund mathematischer Ähnlichkeit findet das Gesetz manchmal eine Anwendung auf andere physikalische Größen, die umgekehrt proportional zu einem Quadrat sind, wie z Schwere, Magnetfeld oder die or Intensität von Strahlung (sehen inverses quadratisches Gesetz). Siehe auch Divergenzsatz.Diese Varianten des Gaußschen Gesetzes weichen leicht ab: die Schwerkraftfeld hat keine negative Masse und es Magnetfeld fehlt Monopole, so dass div B = 0 anstelle der Dichte rho.

Divergenzsatz von Gauß

Die Gaußschen Gesetze für das elektrische und magnetische Feld sind Spezialfälle des allgemeinen mathematischen Satzes:

${displaystyle iiint limit _{V}left(abla cdot {vec {F}}ight)dV=iint limit _{S}{vec {F}}cdot d{vec {S}}}$

was besagt, dass die Divergenz eines über ein Volumen integrierten Vektorfeldes gleich dem über den Rand dieses Volumens integrierten Fluss ist.

Daraus folgt ganz einfach

${displaystyle abla cdot {vec {E}}=ho /varepsilon _{0}}$

und

${displaystyle abla cdot {vec {B}}=0}$

Siehe auch

• Maxwells Gesetze
• Carl Friedrich Gauß
• Divergenzsatz
• Fluss
• Gaußgewehr

Externe Links

• MISN-0-132Gaußsches Gesetz für sphärische Symmetrie (PDF Datei) von Peter Signell für Projekt PHYSNET.
• MISN-0-133Auf zylindrische und planare Ladungsverteilungen angewendetes Gaußsches Gesetz (PDF-Datei) von Peter Signell für das Projekt PHYSNET.