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Norm (vector)

EIN Norm ist ein Größenkonzept der Elemente (Vektoren) von a Vektorraum.

Ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist, heißt a normierter Vektorraum.

Definition

Ein Standard ${Anzeigestil |cdot |}$ ist eine reelle Funktion auf a Vektorraum über einen Teilkörper des komplexe Zahlen, mit folgenden Eigenschaften:^[1]

0. Die Norm ist nicht negativ.

{displaystyle |v|geq 0}

.

1. Nur die Nullvektor hat Standard 0.

{displaystyle |v|=0iff v=mathbf {0} }

2. Die Norm des skalaren Vielfachen eines Vektors ist das Produkt der Norm mit gewöhnlicher absoluter Wert vom Skalar:

{Anzeigestil |alpha v|=|alpha |cdot |v|}

Für reelle Vektorräume bedeutet dies, dass die Normfunktion positiv homogen ist ersten Grades.

3. Die Dreiecksungleichung. Die Norm der Summe zweier Vektoren ist nicht größer als die Summe der einzelnen Normen.

{displaystyle |v w|leq |v| |w|}

Dies sind nicht die Mindestanforderungen an einen Standard. Bedingung 0 ist unnötig und Bedingung 1 kann durch eine weniger strenge Bedingung an sich ersetzt werden, da sie in Kombination mit den anderen Bedingungen gleichwertig ist: ${displaystyle |v|=0impliziert v=mathbf {0} }$ . Aus Bedingung 2 folgt, dass ${displaystyle |mathbf {0} |=|0cdot mathbf {0} |=|0|cdot |mathbf {0} |=0}$ . Sind darüber hinaus die Bedingungen 2 und 3 erfüllt, folgt bereits, dass Bedingung 0 erfüllt ist:

{displaystyle 0= extstyle {frac {1}{2}}|mathbf {0} |= extstyle {frac {1}{2}}|vv|leq extstyle {frac {1}{2}}(|v| | -1|cdot |v|)=|v|}

Metrisch

In einem normierten Vektorraum induziert die Norm a Entfernung ${Anzeigestil d(v,w)}$ zwischen zwei Vektoren ${Anzeigestil v}$ und ${Anzeigestil w}$ , definiert als Norm des Differenzvektors:

{Anzeigestil d(v,w)=|v-w|}

Mit diesem Abstand ist der Raum auch a metrischer Raum.

Wenn dieser metrische Raum völlig ist, sie wird Banach-Raum erwähnt.^[1]

Beispiele

Auf dem Vektorraum ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ oder ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ ist die nächste Funktion von ${displaystyle {vec {x}}}$ eine Norm, die euklidische Norm, die gleich der Länge von ${displaystyle {vec {x}}}$ :

{displaystyle |(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})|={sqrt {|x_{1}|^{2} |x_{2}|^{2} ldots |x_{ n}|^{2}}}}

Generell ist für jeden etwas dabei reelle Zahl ${displaystyle pgeq 1}$ das ${displaystyle L^{p}}$ Norm, wo die Manhattan-Metrik mit dem ${Displaystil L^{1}}$ -norm entspricht und die euklidische Norm entspricht der ${Displaystil L^{2}}$ -Norm:

{displaystyle |(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})|_{p}=(|x_{1}|^{p} |x_{2}|^{p} ldots | x_{n}|^{p})^{1/p}}

Die höchste Norm in der zweidimensionalen reellen Ebene. Das Kreis aller Vektoren mit gegebener positiver Norm bildet ein Quadrat in gewöhnlicher Metrik.

In dem Grenze von ${displaystyle |.|_{p}}$ vor dem ${displaystyle po infty }$ entsteht der maximal oder höchste norm:

{displaystyle |(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})|_{infty}=max(|x_{1}|,|x_{2}|,ldots ,|x_{n} |)}

Verallgemeinerungen des Obigen: unendlich dimensional ${displaystyle l^{p}}$ -Raum und allgemeiner ${displaystyle L^{p}}$ -Raum, siehe LP-Raum.

Jeder internes Produkt mit Skalarkörper ${displaystyle mathbb {R} }$ oder ${displaystyle mathbb {C} }$ legt einen Standard durch die Definition fest

{displaystyle |x|={sqrt {langle x,xangle }}}

Die euklidische Norm wird also durch die Standard-Innenprodukt auf

{displaystyle mathbb {R} ^{n}}

:

{displaystyle langle x,yangle =x_{1}y_{1} ldots x_{n}y_{n}}

oder auf

{displaystyle mathbb {C} ^{n}}

:

{displaystyle langle x,yangle =x_{1}{overline {y}}_{1} ldots x_{n}{overline {y}}_{n}}

Für jeden Standard ${Anzeigestil |cdot |}$ und jedes invertible lineare Transformation ${Anzeigestil T}$ man kann eine neue Norm definieren durch

{Anzeigestil |x|'=|Tx|}

Matrizen können als lineare Abbildungen zwischen zwei normierten Vektorräumen verstanden werden und in diesem Sinne mit einer Norm versehen werden, die vom Normenpaar der beiden Räume abhängt (siehe unten).
Für komplexe ${Anzeigestil n imes n}$ -Matrizen ${Anzeigestil A}$ man definiert die Frobenius-Norm, induzierte durch die frobenius-inproduct:

{displaystyle |A|_{F}={sqrt {sum _{i=1}^{m}sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={sqrt {Betreibername {tr} (A^{*}A)}}}

mit

{Displaystil A^{*}}

das transponierte Matrix konjugieren von

{Anzeigestil A}

.

Halbstandard

Eine Funktion, die die Bedingungen 0, 2 und 3 der Definition erfüllt, aber nicht unbedingt die Bedingung 1, heißt a halbnormal. Der Prozess, durch den ein normierter Raum zu einem metrischen Raum wird, macht aus einem halbnormierten Raum a pseudometrisch Platz. In diesem Fall bilden die Vektoren, deren Seminorm 0 ist, a linearer Unterraum die im pseudometrischen assoziierten . abgeschlossen ist Topologie.

Auf dem Quotientenraum wird dann eine Norm definiert, die jeder Co-Klasse die Pseudonorm eines beliebigen Elements dieser Klasse zuweist. Die Topologie dieser Norm ist die gleiche wie die der Quotiententopologie für die Äquivalenzrelation "hat Abstand 0 bis".

Norm einer linearen Abbildung

sehen Betreiberstandard für den Hauptartikel zu diesem Thema.

wenn ${displaystyle f}$ ist eine lineare Abbildung zwischen zwei normierten Räumen ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$ über dem gleichen Skalarfeld definiert man die Betreiberstandard von ${displaystyle f}$ als kleinste obere Schranke der Vergrößerungen, die Einheitsvektoren unterziehen:

{displaystyle |f|=sup{|f(x)|_{W};xin V,|x|_{V}=1}}

Diese Norm erweist sich genau dann als endlich, wenn ${displaystyle f}$ kontinuierlich ist relativ zu den jeweiligen Topologien von ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$ .

Die Menge aller stetigen linearen Abbildungen zwischen ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$

{displaystyle {mathcal {B}}(V,W)={fcolon V o W,f,{hbox{kontinuierlich linear}}}}

ist wieder ein normierter Vektorraum über dem gleichen Körper.

Matrizen stellen lineare Abbildungen zwischen zwei normierten Vektorräumen dar und haben (neben anderen Normen wie der oben erwähnten Frobenius-Norm) eine entsprechende Norm, die vom Normenpaar abhängt. Bei der euklidische Norm in beiden Vektorräumen ist die Norm der Matrix de Spektralnorm, dies ist die Wurzel des größten Selbstachtung der Matrix ${Displaystil A^{*}A}$ , bei welchem ${Displaystil A^{*}}$ das transponierte Matrix konjugieren von ${Anzeigestil A}$ ist.

Gleichwertigkeit von Standards

Zwei Standards ${Anzeigestil ||.||_{1}}$ und ${Anzeigestil ||.||_{2}}$ auf einem Vektorraum ${Anzeigestil V}$ sind äquivalent, wenn es positive Zahlen gibt ${displaystyle M_{1},M_{2}in Mathbb {R} }$ existieren, damit für alle ${Anzeigestil xin V}$ gilt: